06. Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений

Решение биквадратных уравнений

Математической моделью практических задач могут быть разные уравнения. В школе мы чаще всего будем сталкиваться с линейными и квадратными уравнениями, которые уже умеем решать. Но иногда могут встречаться и более сложные уравнения. Существуют компьютерные алгоритмы, которые позволяют приближенно найти решение практически любого уравнения, а вот точное решение найти удастся не всегда. На этом уроке мы рассмотрим некоторые приемы, которые позволяют эквивалентными преобразованиями свести более сложные уравнения к тем, которые мы уже умеем решать, – линейным и квадратным.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение.

Воспользуемся свойством степеней  и перепишем уравнение в виде:

Обратим внимание, что неизвестная величина  присутствует в уравнении только в составе «конструкции» . В таком случае применяют метод замены переменной.

Суть его состоит в том, что эту повторяющуюся конструкцию мы заменяем новой переменной:.

Заменяя  на , получаем уравнение:

Получили квадратное уравнение. С его решением вы можете ознакомиться ниже.

Решение квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Имеем следующее квадратное уравнение:

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты из общего вида квадратного уравнения: , , .

Тогда:

Найдём корни квадратного уравнения:

Ответ: ; .

Далее решения линейных и квадратных уравнений не будут разбираться подробно. Внимание будет сконцентрировано на том, как свести более сложное уравнение к линейному или квадратному. Если же у вас возникают проблемы при решении линейных или квадратных уравнений, пересмотрите соответствующие уроки:

1. «Линейное уравнение с одной переменной (Г. Г. Гаицгори)»;

2. «Квадратные уравнения».

Решаем уравнение, получаем корни:

Мы нашли значения . Но в исходном уравнении фигурировала переменная , и решить уравнение – значит, найти значения . Вернёмся к замене:

Тогда:

Получили два квадратных уравнения. Первое уравнение  имеет два решения:

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: .

В процессе решения нам пришлось дважды решать квадратные уравнения: сначала для переменной , затем для переменной . Поэтому такие уравнения, в которых присутствуют только -я и -я степень неизвестной, а также свободный член, называются биквадратными уравнениями, т. е. «дважды квадратными»:,

Решение дробно-рациональных уравнений

Теперь перейдём к решению дробно-рациональных уравнений. По названию понятно – это те уравнения, которые содержат в себе дробно-рациональные выражения. Если вы забыли, что это за выражения и как с ними работать, рекомендуем пересмотреть соответствующий видеоурок: «Дробно-рациональные выражения».

При решении дробно-рациональных уравнений важно:

1. в самом начале найти ОДЗ выражений, которые встречаются в уравнении;

2. после нахождения корней нужно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Рассмотрим несколько примеров простейших дробно-рациональных уравнений.

Задание 2. Решить уравнение:

Решение.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю, т. е. ОДЗ: .

Поскольку , можем умножить обе части уравнения на , чтобы избавиться от дроби, тогда:

Получили линейное уравнение, решением которого является . Это решение входит в ОДЗ.

Ответ: .

Задание 3. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на . Мы это можем сделать, поскольку , тогда:

Раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну сторону, приведём подобные слагаемые. Получим квадратное уравнение:

Найдём корни этого уравнения:

Первый корень не входит в ОДЗ. Поэтому  не является решением уравнения.

Ответ: .

Решение более сложных рациональных уравнений

Решим более сложные дробно-рациональные уравнения.

Задание 4. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Решим каждое из этих неравенств:

Можем объединить эти неравенства в одно:

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

Выполним сложение дробей – для этого разложим знаменатели на множители:

Приведём все дроби к общему знаменателю :

Тогда:

Дробь равна , если её числитель равен:

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:

Найдём корни квадратного уравнения:

Корень  не входит в ОДЗ.

Ответ:

Отметим, что для решения дробно-рациональных уравнений можно использовать разные способы. Первый – это умножить обе части уравнения на некоторые выражения так, чтобы избавиться от дробей. Таким способом мы решили первые два примера с дробно-рациональными выражениями. Второй способ – перенести все слагаемые в одну сторону, преобразовать выражение и приравнять числитель полученной дроби к нулю. Так мы решили последний пример. Вы можете выбрать тот способ, который вам удобнее и понятнее. Главное в каждом из них – не забывать про ОДЗ.

Задание 5. Решить уравнение: .

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Решим эти неравенства:

Обратим внимание, что неизвестная  присутствует в уравнении в похожих конструкциях , которые являются взаимообратными выражениями. В таком случае можно применить метод замены переменной: .

Тогда: .

Исходное уравнение будет иметь вид: .

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на , при этом , поскольку : , .

Получили квадратное уравнение, решениями которого являются:.

Вернёмся к замене:.

Решаем первое уравнение: .

Решаем второе уравнение: .

Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: ; .

Задание 6. Решить уравнение:.

Решение.

Выпишем ОДЗ: .

В подобных уравнениях стандартной является замена:

Чтобы выразить  через , произведём следующие действия:

После замены исходное уравнение будет иметь вид:

Преобразуя это выражение, получаем квадратное уравнение:

Найдём корни уравнения:

Вернёмся к замене:

Поскольку , можем умножить обе части каждого из уравнений на  и получить квадратные уравнения:

Первое уравнение имеет решения:

Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Второе уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ: ; .

Решение иррациональных уравнений

Теперь перейдём к решению иррациональных уравнений. Так называются уравнения, которые содержат операцию извлечения корня из переменной.

Задание 7. Решить уравнение: .

Решение.

Как мы знаем, выражение  имеет смысл только для значения . Поэтому ОДЗ для данного уравнения будет следующей:

Чтобы привести иррациональное уравнение к линейному или квадратному, нужно избавиться от иррациональности. В данном случае – избавиться от квадратного корня. Для этого воспользуемся свойством корня:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Получили линейное уравнение, корнем которого является:

Полученное значение входит в ОДЗ:

При решении уравнения мы возвели обе части уравнения в квадрат, при этом могли возникнуть посторонние корни, т. е. те, которые не являются решением исходного уравнения.

Посторонние корни

Операция возведения в квадрат обеих частей равенства не является равносильным преобразованием. При применении этой операции можно получить из неправильного равенства правильное. Например, равенство  очевидно неправильное. Но при возведении в квадрат получим правильное:

При этом из правильного равенства мы не получим неправильное, ведь если числа равны, то их квадраты также равны. Поэтому любой корень исходного уравнения является корнем уравнения, полученного после возведения в квадрат обеих частей. Но не все корни полученного уравнения являются корнями исходного. Могут возникнуть посторонние корни. Чтобы исключить их, проще всего выполнить проверку, подставив полученные значения в исходное уравнение.

Выполним проверку. Подставим полученный корень в исходное уравнение:

Мы получили правильное равенство, значит,  является решением уравнения.

Ответ: .

Задание 8. Решить уравнение: .

Решение.

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому ОДЗ будет следующей:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

После преобразования получим квадратное уравнение:

Найдём корни уравнения:

Проверим, входят ли корни в ОДЗ.

:

Неравенство неверное, значит, корень  не входит в ОДЗ и не является решением исходного уравнения.

:

Корень входит в ОДЗ.

Теперь выполним проверку, подставив  в исходное уравнение:

Получили правильное равенство, следовательно, исходное уравнение имеет один корень .

Ответ: .

Заключение

Итак, сегодня мы познакомились с некоторыми приёмами, которые позволяют свести уравнения высших порядков, дробно-рациональные и иррациональные уравнения к квадратным и линейным уравнениям.

Список литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. / Под ред. Теляковского С. А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «kontromat.ru».

Проверь себя

1. Решить биквадратное уравнение: .

2. Решить дробно-рациональное уравнение: .

3. Решить иррациональное уравнение: .