03. Практика. Виды чисел. Упрощение рациональных выражений

Основные факты

Вспомним основные факты, связанные с видами чисел, которые будут нам полезны.

Определение степени с целым показателем – для любого :

Стандартный вид числа – запись числа в виде: , где ,  – целое.

Арифметический квадратный корень  – это такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат даёт: , .

Рациональными числами называют числа, которые можно представить в виде дроби , где  – целое число,  – натуральное. Числа, которые нельзя представить в таком виде, называют иррациональными.

Иррациональные и рациональные числа вместе образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Перейдём к решению примеров.

Задание 1. Записать числа в порядке возрастания: ; ; ; ; ; ; .

Указать все иррациональные числа.

Решение.

Сравнивать числа можно несколькими способами. Например, определяя знак их разности: если , то , и наоборот.

Другой способ – сравнение чисел, записанных в одном формате. Например, удобно сравнивать числа, которые записаны в виде десятичных дробей.

Упростим сначала некоторые из представленных чисел:

Мы знаем, что отрицательные числа всегда меньше положительных. Поэтому три наименьших числа из данного набора: ; ; ; (именно в таком порядке) (см. рис. 1).

Осталось сравнить числа ; ; ; . Сначала определим промежутки, в которых будут расположены корни (оценим их значения):

Таким образом, , т. е. число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить , находится в промежутке от  до  (см. рис. 2).

Аналогично:

Получим, что  лежит в промежутке от  до  (см. рис. 3).

Понятно, что и правильная дробь , и бесконечная периодическая дробь  меньше , а значит, меньше чем .

Осталось сравнить числа  и . Более простой способ, конечно, состоит в том, чтобы разделить в столбик  на  и получить эквивалентную десятичную запись обыкновенной дроби . И сразу ясно, что  (см. рис. 4).

Но мы потренируемся переводить бесконечную периодическую дробь  в обыкновенную. Пусть , тогда .

Если вычесть из второго равенства первое, получим:

Откуда:

Также ясно, что:

Итак, запишем итоговый порядок чисел:

Осталось найти иррациональные числа. Вспомним, что это числа, которые нельзя представить в виде дроби , где  – целое число,  – натуральное. Можно привести и эквивалентное определение: это те числа, которые нельзя представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Понятно, что ; ; ;  – рациональные числа. В таких заданиях главное не ошибиться с определением вида числа .

Обычно мы будем сталкиваться с иррациональными числами, которые записываются с использованием квадратных корней. Но не любое число, в записи которого используется квадратный корень, будет иррациональным.  – хороший пример. Это не просто рациональное число, а целое: , хотя записано с использованием квадратного корня.

А вот корни ; , действительно, эквивалентно представить в виде дроби не получится. Поэтому эти числа будут иррациональными.

Ответ:числа , иррациональные.

Задание 2. Вычислить значение выражения:

Записать результат в стандартном виде.

Решение.

По определению степени с отрицательным показателем:

По определению нулевой степени:

Таким образом:

Запишем число  в стандартном виде. Для этого поставим запятую так, чтобы полученное число  удовлетворяло неравенству: .

Получим . Чтобы получить исходное число, нужно умножить  на  (сдвинули запятую на два знака влево, значит, нужно умножить на ):

Ответ: .

Упрощение дробно-рациональных выражений

Теперь рассмотрим задания на упрощение дробно-рациональных выражений. Алгоритм работы с ними такой же, как и с обычными дробями. Вспомним его.

Алгоритм упрощения дробно-рациональных выражений

1. Дробь можно упростить, разложив на множители её числитель и знаменатель и сократив одинаковые множители:

,

2. Для сложения и вычитания дробей нужно привести их к общему знаменателю:

3. Для умножения двух дробей нужно перемножить их числители и знаменатели. Соответственно, при возведении дроби в степень необходимо возвести в степень и числитель, и знаменатель:

,

4. Чтобы разделить выражение на дробь, нужно умножить его на обратную дробь.

При этом нам пригодятся уже полученные навыки разложения многочленов на множители:

, ,

Задание 3. Сократить дробь:

Указать допустимые значения переменных в исходной дроби и в выражении, которое получится после упрощения.

Решение.

Для сокращения дроби необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Рассмотрим числитель. Вынесем общий множитель  за скобки и применим формулу сокращённого умножения (квадрат суммы):

Разложим знаменатель на множители. Вынесем общий множитель  за скобки и применим формулу сокращённого умножения (разность квадратов):

Таким образом:

Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Соответственно,  и . Или:  и .

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители.

Разделим числитель и знаменатель на . Обратите внимание, что при этом , поскольку на  делить нельзя:

Ещё можно сократить числитель и знаменатель дроби на :

Рассмотрим допустимые значения переменных. Знаменатель не равен нулю, т. е. .

Как видите, области допустимых значений отличаются. Т. е. преобразованиене является тождественным. Чтобы оно стало тождественным, необходимо дополнительно указать, что .

Ответ:, .

ОДЗ исходного выражения:  и . ОДЗ выражения после сокращения: .

Задание 4. Найти значение выражения при :

Решение.

Сначала упростим исходное выражение. Для сложения и вычитания дробей приведём их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители.

Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов:

Полученные множители похожи на знаменатели второй и третьей дроби. Чтобы они полностью совпадали, вынесем из первой скобки знак «минус» и поменяем местами получившиеся слагаемые:

Получаем:

Приведём все дроби к общему знаменателю . Во втором слагаемом умножим числитель и знаменатель на , в третьем – на :

Упростим числитель:

Получаем:

Полученное выражение можно разделить на . И поскольку , то деление на  мы не выполним, получаем:.

Мы максимально упростили выражение (т. е. уменьшили количество действий, которое необходимо выполнить, чтобы вычислить значение выражения). Теперь подставим значение :

Ответ: .

Задание 5. Выполнить действия и упростить полученное выражение:

Решение.

Выполним действия поочередно – сначала деление, затем умножение:

Действие 1. Деление на дробь заменим умножением на обратную (перевёрнутую):

Для удобства представим первый множитель в виде дроби:

Для умножения дробей необходимо умножить их числители и знаменатели:

Действие 2. Опять же, для умножения дробей перемножим их числители и знаменатели:

Мы выполнили все действия. Осталось упростить полученное выражение. Для этого разложим числитель и знаменатель полученной дроби.

Рассмотрим числитель:

Первый множитель разложим по формуле разности квадратов:

В итоге получаем:

Разложим знаменатель на множители:

В выражении  есть общий множитель , который можно вынести за скобки:

Во второй скобке стоит квадрат разности:

В итоге получаем знаменатель:

А вся дробь принимает вид:

Видим общие множители. Упростим выражение, сократив числитель и знаменатель на :

Ответ: .

Задание 6. Упростить выражение:

Решение.

Выполним упрощение по действиям:

Действие 1. Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю:

Упростим полученную дробь, для этого вынесем общий множитель  в числителе:

Действие 2. Выполним умножение:

Сразу видим общий множитель , на который можно сократить дробь:

Во втором множителе в знаменателе можно вынести за скобки выражение :

Получим:

Можно сократить на :

Обратим внимание на множители  и . Можем вынести знак «минус» за скобки, чтобы в дальнейшем их сократить:

Получим:

Действие 3. Заменим операцию деления умножением на обратную дробь:

Упростим полученную дробь

1. В первом множителе знаменателя видим формулу квадрата разности:

2. Во втором множителе в знаменателе есть подобные слагаемые:

3. В числителе есть выражение , к которому можно было бы применить формулу разности квадратов. Но число  неудобно представлять в виде квадрата, только как . А поскольку в условии больше нигде нет выражений с корнями, то подобное разложение на множители не потребуется.

В итоге получим дробь:

Сократим на общие множители  и :

Действие 4. Выполним сложение:

Для сложения дробей приведём их к общему знаменателю. Знаменатели одинаковы с точностью до знака, поэтому достаточно числитель и знаменатель второй дроби умножить на :

Упростим полученное выражение – используем формулу разности квадратов:

Ответ: .

Заключение

Итак, как вы убедились, для выполнения задания с дробно-рациональными выражениями вам необходимо уметь:

1. раскладывать многочлены на множители;

2. уметь выполнять действия с дробями: приводить к общему знаменателю, умножать и делить дроби.

Все остальное уже техника, которая нарабатывается решением достаточного количества примеров.

Список литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, «Просвещение», 2018.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. / Под ред. Теляковского С. А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Проверь себя

1. Вычислить: .

2. Упростить выражение: .

3. Доказать тождество: .