01. Рациональные числа
29 мин
02. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Основные сведения
18 мин
03. Арифметический квадратный корень
15 мин
04. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Решение задач
17 мин
05. Иррациональные числа
34 мин
06. Действительные числа
17 мин
07. Функция y = √x. Её свойства и график
19 мин
08. Функция y = √x. Её свойства и график. Решение задач
15 мин
09. Свойства квадратных корней
12 мин
10. Свойства квадратных корней. Решение задач
11 мин
11. Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)
13 мин
12. Преобразование выражений с корнями (внесение множителя под знак корня)
11 мин
13. Преобразование, упрощение выражений с корнями
11 мин
14. Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями
13 мин
15. Модуль действительного числа
22 мин
11. Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)
Видео доступно по абонементу
Повторение определения и свойств квадратного корня
Напомним определение квадратного корня: квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое число неотрицательное число b, квадрат которого равен a:
Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:.
Рассмотрим несколько примеров на вычисление корней:, т. к.;, т. к.;, т. к.;
.
Напомним также основные свойства квадратного корня:
1. (). Если a и b – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.
2. (). Если a – неотрицательное число, а b – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.
3. ().
Примеры:
1. .
2. .
Свойство корня – вынесение множителя из-под знака корня
Докажем теперь ещё одно не менее важное свойство квадратного корня:
, т. е.:
.
Доказательство:
Напомним вначале определение модуля:
. Примеры:
,,.
Рассмотрим два случая:
1. , т. к. – можно пользоваться определением корня квадратного из неотрицательного числа.
2. a<0. В этом случае: -a>0. Тогда для числа (-a) можем воспользоваться результатами первого случая:.
Утверждение доказано
Естественным обобщением данного свойства является формула:
.
Примеры решения задач на вынесение множителя из-под знака корня
Рассмотрим типовые задачи на применение указанного свойства.
Примеры:
1. .
.
2. .
3. .
4. .
Необходимо понимать, что во всех рассмотренных примерах значение корней всегда получается неотрицательным (несмотря на наличие перед некоторыми ответами знака. К примеру, в примере 4 ответ положительный, так как знак выражения, а перед самим выражением стоит ещё один. Как известно, минус на минус даёт плюс.
Решим ещё несколько примеров, в которых фигурируют уже несколько переменных:
5. .
( a>0 – по условию, – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).
6. .
(a<0 – по условию, – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).
7. .
( x>0 – по условию, – так как).
8. .
(x<0 – по условию, – так как y<0).
Итак, мы рассмотрели вынесение множителя из-под знака корня. Мы научились выносить множитель из-под корня с учётом его знака, а также решили несколько примеров.
На следующем уроке мы научимся вносить множитель под знак квадратного корня.
Список литературы
Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
ЕГЭ? Сдам! (Источник).
Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (Источник).
Домашнее задание
№336-338 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Упростить выражение: а)
; б); в); г).
Упростить выражение: а), б), в).