12. Преобразование выражений с корнями (внесение множителя под знак корня)

Повторение определения и основных свойств квадратного корня

Начнем урок с повторения теории.

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число b, квадрат которого равен a.

Из определения следует тождество при.

Пример 1. Вычислите, т. к..

Пример 2. Решите уравнение.

Решение.

Уравнение может показаться очевидным и выполненным всегда при всех значениях переменной x. Действительно, мы уже знакомы с тождеством, которое представляет собой это уравнение, однако, важно помнить, что оно выполнено при, что и будет являться решением уравнения. Это тот случай, в котором решением уравнения может являться не одно или несколько чисел, как мы привыкли, а целая числовая полуось.

Ответ..

Основные свойства квадратного корня:

а)

б)

в)

Рассмотрим две важнейшие типовые задачи урока, на методе решения которых будет базироваться подход к другим подобным задачам.

Две типовых задачи на внесение множителя под квадратный корень

Пример 3. Внесите множитель под знак корня:

а),

б).

Решение. Задачи отличаются только знаком выражения, которое является множителем перед корнем, но это принципиальный аспект дальнейшего решения.

а) Внесение положительного множителя под знак корня. Если , то, тогда

б) Внесение отрицательного множителя под знак корня. Если , то (т. к.

), тогда.

Ответ.;.

Как видно из приведенного примера, знак вносимого под корень выражения важен, и если он отрицательный, то перед корнем после внесения множителя должен остаться минус, в случае внесения положительного множителя, значение выражения остается положительным.

Когда нам известны два принципиальных подхода к решению задач, можем перейти к различным примерам.

Различные примеры на внесение множителя под квадратный корень

Пример 4. Внесите множитель под знак корня: а), б), в).

Решение. а) Т. к. множитель перед корнем положительный, то.

б) Т. к. множитель перед корнем отрицательный, то.

в) В этой задаче может показаться, что решение имеет различные варианты, т. к. знак выражения перед корнем не известен, но следует заметить, что такое же выражение находится и под знаком корня, т. е. оно неотрицательно по определению квадратного корня (). Имеем вариант для внесения неотрицательного числа.

Ответ.;;.

Пример 5. Внесите множитель под знак корня и упростите: а), б).

Решение. Задачи похожи, однако, отличаются знаками вносимых под корень множителей, подход к решению нам уже известен, применим его.

а), тогда.

б), тогда.

Ответ..

Пример 6. Внесите множитель под знак корня и упростите: а), б).

Решение. а) По определению квадратного корня, т. к. если произведение трех одинаковых чисел неотрицательно, то и эти числа неотрицательны, тогда вносим под корень неотрицательное число:.

б) По определению квадратного корня, тогда вносим под корень отрицательное число:.

Ответ.;.

На следующем уроке рассмотрим более сложные задачи на преобразования выражений с корнями, в которых нам понадобятся знания обо всех основных свойствах квадратного корня.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Старая школа (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

3. Интернет-портал «fizmat.by» (Источник).

Домашнее задание

1. №318, 319, 332, 339, 340, 343. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Внесите множитель под знак корня: а), б), в).

3. Внесите множитель под знак корня, если известно, что:

4. а),

5. б).

6. Расположите в порядке возрастания числа: а), б).