03. Применение формул корней квадратных уравнений

Повторение формул корней квадратного уравнения

Рассматриваем квадратное уравнение где . Вспомним, что на прошлом уроке методом выделения полного квадрата мы определили, что  (*), из чего следовала формула корней квадратного уравнения:

или ,

где дискриминант квадратного уравнения.

Для корректного применения этих формул необходимо проанализировать знак дискриминанта. Поскольку в выражении, обозначенном (*), левая часть является полным квадратом, то она всегда неотрицательна , то же самое относится и к знаменателю правой части , то по знаку дискриминанта можно сделать некоторые выводы.

Количество корней квадратного уравнения

1. Если , то корней нет.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение.Выпишем коэффициенты этого квадратного уравнения и вычислим его дискриминант . Следовательно, корней у этого уравнения нет.

Ответ. Корней нет.

1. Если , то уравнение имеет один корень , т.к. из (*) следует, что

Замечание. Если говорить строго, что при квадратное уравнение имеет два одинаковых корня, на что в школьном курсе часто не обращают внимания.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Выпишем коэффициенты этого квадратного уравнения и вычислим его дискриминант . Следовательно, корень квадратного уравнения

Ответ.

Замечание. Если дискриминант квадратного уравнения нулевой, то соответствующий квадратный трехчлен можно разложить по формуле полного квадрата. Рассмотрим это на предыдущем примере.

Тогда . Получили тот же ответ. Продемонстрированный способ является одним из возможных вариантов решения, если вы сразу заметили возможность сворачивания выражения в полный квадрат.

1. Если , то уравнение имеет два различных корня .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Выпишем коэффициенты квадратного уравнения . Вычислим дискриминант , следовательно, есть два различных корня.

, т.е. .

Ответ.

Примеры с иррациональностью

Теперь рассмотрим различные примеры.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Выпишем коэффициенты квадратного уравнения и вычислим дискриминант , таким образом, у уравнения два различных корня. В отличие от предыдущего рассмотренного случая, дискриминант не является полным квадратом, поэтому записываем его в формулу корней под корнем.

, т.е.

.

Ответ.

Данный пример примечателен тем, что коэффициенты квадратного уравнения и его корни содержат иррациональность, однако это не должно смущать, т.к. формула для решения универсальна для всех действительных чисел.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Уравнение сначала может показаться очень нестандартным, т.к. в нем присутствует корень из переменной, однако следует обратить внимание, что он в квадрате, а это позволяет упростить выражение:

при , ограничение вызвано областью определения квадратного корня. Запишем теперь уравнение в упрошенной форме с полученным ограничением (ОДЗ):

. Корни выписали из решения в предыдущем уроке, т.к. это уравнение уже рассматривалось. В данном случае обратим внимание на то, что полученное в ходе решения ограничение влияет на подходящие корни уравнения – корень не подходит, т.к. , что не удовлетворяет условию. Остается один корень уравнения .

Ответ. 1.

На следующем уроке мы рассмотрим алгоритм решения рациональных уравнений.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «planetcalc.ru»

Проверьте себя

1. № 442, 443. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. При каких значениях параметра b имеет один корень уравнение

3. Решите уравнение: .

4. Решите уравнение: .