02. Простейшие неравенства

Пример №1

Мы сталкиваемся с неравенствами в нашей жизни с самого детства. Например, кого ты больше любишь: папу или маму? Больше, вот оно первое неравенство. Или: тебе мама больше шоколадок положила, чем мне, – вот опять неравенство.

Таким образом, самые простейшие неравенства мы встречаем буквально с младенчества. А потом мы приходим к неравенствам, которые можно уже выразить числами. Почти теми, которые вы решаете на уроках алгебры. Приведу пример, как это неравенство может получиться.

Пример №1.

Мама дала 10 рублей и сказала купить 5 шоколадок. Как вы думаете, какая должна быть цена шоколадки, чтобы вы могли купить эти 5 шоколадок? Понятно, что, если, например, шоколадка стоит 1 рубль, то 5 шоколадок стоит 5 рублей, соответственно, вы сможете на 10 рублей купить 5 шоколадок. Если шоколадка стоит 3 рубля, то не сможете. Так вот, как поймать эту границу? В этом нам помогут неравенства, с которыми мы сейчас познакомимся.

Неравенство:

Пусть х – это цена шоколадки, тогда 5 шоколадок будет стоить 5х, и нам нужно, чтобы общая стоимость 5 шоколадок, т. е. 5х, была не больше 10, т. е. .

Как решить такое неравенство?

Прежде чем решать неравенства, с которыми мы, возможно, столкнулись впервые, давайте вспомним, какие аналогичные задачи мы умеем решать.

Вы умеете решать уравнения.

Вы делите это равенство на 5, левую, правую часть, получаете .

Можно ли так же решить неравенство?

1-е свойство неравенства:

1.

Если коэффициент при х положителен, то на него можно разделить обе части. Левую, чтобы осталось х, и правую, чтобы получить ответ.

Замечу, что знак > здесь поставлен, т. е. мы можем его заменить произвольным знаком и <, и ≤, все равно свойство будет верно. Это свойство верно только при а > 0.

Пример №2

У друзей есть два торта. Один торт в два раза меньше другого. Каждый из друзей отдал половину торта родителям. (Рис. 1). У кого из друзей торта осталось больше?

Решение:

Разделим это неравенство на 2 почленно: левую и правую часть. Неравенство сохранится

 .

Ответ: половина от большего торта больше.

Пример №2а

Рассмотрим случай, если коэффициент при х будет отрицательным.

. Делим на .

−2 делить на -2 – это 1, просто х; −4 разделить на −2 – это 2; итого . Проверка: подставим какое-нибудь значение, большее либо равное 2. Например, 3. Верно .

Здесь,. Вот это не верно. Итак, мы получили неверное решение.

Значит, наверное, пользоваться первым свойством нельзя. Поэтому для отрицательных чисел введем специальное второе свойство (Рис. 2).

Если а отрицательное, т. е. коэффициент при х отрицательный, то в неравенстве знак меняется на противоположный.

Пример №3

Предположим, что зимой в Санкт-Петербурге температура была −20°, а в Москве −25°. Летом каждую температуру мы умножим на −1. И в Санкт-Петербурге она составит 20°, а в Москве – 25°.

Где было теплее зимой? Конечно, в Санкт-Петербурге, число −20 > −25. С другой стороны, где теплее летом? В Москве,

25 > 20 (Рис. 3).

Таким образом, если в первом случае температура в Санкт-Петербурге была выше, т. е. неравенство было больше, то, умножив на -1, мы получаем неравенство в другую сторону, меньше, в Санкт-Петербурге меньше, чем в Москве. Это 2-е свойство.

Решение неравенств с применением свойств

Пример №4.

Дано: ; Найти

Для того чтобы найти х, хочется поделить левую, правую части на 3. Это можно сделать в соответствии со свойством 1. Поэтому делим на 3 левую часть, получаем х, правую часть ;

Знак остается такой, какой и был.

Ответ:

Пример № 5.

Дано:

В данном случае, вы видите, что при х стоит коэффициент −2, число отрицательное. Воспользуемся свойством №2. Разделим на −2, В левой части – х; в правой части −6 разделить на −2 – это 3. Знак меняется на противоположный: ≥ было, ≤ стало.

Второй способ. Переносим оба выражения в другие части.

переносим вправо, знак, естественно, меняется.

Значит, вместо получится просто

−6 переносим влево, получается 6.

Применяем свойство № 1, потому что коэффициент при х положительный. Получаем , или .

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Простейшие неравенства». Вы узнали о том, что представляют собой неравенства и где с ними можно встретиться в обычной жизни. Вы смогли на примере практических задач понять, как правильно составлять неравенства, узнали об алгоритме их решения.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»

Проверьте себя

1. Решить неравенство: а) .

2. Какое из чисел больше х или у, если известно, что: а) ; б) 

3. №531, 533. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.