01. Рациональные числа

Введение

Для начала вспомним те числа, которые мы знаем:

1. – натуральные числа (числа для счета предметов окружающего мира)  

Если мы сложим два натуральных числа, то снова получим натуральное число. Например,    

Вычитание может вывести нас за пределы натуральных чисел.

2. Число – характеристика специфического, пустого множества.

Например, мама дала сыну р., все были истрачены. В кармане осталось р.

Введение числа – важное событие в математике. В переводе с латыни ноль – значит «никакой». При решении уравнений мы пытаемся разложить их на множители и приравнять их к нулю. К примеру,

3. – целые числа (натуральные числа, отрицательные, ноль)

Множество натуральных чисел входит в множество целых чисел:

Произведение любых целых чисел будет целым числом.

Но операция деления уже может вывести нас за пределы целых чисел. Например,

Рациональные числа

– рациональные числа (множество целых чисел + дроби)

Дробь вида может быть сократимой или несократимой. Например,

Дробь несократима, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя есть (НОД ).

Преимущество несократимых дробей в том, что они имеют единственную форму записи. – это несократимая форма записи.

Итак, можно считать, что множество рациональных чисел – это множество всех несократимых дробей. Тогда запись этого множества такова:

Каждую дробь  можно представить в следующем виде:

В соответствии с этим, множество рациональных чисел можно определить как множество всех десятичных, но периодических дробей.

Важен переход от обычных дробей к десятичным. Десятичную дробь можно получить обычным делением в столбик. Например, (рис. 1).

Рассмотрим десятичную дробь с периодом . Например .

Это число можно представить по-иному. Пусть . Умножим его на , тогда получим . Вычитаем одно из другого и получим:

Вывод: если мы имеем число с периодом , то его можно представить иначе .

Такая запись дает нам возможность получить однозначность записи вместо числа с периодом.

Как мы можем записать множество рациональных чисел?

Мы можем записать множество рациональных чисел как множество несократимых дробей  либо как множество десятичных дробей, конечных или периодических.

Свойства множества

Важной особенностью множества рациональных чисел является их замкнутость относительно операций:

• сложения;

• вычитания;

• умножения;

• деления (не на ноль);

• возведения в натуральную степень.

В результате этих операций с рациональными числами мы снова получаем рациональное число.

Примеры

Однако извлечение корня выводит нас за пределы множества рациональных чисел. Например, . Благодаря ему, мы узнаем, что такое иррациональные числа, которые мы будем рассматривать далее. – иррациональное число.

Рациональные числа довольно густо заселяют числовую прямую, но не заполняют её сплошь, оставляя места для иррациональных чисел.

Пример. Убедимся, что между и существует бесконечное множество рациональных чисел на числовой прямой.

и , а между ними лежит их среднее арифметическое . Между  и  лежит их среднее арифметическое, и так далее.

Натуральные числа расположены довольно редко на числовой прямой, однако, в некотором смысле, натуральных чисел столько же, сколько и рациональных чисел.

Вывод

Итак, мы рассмотрели множество рациональных чисел.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006. 

Домашнее задание

1. № 9.20, 9.23, 9.26 стр. 56. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ru.wikipedia.org»‎

2. Интернет-портал «school-assistant.ru»‎

3. Интернет-портал «fxyz.ru»‎