07. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Задачи на движение

1 этап (составление математической модели) в задачах на движение

Мы уже знаем, что рациональные уравнения могут служить моделями реальных ситуаций. Но раньше эти ситуации сводились к линейным уравнениям. Сейчас мы рассмотрим ситуации, которые сводятся к решению квадратных уравнений.

Рассмотрим задачу на движение.  

Задача 1

Перегон в 60 км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 минут, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на 10 км/час, чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 минут. С какой скоростью должен был пройти поезд перегон по расписанию?

Решение:

Решение задачи сводится к нескольким этапам.       

1 этап – Составление математической модели

По расписанию: пусть – скорость поезда по расписанию. Длина перегона: . Для равномерного прямолинейного движения верна формула:

Тогда время, за которое поезд должен был пройти перегон по расписанию, выражается следующим образом: .

Фактически: скорость поезда была увеличена, то есть была равна . Длина перегона осталась той же: .

Тогда время, за которое поезд реально проехал перегон, выражается следующим образом: .

Разность между временем по расписанию и фактическим временем и равна тем 5 минутам, которые простоял поезд на семафоре. Кроме того, важно помнить, что поскольку все величины в задаче измеряются в километрах и часах, то и минуты необходимо перевести в часы. Важно помнить, что . Получаем следующее уравнение:

2 этап (работа с математической моделью) в задачах на движение

2 этап – Работа с математической моделью

Решим полученное уравнение: . Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, а затем приведем их к общему знаменателю.

Умножим обе части уравнения на , получим:

Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

Выпишем коэффициенты первого уравнения: Вычисляем дискриминант: .

Тогда корни уравнения будут следующими: . Оба этих числа удовлетворяют второму неравенству нашей системы.

3 этап (ответ на поставленный вопрос) в задачах на движение

3 этап – Ответ на вопрос задачи

Так как за x мы обозначали скорость, а скорость не может быть отрицательной, то единственным вариантом ответа остается.

Ответ:

Таблица для решения текстовых задач

Выполнив все три этапа, мы: получили математическую модель; решили полученное уравнение; отобрали корни, которые нам нужны.

Как видно из решения данной задачи, самый сложный этап – составление математической модели.

В этом может помочь следующая таблица (в нашей задаче 1 участник – поезд, но 2 случая: фактическое движение и движение по расписанию):

Данная таблица помогает осмыслить задачу и составить соответствующее уравнение.

Пример решения задачи на движение по реке

Рассмотрим еще один пример.

Задача 2

Пристани А и В расположены по реке, причем В на 80 км ниже по течению, чем А. Катер прошел путь из А в В и обратно за 8 часов 20 минут. За какое время катер проходит путь из А в В и за какое – из В в А, если его скорость в стоячей воде равна ?

Решение

Пусть – скорость течения реки, тогда:
– скорость по течению реки;

 – скорость против течения реки.

Путь, который проходит катер между пристанями, равен . То есть, .

Тогда время, которое затратит катер на движение по течению реки, равно:

Против течения:

Общее время вычисляется по формуле:

.

Получаем следующее уравнение:

Это уравнение легко решается (переносим все выражения в левую часть, приводим их к общему знаменателю):

Так как скорость течения не может быть отрицательной, то скорость течения равна .

Тогда время, которое катер потратил на движение по течению реки: .

А время, которое катер потратил на движение против течения реки: .

Составим таблицу для данной задачи:

С помощью этой таблицы также можно легко составить уравнение для решения данной задачи.

На этом уроке мы научились составлять математические модели для задач на движение.

На следующем уроке мы научимся моделировать и другие текстовые задачи.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «easyen.ru»

2. Интернет-портал «mmmf.msu.ru»

3. Интернет-портал «pedsovet.su»

Проверьте себя

1. Из пункта А вышел пешеход, а через 1 час 40 минут после этого в том же самом направлении выехал велосипедист, который догнал пешехода на расстоянии 12 км от пункта А. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если за 2 часа пешеход проходит на 1 км меньше, чем велосипедист проезжает за 1 час.

2. Велосипедист съездил из села на станцию и вернулся назад. На обратном пути он увеличил скорость на

    в сравнении с движением на станцию и потратил на него на 8 минут меньше. С какой скоростью ехал велосипедист на станцию, если расстояние между селом и станцией 32 км?

3. Катер проплыл 9 км по течению реки и 1 км против течения за то же время, за какое плот проплывает 4 км по этой реке. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна ?