06. Решение квадратных неравенств

Что такое квадратное неравенство

Квадратными называются неравенства вида или

Причем важно, что старший коэффициент не может быть равен нулю: .

Пример №1

Решить неравенство: .

Умножаем обе части неравенства на , чтобы старший коэффициент стал числом положительным. Получаем: .

Так, мы видим, что любое квадратное неравенство можно преобразовать таким образом, чтобы старший коэффициент был положительным, поэтому будем рассматривать квадратные неравенства для случая .

Итак, решим заданное неравенство для положительного старшего коэффициента:

Рассмотрим функцию: , применяем теорему Виета,

Корни этой функции:

Раскладываем на линейные множители:

Построим график функции (Рис. 1):

I способ решения неравенства

 Произведение двух скобок – число отрицательное.

Произведение двух чисел отрицательное тогда, когда они разных знаков.

Если, тогдаили, тогда.

Исходное неравенство распалось на совокупность двух линейных систем.

или

Проиллюстрируем решение первой системы неравенств (рис. 2):

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Нас интересуют те значения, которые удовлетворят одновременно и первому неравенству, и второму. Очевидно, что это множество значений находится там, где присутствуют оба цвета. Так, решение первой системы: .

Проиллюстрируем решение второй системы (Рис. 3):

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Аналогично первой системе, ищем решение второй системы там, где присутствуют оба цвета. Очевидно, что вторая система решений не имеет.

Ответ: .

II способ решения неравенства. По графику функции получаем ответ. Очевидно, что вне корней функция положительна (график расположен над осью x), а внутри интервала корней функция отрицательна (график расположен под осью x). Так, заданное неравенство выполняется для всех x, лежащих в интервале между корнями квадратного трехчлена: .

Но корни квадратного трехчлена существуют не всегда, мы знаем, что два различных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант его положителен.

Пример №2

Решить неравенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Построим график функции (Рис. 4):

Везде функция положительна, и только в одной точке она равна нулю (рис. 4).

1. или .

2. ;

3. нет решений.

4. .

Пример №3

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции равен нулю, значит, трехчлен раскладывается в полный квадрат.

Построим график функции (Рис. 5)

Функция везде положительная и только в одной точке при , она равна нулю.

Решить неравенства:

1. . Решением являются все значения x, кроме . Ответ: или .

2. . Решение неравенства: .

3. . Нет решений. Квадрат числа не может быть отрицательным числом.

4. . Решение неравенства .

Пример №4

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции больше нуля. .

Корнями здесь являются:

График этой функции – парабола (Рис. 6). Вне интервала корней парабола находится над осью x, а значит, функция положительна. Внутри интервала корней парабола расположена под осью x. Значит, функция при всех этих x отрицательна. В точках функция равна нулю.

Рассмотрим все возможные неравенства, которые нам может предложить эта функция:

1. ; искомые значения находятся вне интервала корней, причем границы входят в ответ, т. к. допускается равенство нулю квадратного трехчлена. Решение неравенства: или

2. ; искомые значения находятся внутри интервала корней, причем границы не входят в ответ. Решение .

Пример №5

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции меньше нуля. . Функция не имеет корней.

График функции:

График этой функции – парабола,  ветви ее направлены вверх, она не соприкасается с осью Х, т. е. на всей оси, при всех значениях х функция – величина положительная (Рис. 7).

Выделим полный квадрат: . Если квадрат числа – величина неотрицательная, то при всех значениях x.

Рассмотрим все возможные неравенства, функции, где .

1. . Решение: .

2. . Нет решений.

Пример №6

Рассмотрим решение неравенства, которое сводится к квадратному.

. Найти множество значений, при которых эта функция имеет смысл.

Решение неравенства:

Рассмотрим функцию: . Корни равны . Изучим её свойства. Для этого схематически построим её график (Рис. 8).

Функция положительна вне интервала корней и отрицательна внутри интервала корней.
при или

Ответ: или .

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнали, что решение квадратных неравенств полностью базируется на решении квадратичных функций.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»

Проверьте себя

1. Решить неравенство:

2. На чем базируется решение квадратных неравенств?

3. №540, 556. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.