04. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Сформулируем правило сложения (вычитания) алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (оно совпадает с аналогичным правилом для обыкновенных дробей): . То есть для сложения или вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо составить соответствующую алгебраическую сумму числителей, а знаменатель оставить без изменений.

Это правило мы разберём и на примере обыкновенных дробей, и на примере алгебраических дробей.

Примеры применения правила для обыкновенных дробей

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение

Сложим числители дробей, а знаменатель оставим таким же. После этого разложим числитель и знаменатель на простые множители и сократим. Получим: .

Примечание: стандартная ошибка, которую допускают при решении подобного рода примеров, заключается в следующем способе решения: . Это грубейшая ошибка, поскольку знаменатель остаётся таким же, каким был в исходных дробях.

Ответ: .

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение

Данная задача ничем не отличается от предыдущей: .

Ответ: .

Примеры применения правила для алгебраических дробей

От обыкновенных дробей перейдём к алгебраическим.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:как уже говорилось выше, сложение алгебраических дробей ничем не отличается от сложения обыкновенных дробей. Поэтому метод решения такой же: .

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение

Вычитание алгебраических дробей отличается от сложения только тем, что в числитель записывается разность числителей исходных дробей. Поэтому .

Ответ: .

Пример 5. Вычесть дроби: .

Решение: .

Ответ: .

Пример 6. Упростить: .

Решение: .

Ответ: .

Примеры применения правила с последующим сокращением

В дроби, которая получается в результате сложения или вычитания, возможны сокращения. Кроме того, не стоит забывать об ОДЗ алгебраических дробей.

Пример 7. Упростить: .

Решение: .

При этом . Вообще, если ОДЗ исходных дробей совпадает с ОДЗ итоговой, то его можно не указывать (ведь дробь, полученная в ответе, также не будет существовать при соответствующих значениях переменных). А вот если ОДЗ исходных дробей и ответа не совпадает, то ОДЗ указывать необходимо.

Ответ: .

Пример 8. Упростить: .

Решение: . При этом  (ОДЗ исходных дробей не совпадает с ОДЗ результата).

Ответ: ;.

Примеры с вынесением знака «-» за скобки в знаменателе

При работе с дробями следует крайне внимательно относиться к знакам, так как именно с неправильным употреблением знаков связано наибольшее количество ошибок. В частности, минус перед дробью можно отнести либо только к числителю, либо только к знаменателю.

Пример 9. Упростить: .

Решение: .

Ответ: .

Пример 10. Упростить: .

Решение: .

Ответ: .

Пример 11. Упростить: .

Решение: .

Ответ: .

Различные примеры на применение правила

При сложении и вычитании дробей также не следует забывать об упрощении полученной суммы – сокращении дроби . Рассмотрим несколько примеров.

Пример 12. Упростить: .

Решение: . При этом необходимо указать, что  (так как это ограничение не входит в ОДЗ ответа).

Ответ: ;.

Пример 13. Упростить: .

Решение: . При этом необходимо указать, что (так как это ограничение не входит в ОДЗ ответа).

Ответ: ;.

Примеры на доказательство тождеств, упрощение и вычисление значений

Ещё одним типом задач, в которых может понадобиться сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем, могут быть примеры на доказательство тождеств. Рассмотрим такой пример.

Пример 14. Докажите тождество: .

Доказательство: .

Доказано.

Разберём также несколько примеров, в которых очень важна аккуратная работа со знаками (в частности, происходит умножение на  и числителя, и знаменателя дроби – при этом сама дробь, как мы помним, не меняется).

Пример 15. Упростите выражение: .

Решение: .

Ответ: .

Пример 16. Упростите выражение: .

Решение: .

Ответ: .

Складывать и вычитать дроби иногда приходится и в задачах на вычисление значений выражений. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 17. Найти значение выражения:  при .

Решение: .

Ответ: .

На данном уроке мы рассмотрели правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, решили типовые задачи с использованием этих правил. В дальнейшем мы рассмотрим более сложные примеры задач на эти правила, а также научимся складывать и  вычитать дроби с разными знаменателями.

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

3. Никольский С.М., Потапом М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. №№ 44 – 47. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Упростить выражение: а) , б) , в) .

3. Вычислить значение выражения  при .

4. Упростить выражение .

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).