07. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (более сложные случаи)

Введение

Повторение сложения/вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями

На уроке мы продолжим тему предыдущего урока и будем рассматривать задачу сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, т.е. упрощение выражений вида: , где . В основном, задача сводится к нахождению наименьшего общего знаменателя дробей, а это делается, как мы уже знаем, по аналогии с обыкновенными дробями. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Выполнить действие .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей воспользуемся основной теоремой арифметики и разложим знаменатели на простые множители.

 и .

Следовательно,  и .

Вспомним, что наименьший общий знаменатель должен содержать множители всех знаменателей, причем так, чтобы множителей было минимально возможное количество. В нашем случае необходимы множители , , , . Следовательно, общий знаменатель , а дополнительные множители: к первой дроби , ко второй дроби .

.

Как видно из решения, удобно даже не перемножать простые множители в знаменателе до получения числителя общей дроби, чтобы потом было легче сокращать дробь.

Ответ: .

Примеры на сложение/вычитание двух алгебраических дробей с разными знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители

Теперь рассмотрим аналогичные операции с алгебраическими дробями. Не сложно догадаться, что самой трудоемкой частью сложения или вычитания дробей с разными знаменателями является нахождение наименьшего общего знаменателя. Если в случае обыкновенных дробей можно было пользоваться разложением чисел на множители, то в алгебраических дробях на множители необходимо будет раскладывать многочлены. Для этого существует несколько известных нам методов: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения и метода группировки слагаемых. Рассмотрим более подробно их применение для решения сложных задач на сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.

Пример 2. Выполнить действия .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя и дополнительных множителей разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель уже представляет собой простое выражение, а второй раскладывается по формуле разности квадратов:

.

Как видно по ходу решения, в качестве наименьшего общего знаменателя выбран знаменатель второй дроби, который делится и на первый знаменатель и сам на себя. Дополнительный множитель в таком случае пригодился только для первой дроби. Во втором переходе можно обратить внимание на внесение минуса перед дробью в один из множителей знаменателя для того, чтобы сделать знаменатели дробей максимально похожими друга на друга; такой прием нам уже знаком из темы «сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (более сложные случаи)» (урок №5).

Ответ: .

Пример 3. Выполнить действия .

Решение. Поступим аналогично с предыдущим примером и разложим по ходу решения знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов, перед этим внесем минус перед дробью в знаменатель для того, чтобы он получил более удобный вид:

.

Ответ: .

Примеры на сложение/вычитание трех алгебраических дробей с разными знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители

Рассмотрим теперь более сложные примеры на сложение/вычитание трех дробей.

Пример 4. Выполнить действия .

Решение. Как и ранее, разложим на множители каждый знаменатель, найдем наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.

.

Как и ранее, для приведения выражения к удобному виду, вынесем минус из знаменателя второй дроби. Поскольку в выражении присутствует три дроби, чтобы не запутаться, выпишем наименьший общий знаменатель отдельно, составив его из множителей, входящих во все знаменатели: . Исходя из него, укажем и дополнительные множители для каждой из дробей, как те множители, которых не хватает знаменателю, чтобы стать общим.

.

Последний переход (раскрывание скобок) не принципиален, и можно было указать в ответ выражение, записанное предпоследним.

Ответ: .

Пример 5. Выполнить действия .

Решение. Поступаем уже известным для нас образом: раскрываем знаменатели на множители, при необходимости меняем знаки в знаменателях дробей, находим наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.

.

Наименьший общий знаменатель: .

.

Можно заметить, что выражение в числителе представимо в виде  по формуле квадрата суммы, аналогично выражение .

В конце проведено сокращение на , значит необходимо обязательно записать область недопустимых значений переменной, связанную с этим сокращением:  и  являются недопустимыми значениями переменных. Во всех остальных случаях выражение равно .

Ответ: .

На следующем уроке мы подробно остановимся на технике разложения на множители знаменателей дробей для их последующего сложения и вычитания. Эта техника чрезвычайно важна, т.к. мы видим, что она активно используется во всех рассмотренных ранее операциях с дробями.

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).

2. Так то ЕНТ. Методическая копилка (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 55, 56, 63, 66, 68. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Выполнить действия .

3. Выполнить действия .

4. Доказать тождество: .