17. Степень с отрицательным показателем

Определение и свойства степеней с натуральным показателем

Вспомним, что такое степень с натуральным показателем. По определению:

Вспомним также свойства степеней с натуральным показателем:

1. ;

2.  ;

3. ;

4. ;

5. .

Постараемся ввести степень с отрицательным показателем так, чтобы свойства для степени с натуральным показателем остались верными и для степеней с отрицательными показателями.

Степень с нулевым показателем

Сначала введём степень с показателем 0. Для этого в свойстве 2 положим:.

Получим:

Таким образом, получаем следующий вывод: для любого ненулевого основания его нулевая степень должна равняться 1.

Или:.

Степень с отрицательным показателем

Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Для этого в свойстве 2 положим, получим:

Получаем такое определение степени с отрицательным показателем:

,.

Мы вводили определение так, чтобы все свойства степени с натуральным показателем сохранялись. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Поэтому в дальнейшем мы можем смело ими пользоваться.

Решение примера

Рассмотрим несколько примеров на применение полученного определения и свойств степени.

 Пример 1.

 а);

б);

в);

Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой:. Докажите её самостоятельно.

г).

Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой:. Докажите её самостоятельно.

Пример с приведением различных чисел к степеням с одинаковым основанием

Пример 2.

Представить следующие выражения в виде степеней числа 2:

.

Решение:.

Последнее выражение можно было преобразовать и по-другому:.

Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой:

 Докажите её самостоятельно.

Второй пример очень важен: мы научились сводить разные основания к одному. Это полезно при решении различных примеров.

Решение более сложных примеров

Пример 3. Вычислить:

а);

б).

Последнее выражение можно было преобразовывать и другим способом:

Аналогичные идеи работают не только с числами, но и с буквенными выражениями. Рассмотрим несколько примеров.

Решение примеров с буквенными переменными

Пример 4.

 а);

б);

в);

г)На этом уроке мы ввели понятие степени с отрицательным показателем, выяснили, что все свойства степеней с натуральными показателями остаются верными и для нового вида степеней. Также рассмотрели ряд примеров на применение данных свойств.  

На следующем уроке мы начнём изучение новой темы – квадратные уравнения.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

2. Старая школа (Источник).

 Домашнее задание

1. №106-112, Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Представьте в виде степени однозначного натурального числа дробь:

а), б), в), г).

3. Представьте в виде степени с основанием 10 число: а), б), в), г).

4. Найдите значение выражения: а), б).