09. Свойства квадратных корней

Повторение определения и графика функции y = √x

На этом уроке мы повторим теорию, изученную ранее, а также сформулируем и докажем свойства квадратных корней и решим несколько примеров.

Напомним определение квадратного корня:

квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен: .

К примеру:

, т. к. т. к. т. к.

Вспомним, как выглядит график функцииОн тесно связан с графиком функции

График функцией

Итак, мы вспомнили, что такое корень квадратный из неотрицательного числа (арифметический корень) и как выглядит его график.

Свойство корня из произведения с примерами

Квадратный корень (арифметический корень) обладает целым рядом свойств:

1. Еслиинеотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня: а с другой стороны:Получаем, что:. Но мы знаем, что функцияпринимает свои значения ровно один раз.

Значит, из равенства квадратов, получаем:.

Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

Рассмотрим обобщение первого свойства:

.

Примеры:

1. .

2. .

3.  Еслинеотрицательное число, аположительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

Свойство корня из частного с примерами

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны:. Получаем, что:. Но мы знаем, что функцияпринимает свои значения ровно один раз.

Значит, из равенства квадратов, получаем:.

Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

3. 

Свойство корня из чётной степени с примерами

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны:.

Получаем, что: Но мы знаем, что функцияпринимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем:

Доказано.

Примеры:

1. 

2. 

Примеры решения различных задач на свойства квадратного корня

Рассмотренные свойства широко используются в различных задачах.

Решим несколько примеров.

1. 

Конечно, в данном примере можно было просто вычислить квадраты указанных чисел, а затем посчитать их разность. Однако предложенный нами способ решения универсальный. А подсчёт «в лоб» станет невозможным для больших чисел.

Прежде, чем решать следующий пример, рассмотрим одну из самых распространённых и грубейших ошибок, которую часто допускают при работе с квадратными корнями.

Утверждение:  – НЕВЕРНО!!!

В качестве подтверждения рассмотрим следующий пример:

, а не:

Как видим, применение неправильной формулы приводит к неправильным результатам.

2.  

3. 

4. 

Или:

Итак, мы рассмотрели свойства квадратного корня из неотрицательного числа, доказали эти свойства, а также научились применять их для решения различных примеров.

На следующем уроке мы научимся решать различные более сложные задачи с помощью этих свойств.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»  (Источник).

2. Внеклассный урок (Источник).

Домашнее задание

1. №226, 245, 318-323 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Вычислите:

а);

б);

в) ;

г)

3. Вычислите:

а) ,

б) ,

в).