04. Свойства квадратного корня

Обратные арифметические операции

Многие действия, с которыми мы сталкиваемся в жизни, могут быть выполнены в две стороны. Сесть-встать, вкрутить и выкрутить болт, собрать и разобрать кубик Рубика (см. рис. 1) и т. д.

В целом можно сказать, что если есть алгоритм выполнения действий, то чаще всего можно подобрать и обратный ему алгоритм. Исключения тоже известны: разбитую чашку обратно не соберешь, слово не воробей и т. д.

На самом деле,  в точности равно 0 только в математике. В жизни, пока встаём и садимся, мы немного устаём и т. д. Но все-таки при решении некоторых задач мы можем говорить о том, что произошло обратное действие.

Обратное действие обычно имеет гораздо бо́льшую сложность, чем прямое. Действительно, придумать алгоритм действий несложно, но это не значит, что легко разработать и выполнить обратный к нему.

Если вы вышли из дома в незнакомом городе, то уйти куда-то несложно. А вот вернуться обратно, особенно если вы без карты или навигатора, не так просто. Более того, даже если вы запомнили маршрут, просто выполнить действия в обратном порядке не всегда возможно. Например, передвигаясь на автомобиле, вы могли проезжать по улицам с односторонним движением.

Мы уже знаем, что выполнять обратные действия в математике сложнее, чем прямые.

Например, обратное действие к умножению – деление. Но алгоритм умножения в столбик позволяет выполнить умножение любых двух чисел с использованием только таблицы умножения и умения складывать числа. А вот при делении нужно подбирать числа. Вспомните: .

Подбираем: , , значит, оставляем  и т. д.

Обратные арифметические операции возникают, когда нам нужно решить задачу вида  или . Т. е. когда мы знаем результат и нам известно одно слагаемое или множитель. А если нам неизвестны оба слагаемых или множителя, то задача становится ещё труднее, да ещё и неоднозначной. Например, . Это могут быть числа:

Конечно, для современных компьютеров выполнение таких обратных действий не составляет большой трудности, хотя есть и такие обратные операции, которые требуют очень много времени даже для очень мощной вычислительной техники. Это используется при шифровании данных. Подробнее об этом вы можете прочитать ниже. 

Факторизация числа

Факторизацией числа называется его разложение на простые множители. Мы выполняли факторизацию чисел для нахождения НОД и НОК. Например:

Т. е. это операция, обратная умножению, в которой есть ограничения на множители: они должны быть простыми.

Для небольших чисел выполнить её несложно – мы использовали для этих целей подбор. Но для больших чисел, которые являются произведением двух простых чисел, факторизация может занять огромное количество времени.

Сравните: прямая операция умножения двух простых -значных чисел займет на компьютере средней мощности (частота процессора  ГГц) время порядка нескольких секунд. А вот время выполнения обратной операции, т. е. факторизации, оценивают в  лет работы этого же компьютера.

Именно из-за того, что даже для компьютеров такая обратная операция является существенно сложнее прямой, простые числа используют в некоторых алгоритмах шифрования данных. Если сообщение перехватит человек, не знающий ключа (одного из простых чисел, которые использовались при перемножении), то у него уйдет слишком много времени на дешифровку.

Арифметический квадратный корень

Вспомним ещё об одной операции – возведении в квадрат, т. е. умножении числа на себя. Возведение в квадрат – частный случай умножения, для которого у нас есть чёткий алгоритм. Обратная операция – это извлечение квадратного корня. Вспомним определение.

Арифметическим квадратным корнем из  (обозначается, как ) называется такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат равно :

Сложность выполнения этой обратной операции состоит, во-первых, в том, что нет чёткого алгоритма для извлечения корня, а нужно подбирать его значение. Например, чему равен ? Подбираем: это число должно быть от  до , т. к. оно больше  и меньше :

Оно заканчивается на , т. е. последняя цифра должна быть или , или , т. к. квадраты этих чисел заканчиваются на :

Считаем:

Значит, .

Конечно, можно было бы посмотреть в таблицу квадратов. Но такую таблицу невозможно составить для всех чисел.

Кроме того, одно – искать квадратный корень из числа, которое точно является квадратом целого числа, а другое – пробовать найти, например, число, квадрат которого равен : . С этими сложностями вы уже знакомы, подробнее о них было рассказано в уроке «Виды чисел». А сегодня на уроке мы с вами познакомимся ещё с некоторыми нюансами вычисления квадратных корней и изучим их свойства.

Свойства квадратного корня

Квадратный корень, по определению, это решение уравнения:

Понятно, что если квадрат числа , то:

Т. е. если у уравнения есть корни, то не один, а два (исключение: ). Чтобы избавиться от неопределённости при определении квадратного корня, мы ввели определение арифметического квадратного корня:

Т. е. в дальнейшем мы будем работать с квадратными корнями, которые принимают только неотрицательные значения:

Поскольку нет чисел, которые при умножении на себя дают отрицательное число: , то уравнениене будет иметь действительных корней при . 

Из этого следует второе свойство квадратного корня: выражение  имеет смысл только при , при  выражение  не имеет смысла.

Квадратный корень из отрицательного числа

В языке некоторые выражения не имеют смысла, например «синий ветер». Хотя по отдельности оба слова существуют и имеют смысл. Математика тоже язык. Поэтому не должно удивлять то, что некоторые математические выражения не имеют смысла. Мы уже говорили об этом, когда давали определение алгебраическому выражению.

К таким выражениям относится, например, . Нет такого действительного числа, квадрат которого равнялся бы . С другой стороны, числа – это инструмент, который мы неоднократно расширяли (см. рис. 3). Оказывается, этот трюк можно повторить и здесь.

Если обозначить , т. е. расширить понятие числа за множество действительных чисел, то получится удобный инструмент, который сохранит все известные нам свойства чисел и может быть использован для решения различных прикладных задач. Такие числа называются комплексными. В школьном курсе такие числа и их свойства обычно не изучаются, а те, кто пойдут на технические специальности в университете, с ними обязательно познакомятся.

Используя определение квадратного корня, можем получить ещё одно свойство: .

Это свойство подтверждает, что возведение в квадрат и извлечение квадратного корня – обратные операции: извлекли квадратный корень из числа, затем возвели его в квадрат и получили исходное число. Кажется, логично: обратная операция, затем прямая – и получили то, что было.

Но мы знаем, что иногда результат зависит от порядка выполнения действий (надеть сначала рубашку пиджак или, наоборот, сначала пиджак, потом рубашку – два разных результата) (см. рис. 4).

Посмотрим, что получится, если сначала применить прямую операцию, а затем – обратную. Т. е. чему будет равно выражение .

По определению квадратного корня, – это такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат равно :

На эту роль «претендуют» два выражения:

Среди них нужно выбрать неотрицательное.

При : .

При : .

Например:

В итоге получаем четвёртое свойство:

Вспомним, что похожее определение имеет модуль числа:

Значит, четвёртое свойство мы можем переписать в следующем виде:

Логично предположить, что свойства обратной операции будут связаны со свойством прямой. Поэтому обратимся к свойствам возведения в квадрат. Вспомним, что:

Применим это свойство для выражений  и . Естественно, эти выражения должны иметь смысл, т. е.  и :

По определению:

Тогда:

По первому свойству:

Значит:

Итак, мы возвели некоторое неотрицательное число () в квадрат и получили . Тогда, по определению квадратного корня, это число равно . При этом данное выражение имеет смысл, т. к. .

В итоге получаем ещё одно свойство:

Аналогичным образом мы можем воспользоваться свойством для деления квадратов:

Тогда для корней получим соотношение:

Естественно, оно выполняется только тогда, когда все выражения имеют смысл, т. е. при  и .

Итак, повторим все записанные ранее свойства квадратного корня:

1. ;

2. выражение  имеет смысл только при , при  выражение  не имеет смысла;

3. , где ;

4. ;

5. , где ;

6. , где .

Упрощение выражений, содержащих квадратный корень

Использование этих свойств позволяет упрощать различные числовые и алгебраические выражения. Разберём типичные приёмы, которые используются при упрощении выражений. 

Задание 1. Упростить выражение: .

Решение.

Степень подкоренного выражения четная, поэтому, во-первых, оно всегда будет неотрицательным и корень всегда будет определён (можем не беспокоиться об ОДЗ):  при всех , а, во-вторых, воспользовавшись свойством степени , можем записать:

Используем определение квадратного корня (не забываем про модуль, т. к. мы пока не знаем, какой знак будет у полученного выражения):

В роли  тут выступает . При любых значениях  выражение под модулем неотрицательно, поэтому: .

Ответ: .

Основная идея: выделить под корнем квадрат некоторого выражения и воспользоваться свойством корня (эквивалентным определением).

Задание 2. Упростить выражение: .

Решение.

Мы не можем подобрать такое целое число, которое при возведении в квадрат равно . Но можем сделать следующее упрощение: представим число  так: .

Тогда:

Воспользуемся тем, что корень из произведения – это произведение корней:

Поэтому: .

Значение  мы можем вычислить:

Тогда:

Или, в таких случаях знак умножения обычно опускают и записывают просто как: .

Ответ: .

Основная идея: разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один или несколько из них являлись квадратами некоторого выражения:

Такое упрощение называется вынесение множителя из-под знака корня.

Задание 3. Сравнить значения выражений: ; .

Решение.

Самый простой вариант – посчитать на калькуляторе приближенные значения этих выражений и сравнить (см. рис. 5). Но давайте посмотрим, как обойтись без калькулятора.

Если мы представим  в виде корня из некоторого числа, то сравнить будет легко: где число под корнем больше, там больше и значение. Чтобы это сделать, сначала представим  в виде корня:

Тогда:

Воспользуемся тем, что произведение корней – корень из произведения:

Получаем, что:

Тут уже очевидно, что:

Ответ: .

Основная идея: представить множитель перед корнем в виде квадратного корня из некоторого выражения:

Такое преобразование называется внесение множителя под знак корня. 

Доказательство монотонности квадратного корня

Почему мы сделали вывод, что ? Ведь, например, несмотря на то что :

Монотонно возрастающие функции – функции, для которых:

Как доказать, что для :

Рассмотрим разность:

Умножим её на положительное выражение :

Т. к. , то: .

Если произведение положительное и один из множителей положителен, то и второй множитель тоже положителен, значит:

Более сложные примеры упрощения выражений, содержащих квадратный корень

Рассмотрим несколько более сложных примеров на упрощение выражений с корнями.

Задание 4. Упростить выражение:

Найти его значение при:

Решение.

Для применения любого из свойств корней необходимо, чтобы подкоренное выражение представляло собой произведение и частное некоторых выражений. Поэтому попробуем разложить подкоренное выражение  на множители.

В выражении присутствует , значит, чтобы оно имело смысл,  должен быть неотрицательным: .

В таком случае  можно представить так: .

А число  представить так: .

Тогда:

Видим формулу квадрата разности :

1. квадрат первого выражения – это ;

2. квадрат второго выражения – это;

3. удвоенное произведение – это .

По формуле сокращенного умножения получаем:

Подставим это в исходное выражение:

По свойству корня :

Мы упростили выражение. Теперь найдем его значение при . Сначала вычислим значение :

Переведём смешанную дробь в неправильную:

Воспользуемся свойством корня , где , :

Получаем, что , при .

Тогда: .

Ответ: ; .

Задание 5. Вынести множитель из-под знака корня: , .

Решение.

Чтобы подкоренное выражение имело смысл, необходимо, чтобы:

При возведении в нечётную степень  знак остаётся прежним, т. е.:

Тогда  должно быть отрицательным (или нулем), чтобы произведение было неотрицательным, т. е.:

Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них являлся квадратом некоторого выражения:

Воспользовавшись свойствами степени, получаем: , где .

Величина  всегда неотрицательна, , поскольку . Значит:

Ответ: .

Внесение множителя под знак корня

Мы рассмотрели, как выносить множитель из-под знака корня. Посмотрим теперь, как выполнять обратную операцию – вносить множитель под корень.

Задание 1. Внести множитель под знак корня: при .

Решение.

Корень всегда неотрицательное выражение. Т. к. , то . Значит, выражение будет неотрицательным. Т. е. когда мы внесём множитель под знак корня, перед корнем должен остаться знак «плюс».

Воспользуемся свойством корней:

Чтобы проверить, можно выполнить обратную операцию: , т. к. .

Ответ: .

Задание 1*. Внести множитель под знак корня:  при .

Решение.

Как меняется решение, когда перед этим выражением стоит знак «минус»? Тогда выражение будет отрицательным, т. к. , .

Значит, после внесения множителя перед корнем должен появиться знак «минус», т. к. в результате эквивалентных преобразований знак выражения измениться не может: , .

Получим:

Чтобы проверить, можно выполнить обратную операцию: , т.к. .

Ответ: .

 Задание 6. Упростить выражение: .

Решение.

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой разности квадратов :

Теперь воспользуемся определением квадратного корня:

Получим:

Заметьте, что в условии ничего не говорилось об ограничениях на значения переменных. Значит, речь идёт обо всех допустимых значениях, т. е. можем сделать вывод, что , .

Ответ: .

Задание не слишком сложное, но оно имеет важно применение. Обратите внимание, что в исходном выражении содержались квадратные корни, а в преобразованном – нет. О таком упрощении говорят, что мы избавились от иррациональности.

Задание 7. Избавиться от иррациональности в знаменателе: .

Решение.

Как мы увидели в предыдущем примере, чтобы избавиться от иррациональности, нужно перемножить два выражения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

Чтобы сделать это в данном случае, умножим числитель и знаменатель дроби на . Такое выражение, которое отличается лишь знаком одного слагаемого от , ещё называют сопряжённым.

Получим:

Применим формулу сокращённого умножения в знаменателе:

Тогда:

Теперь в знаменателе нет корней, т. е. мы избавились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: .

В случае когда в знаменателе есть только одно слагаемое, избавиться от иррациональности ещё проще: нужно умножить на это же выражение.

Например:

Заключение

Кроме рассмотренных выше, есть ещё и другие типичные виды заданий на упрощение выражений с квадратными корнями. Но все они сводятся к использованию указанных выше свойств, а также разобранных методов: выделение квадрата, разложение на множители, внесение и вынесение множителя из-под знака корня. Поэтому с ними вы также легко справитесь!

Список литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, «Просвещение», 2018.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. / Под ред. Теляковского С. А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «mathematics-tests.com».

Проверь себя

1. Выполнить:

a. Вынести множитель из-под знака корня: , .

б. Внести множитель под знак корня: , , .

2. Избавиться от иррациональности в знаменателе: .

3. Выполнить действия и найти значение при , : .