10. Теорема Виета

Введение

Французский математик Франсуа Виет, изучая квадратные уравнения, обнаружил изящную связь между корнями уравнения и его коэффициентами. Теорема Виета – цель нашего урока.

Вспомним.

Квадратным называется уравнение вида:, где.

Уравнение можно почленно разделить на:

Цель – получить приведенное квадратное уравнение:

; ,

Вспомним формулу корней квадратного уравнения:

;

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

Теорему Виета сформулируем для приведенного квадратного уравнения:

Числа,являются корнями уравнениятогда и только тогда, когда параявляется решением системы:

Теорема Виета утверждает, что квадратное уравнение и система одновременно разрешимы или неразрешимы.

Корни уравнения дают все решения системы. И наоборот, все решения системы дают корни уравнения.

Система симметрическая относительно,, т. е. если параявляется решением, то паратоже является решением. Потому что система не изменится, если в системеимы поменяем местами, а значит, в формулировке теоремы мы можем заменить паруна пару.

Докажем теорему Виета.

Дано: ,– корни уравнения .

Доказать:.

Доказательство

Итак, мы знаем формулу корней квадратного уравнения:,

Сложим их:

Первое равенство системы доказано.

Если иудовлетворяют уравнению, то их сумма равняется.

Перемножим и:

Числитель мы сократили по формуле разности квадратов.

Вспомним, что такое дискриминант.

Подставим:

Что и требовалось доказать.

Итак, первая часть теоремы Виета доказана. Еслии– корни квадратного приведенного уравнения, то они удовлетворяют системе .

Продолжим доказательство.

Дано: – решение системы .

Доказать:,– корни уравнения.

Доказательство

Мы имеем:

Итак, мы доказали, что если выполняются требования системы, то– корень квадратного уравнения, но так как наша система симметрична, то можнозаменить наи наоборот. Значит: v^{2} + pv + q = 0, т. е.тоже корень уравнения.

Итак, в обратную сторону теорема доказана.

А именно, доказано, что если числаиобразуют пару, которая удовлетворяет системе, то эти числа являются корнями квадратного уравнения. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения доказана полностью.

Теорема Виета для неприведенного квадратного уравнения

Вспомним, что,.

Числа,являются корнями уравнениятогда и только тогда, когда параявляется решением системы:

Рассмотрим эти соотношения.

Нарисуем оси координат. Предположим, что, т. е. ветви параболы направлены вверх. Предположим, что дискриминант, имеются два корня,и, и есть ось симметрии у параболы. Вспомним, чтоили(если есть корни). В терминах,это записывается так:

То есть первое уравнениеотражает симметрию параболы относительно прямой (см. Рис. 1).

Что показывает второе уравнение?

Оно показывает, каковы знаки у корней.

Если , то корни одного знака.

Если, , то корни разных знаков.

Мы доказали теорему Виета. Но чем же она хороша?

Во-первых, она иногда позволяет относительно просто решить само уравнение.

Пример 1

Решите уравнение..

Решение

Это уравнение можно решить через дискриминант, но это довольно утомительно.

Подметим особенность этого уравнения. Еслимы опустим, то получим.

Значит,– это очевидный корень уравнения.

Но если мы знаем один корень, то легко найдем и второй корень.

Но так как первый корень нам уже известен, то:

Ответ:,.

Итак, мы нашли корни уравнения по теореме Виета.

Давайте посмотрим, что нам надо было бы сделать, если бы мы захотели решить эту задачу через дискриминант:

Разница в удобстве решения очевидна.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решите уравнение .

Решение

Это задание можно решить двумя способами.

1 способ (через дискриминант):

, ;

2 способ (теорема Виета):

Тут очень просто подобрать корни:

,;

Ответ:,.

Здесь теорема Виета дала способ подбора корней.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3

Определите число корней и знаки корней уравнения .

Решение 

Для того чтобы решить эту задачу, нам даже не нужно решать само уравнение.

Чтобы узнать, сколько корней в уравнении, найдем дискриминант.

– значит, имеем два корня:.

Первую часть задачи мы решили.

Для определения знаков корней привлекаем теорему Виета:

 – произведение корней – отрицательное число, соответственно, корни уравнения разных знаков.

Итак, теорема Виета дала нам возможость определить знаки корней уравнения.

Ответ: 2 корня разных знаков.

Заключение

Итак, мы доказали и обсудили важную теорему – теорему Виета. Привели задачи на ее применение.

Список литературы

1. Баш­ма­ков М.И. Ал­геб­ра 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2004.

2. До­ро­фе­ев Г.В., Су­во­ро­ва С.Б., Бу­ни­мо­вич Е.А. и др. Ал­геб­ра 8. 5-е изд. – М.: Про­све­ще­ние, 2010.

3. Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «dist-tutor.info» (Источник).

2. Интернет-портал «mathematics-repetition.com» (Источник).

Домашнее задание

1. Дано квадратное уравнение , укажите сумму и произведение корней.

2. Корнями квадратного уравненияявляются -13 и 2.Чему равны коэффициентыи?

3. Решите уравнение.