11. Возведение алгебраической дроби в степень

На уроке будет рассмотрен более обобщённый вариант умножения дробей – это возведение в степень. Прежде всего, речь будет идти о натуральной степени дроби и о примерах, демонстрирующих подобные действия с дробями. В начале урока, также, мы повторим возведение в натуральную степень целых выражений и увидим, каким образом это пригодится для решения дальнейших примеров.

Правило возведения обыкновенных и алгебраических дробей в натуральную степень:

.

Можно провести аналогию со степенью целого выражения и вспомнить, что понимается под возведением его в степень:

Пример 1.

.

Как видно из примера, возведение дроби в степень – это частный случай умножения дробей, что изучалось на предыдущем уроке.

Пример 2.

а) ,

б)  – минус уходит, т. к. мы возвели выражение в чётную степень.

Ответ: ; .

Для удобства работы со степенями вспомним основные правила возведения в натуральную степень:

 – произведение степеней;

 – деление степеней;

 – возведение степени в степень;

 – степень произведения.

Пример 3.  – это известно нам ещё с темы «Возведение в степень целых выражений», кроме одного случая:  не существует.

Далее рассмотрим примеры посложнее.

Пример 4. Возвести дробь в степень .

Решение. При возведении в чётную степень минус уходит: .

Ответ. .

Пример 5. Возвести дробь в степень .

Решение. Теперь пользуемся правилами возведения степени в степень сразу без отдельного расписывания:

.

Ответ: .

Теперь рассмотрим комбинированные задачи, в которых нам будет необходимо и возводить дроби в степень, и умножать их, и делить.

Пример 6. Выполнить действия .

Решение. . Далее необходимо произвести сокращение. Распишем один раз подробно, как мы это будем делать, а затем будем указывать результат сразу по аналогии: . Аналогично (или по правилу деления степеней) . Имеем: .

Ответ. .

Пример 7. Выполнить действия .

Решение. . Сокращение осуществлено по аналогии с примером, разобранным ранее.

Ответ. .

Пример 8. Выполнить действия .

Решение. .

В данном примере мы ещё раз более подробно расписали процесс сокращения степеней в дробях, чтобы закрепить этот способ.

Ответ. .

Пример 9. Выполнить действия .

Решение. В данном примере уже пропустим отдельное умножение дробей, а сразу воспользуемся правилом их умножения и запишем под один знаменатель. При этом следим за знаками – в указанном случае дроби возводятся в чётные степени, поэтому минусы исчезают. В конце выполним сокращение.

.

Ответ. .

Пример 10. Выполнить действия .

Решение. В данном примере присутствует деление дробей, вспомним, что при этом первая дробь умножается на вторую, но перевёрнутую.

.

Ответ. .

На данном уроке мы рассмотрели возведение дробей в натуральную степень. В дальнейшем умение это делать и осуществлять действия с дробями, изученными ранее, мы будем использовать для преобразования рациональных выражений.

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Старая школа.

Проверь себя

1. № 76. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Возвести дроби в степень:

а) ,

б) .

3. Возвести дроби в степень:

а) ,

б) .

4. Возвести дроби в степень:

а) ,

б) .

5. Выполнить действия:

а) ,

б) .