19. Основные правила преобразования графиков функций

Введение

Наверняка многие из вас могут быстро и правильно построить графики некоторых функций, не прибегая к вычислениям значений точек. Всем известно, что график функции– это прямая, а график функции– это парабола. Но как построить, например, график функции, не вычисляя значения точек? Для этого существуют правила преобразования графиков функций.

Преобразование симметрии относительно оси Ox

Предположим, что у нас есть функция(график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функцииВычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что одним и тем же значениям аргумента соответствуют противоположные значения функций. Графически это означает, что графики расположены симметрично относительно оси абсцисс. То есть заданная параболазеркально отобразится относительно оси(см. Рис. 1).

и

Таким образом, если у нас есть произвольный график, то для построения графиканеобходимо графиксимметрично отразить относительно оси (см. Рис. 2). Такое преобразование называется преобразованием симметрии относительно оси

Преобразование симметрии – зеркальное отражение относительно прямой. Графикполучается из графика функциипреобразованием симметрии относительно оси

На рисунке 3 показаны примеры симметрии относительно оси

Параллельный перенос вдоль оси Oy

Предположим, что у нас есть функция(график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функцииВычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графикабольше на 3 единицы. Графически это означает, что график функциинаходится на 3 единицы выше, чем график функции(см. Рис. 4).

Графики функцийи

Графикполучается из графика функциипараллельным переносом последнего вдоль оси ординат наединиц вверх, если, и наединиц вниз, если(см. Рис. 5, 6).

Растяжение от оси Ox и сжатие к оси Ox

Предположим, что у нас есть функция(график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функции. Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графикабольше в 2 раза. Графически это означает, что график функциисужается по сравнению с графиком функции(см. Рис. 7).

Если необходимо построить график функций, то из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графикаменьше в 2 раза, чем уГрафически это означает, что график функциирасширяется по сравнению с графиком функции(см. Рис. 8).

Чтобы построить график функции, гдеи, нужно ординаты точек заданного графика умножить наТакое преобразование называется растяжением от оси с коэффициентом, если, и сжатием к оси, если(см. Рис. 9, 10).

Параллельный перенос вдоль оси Ox

Предположим, что у нас есть функция, необходимо построить график функцииВычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что одинаковым значениям функции соответствуют значения аргумента, отличающиеся на 2 единицы. Это означает, что график данной функции переместился на 2 единицы относительно оси ординат влево (см. Рис. 11), так как для получения одинаковых значений функций приходится брать значения аргумента на 2 меньше:, при

при

Следовательно, если необходимо было построить график функции, то сдвиг на 3 единицы относительно оси ординат был бы вправо (по сравнению с графиком функции) (см. Рис. 11).

Графикполучается из графика функциипараллельным переносом последнего наединиц влево, если, и наединиц вправо, если(см. Рис. 12, 13).

Обратите внимание на то, что по этому принципу из графикане построить график, ведь мы добавили 1 не ко всем вхождениямв это выражение. А вот графикпостроить можно, сдвинув исходный график на 1 влево (см. Рис. 14).

Растяжение от оси Oy и сжатие к оси Oy

График функции, гдеи, получается из графика функциисжатием с коэффициентомк оси(еслиуказанное «сжатие» фактически является растяжением с коэффициентом) (см. Рис. 15, 16).

Подобное преобразование мы уже рассматривали в случае построения графика функции

Преобразование симметрии относительно оси Oy

Ранее мы рассматривали преобразование симметрии относительно оси Ox, то есть функция умножалась на (-1). Рассмотрим случай, когда на (-1) умножается только аргумент.

В этом случае график симметрично отображается относительно оси ординат, так как значения функций будут одинаковы при противоположных значениях аргумента:

для функции:

при

придля функции:

при

при

Графикполучается из графика функциипреобразованием симметрии относительно оси(см. Рис. 17).

Построение графикови

Пусть дан график, построим графикДля начала раскроем модуль по определению:

Следовательно, те точки, в которых значения функции положительны или равны 0, остаются на месте, а все точки, в которых значения отрицательны, – отражаются относительно оси(см. Рис. 18).

Для того чтобы построить график, нужно часть исходного графика, лежащую выше оси, оставить без изменения, а нижнюю отразить наверх относительно оси

Пусть дан график, построим графикДля начала раскроем модуль по определению:

Следовательно, все точки с положительными или равными нулю абсциссами остаются без изменения, а все точки с отрицательными – заменяются точками с противоположными абсциссами (см. Рис. 19).

Для того чтобы построить график, нужно часть исходного графика, соответствующую значениям, оставить без изменений и отразить ее относительно осидля значений

Задача 1

Построить график функции

Решение

Построим график заданной функции последовательно (см. Рис. 20):

1. Строим график

2. Графикполучается из графикапараллельным переносом последнего на 2 единицы вправо.

3. Графикполучается из графика функциипараллельным переносом последнего вдоль оси ординат на 3 единицы вверх.

Мы могли бы сделать операции в обратном порядке, то есть сначала поднять графикна 3 единицы вверх, а потом получившийся график сдвинуть вправо на 2 единицы (см. Рис. 21).

Обратите внимание, что не все графики функций можно строить в произвольном порядке. Например, для построения графикасначала нужно построить график, затем график(растяжение от оси), а далее – график(параллельный перенос вдоль оси ординат) (см. Рис. 22). Если же сделать в другой последовательности, то есть построить, то далее на 2 придется умножить всё выражение.

– ПРАВИЛЬНО

– НЕПРАВИЛЬНО

Пример

Построить график 

Решение

1. Строим график(гипербола) (см. Рис. 23).

2. Строим график(из аргумента вычитается 2, следовательно, сдвигаем график на 2 единицы вправо) (см. Рис. 23).

3. Строим график (домножение функции на (-1), следовательно, отражаем графикотносительно оси) (см. Рис. 24).

4. Строим график (добавление 2 к функции, следовательно, сдвигаем графикна 2 единицы вверх) (см. Рис. 24).

5. Строим график (модуль функции, следовательно, отражаем нижнюю часть графикаотносительно оси, а верхнюю оставляем без изменений) (см. Рис. 25).

Список литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил.

3. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008.

4. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра 9 кл. С углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2006. 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт учебного центра «Резольвента» (Источник)
2. Интернет-сайт «Инфоурок» (Источник)
3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

Домашнее задание

1. Упражнения 64, 66, 68 (б, г), 69 (в, ж), 70 (и) (стр. 65-69) Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра 9 кл. (Источник).

2. Даны графики функций:
а);
б) 
в)

Какое уравнение будет иметь функция, график которой образуется из данных графиков функций: 1. при параллельном переносе вверх на 3 единицы; 2. при растяжении в 3 раза; 3. при параллельном переносе вправо на 3 единицы?

3. Постройте график функции