01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)
58 мин
02. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа. Практика (основной урок)
1 ч 4 мин
03. Дробно-рациональные уравнения (основной урок)
36 мин
04. Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени. Практика (основной урок)
1 ч 5 мин
05. Повторение. Промежуточный срез №1. Практика
55 мин
06. Квадратные уравнения. Линейные уравнения. Практика (основной урок)
50 мин
07. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения высших степеней. Практика (основной урок)
40 мин
08. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика (основной урок)
55 мин
09. Решение текстовых задач (основной урок)
39 мин
10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)
46 мин
11. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
43 мин
12. Промежуточный срез № 2. Повторение (основной урок)
40 мин
13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
1 ч 17 мин
14. Логарифмы. Практика (основной урок)
1 ч 9 мин
15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы (основной урок)
59 мин
16. Основы тригонометрии (основной урок)
49 мин
17. Основные тригонометрические формулы (основной урок)
1 ч 7 мин
18. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства (основной урок)
1 ч 15 мин
19. Промежуточный срез №3. Повторение (основной урок)
1 ч 30 мин
20. Функции. Свойства функции (основной урок)
49 мин
21. Виды функций. Графики функций (основной урок)
1 ч 0 мин
22. Производная (основной урок)
54 мин
23. Геометрический и механический смысл производной (основной урок)
43 мин
24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)
44 мин
25. Интеграл (основной урок)
42 мин
26. Промежуточный срез №4. Повторение
42 мин
27. Последовательности. Прогрессии (основной урок)
1 ч 23 мин
28. Комбинаторика. Понятие вероятности. Математическая статистика (основной урок)
55 мин
29. Математическая статистика (основной урок)
28 мин
30. Промежуточный срез №5. Повторение
1 ч 43 мин
31. Основы планиметрии (основной урок)
55 мин
32. Треугольники, их характеристики и свойства (основной урок)
41 мин
33. Решение треугольников (основной урок)
39 мин
34. Четырехугольники (основной урок)
1 ч 15 мин
35. Окружность, круг и их элементы (основной урок)
47 мин
36. Практика по планиметрии (основной урок)
48 мин
37. Промежуточный срез № 6. Повторение
34 мин
38. Основы стереометрии
42 мин
39. Расстояние между элементами геометрических тел
34 мин
40. Углы в геометрических телах
23 мин
41. Площади поверхности и объемы геометрических тел
50 мин
42. Решение задач по стереометрии
25 мин
43. Векторы и координаты. Ч.1
35 мин
44. Векторы и координаты. Ч.2
31 мин
45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)
42 мин
03. Дробно-рациональные уравнения (основной урок)
Видео доступно после авторизации
Упрощение рациональных дробей
Урок 3. Дробно-рациональные выражения
Мы уже рассматривали различные действия, которые можно выполнять с обыкновенными дробями. Кроме того, мы говорили, что в основных законах арифметики вместо , , могут стоять любые числа.
Основные законы арифметики
1) Переместительный (от перемены мест слагаемых/множителей сумма/произведение не меняется): ; .
2) Сочетательный: ; .
3) Распределительный: .
Вместо , , могут стоять любые выражения, принимающие числовые значения, то есть любые выражения с переменными. Например, из первого закона следует, что: .
А из третьего: , откуда (по первому закону): .
С выражениями, содержащими числовые переменные, можно выполнять те же действия, что и с числами. Это касается и дробей, в числителе и/или знаменателе которых могут стоять не только числа, но и выражения, содержащие переменные.
Дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены, называется рациональной.
Работа с рациональными дробями, по сути, ничем не отличается от работы с обыкновенными дробями. Рациональные дроби можно упрощать, сокращая числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число: . Для сокращения рациональной дроби числитель и знаменатель нужно уметь раскладывать на множители.
В заданиях на преобразование дробно-рациональных выражений используется два основных способа разложения многочлена на множители.
1) Вынесение общего множителя за скобки: .
Пример:
Замечание: во всех заданиях этого урока подразумевается, что переменная принимает только допустимые значения (то есть знаменатели дробей не обращаются в 0).
2) Применение формул сокращённого умножения.
Пример:
Вынесение общего множителя
Напомним распределительный закон . Это равенство можно применять как слева направо, так и справа налево. Используем закон в следующем виде: .
Это и называется вынесением общего множителя за скобки, что позволяет преобразовать сумму в произведение.
Вместо , , могут стоять любые выражения (числа, одночлены, многочлены, …). Например: или: .
Для упрощения рациональных дробей необходимо следующее.
Знать
формулы сокращённого умножения.
Уметь
выносить общий множитель за скобки.
Умножение и деление рациональных дробей
Рациональные дроби умножаются и делятся так же, как и обыкновенные: .
Пример:
Далее, если возможно, полученную дробь необходимо сократить.
Можно вынести общий множитель за скобки в выражениях: , . Получим .
Ответ: .
Деление на дробь
Числом, обратным к ненулевому числу , называется такое число , что . Если разделить обе части равенства на , то получится: . Число ещё обозначают : .
Рассмотрим дробь . Найдём – из равенства: .
Теперь рассмотрим деление двух дробей: , .
.
Деление рациональных дробей выполняется следующим образом: .
Пример:
Урок 2. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Выражение можно свернуть по формуле : .
Выражение можно расписать по формуле : .
Сократим дробь:
Ответ: .
Пример:
Выполнить деление и сократить дробь. Попробуйте выполнить это задание самостоятельно и сверьте с ответом. Если ответ верен – переходите к следующему заданию, иначе – посмотрите решение этого примера: .
Решение:
Ответ: .
Пример:
Выполнить умножение и сократить дробь. Попробуйте выполнить это задание самостоятельно и сверьте с ответом. Если ответ верен – переходите к следующему заданию, иначе – посмотрите решение этого примера: .
Решение:
Выражение можно расписать по формуле , .
Сократим дробь:
Ответ: .
Для умножения и деления рациональных дробей необходимо следующее.
Уметь
сокращать рациональные дроби.
Сложение и вычитание рациональных дробей
Действия с рациональными дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями, которые мы рассматривали на первом уроке.
Для сложения и вычитания рациональных дробей их необходимо привести к общему знаменателю и затем сложить (вычесть): .
После этого итоговую дробь, если получается, можно сократить.
Пример:
.
Решение:
Теперь упростим полученный результат, разложим числитель на множители (по формуле разности квадратов) и сократим дробь: .
Ответ: .
Пример:
Выполнить вычитание. Попробуйте выполнить это задание самостоятельно и свериться с ответом. Если ответ верен – переходите к следующему заданию, иначе – посмотрите решение этого примера: .
Решение:
Теперь разложим на множители числитель и сократим дробь.
Ответ: .
Пример:
Решение:
В этом примере знаменатели у дробей разные, поэтому дроби необходимо привести к общему знаменателю. Для этого поступаем по аналогии с обыкновенными дробями: раскладываем знаменатели дробей на множители. Затем определяем общий знаменатель и дополнительные множители для каждой из дробей.
Знаменатель первой дроби , так как знаменатель второй дроби не содержит множителей, которых нет в знаменателе первой дроби, то общий знаменатель и будет .
Первую дробь домножать не нужно, так как ее знаменатель уже равен общему, а числитель и знаменатель второй дроби домножим на недостающий множитель :
Вынесем в числителе общий множитель за скобки и сократим дробь:
.
Ответ: .
Для сложения и вычитания рациональных дробей необходимо следующее.
Уметь
приводить рациональные дроби к общему знаменателю;
сокращать рациональные дроби.
Преобразование дробно-рациональных выражений
Рассмотрим задачи, в которых необходимо выполнять различные действия с рациональными дробями. В таких заданиях сначала необходимо определить порядок действий, а затем выполнить их по очереди.
Пример:
Упростить выражение: .
Решение:
Определим порядок действий: .
Выполняем действия:
1. .
Раскладываем на множители знаменатели:
Определяем общий знаменатель: .
Домножаем числители и знаменатели дробей на недостающие множители:
.
Вычитаем дроби:
2. .
Раскладываем на множители числитель и знаменатель: .
Сокращаем дробь: .
Ответ: .
Пример:
Выполнить действия. Попробуйте выполнить это задание самостоятельно и сверьте с ответом. Если ответ верен – переходите к следующему заданию, иначе – посмотрите решение этого примера: .
Решение:
Определим порядок действий: .
3. .
Приводим дроби к общему знаменателю .
Домножим числители и знаменатели дробей на недостающие множители:
.
Вычитаем дроби:
4. .
Раскладываем на множители числитель и знаменатель и сокращаем:
.
Ответ: .
Пример:
Выполнить действия. Попробуйте выполнить это задание самостоятельно и сверьте с ответом. Если ответ верен – переходите к следующему заданию, иначе – посмотрите решение этого примера: .
Решение:
Определим порядок действий:
1. .
Раскладываем на множители знаменатель: .
Сокращаем дробь: .
2. . Приводим дроби к общему знаменателю.
Выражения и
Рассмотрим выражение:
Как видим, эти выражения противоположные, то есть и, наоборот, .
Например, или .
Заметим, что выражения и противоположные. Вынесем знак минус из скобок в знаменателе второй дроби: .
Общий знаменатель: .
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель:
.
Вычитаем дроби: .
Ответ: .
Пример:
Выполнить действия. Попробуйте выполнить это задание самостоятельно и сверьте с ответом. Если ответ верен – переходите к следующему заданию, иначе – посмотрите решение этого примера: .
Решение:
Определим порядок действий: .
1. .
Приводим дроби к общему знаменателю. Для этого раскладываем на множители знаменатель второй дроби: .
Определяем общий знаменатель: .
Домножим числители и знаменатели первой и третьей дроби на недостающие множители:
Выполняем действия:
2. .
Раскладываем на множители числитель и знаменатель и сокращаем:
.
Ответ: .
Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.
Уметь
выполнять действия с рациональными дробями.
Доказательство тождеств
Очевидно, что равенство является верным только при .
Найти значения переменной (или доказать, что их нет), при которых равенство становится верным, означает решить уравнение.
Равенства, которые верны при любых допустимых значениях переменных, называются тождествами. Мы уже сталкивались с такими равенствами – формулами сокращённого умножения.
На практике чаще всего необходимо доказать тождество. Для этого необходимо эквивалентными преобразованиями (их ещё называют тождественными) привести левую часть к правой (или наоборот).
Пример:
Доказать тождество: .
Решение:
Заметим обратные выражения в знаменателе последней дроби и вынесем из обеих скобок знак минус:
.
Общий знаменатель: .
Получаем:
.
Ответ: .
Пример:
Доказать тождество. Попробуйте выполнить это задание самостоятельно и сверьте с ответом. Если ответ верен – переходите к следующему заданию, иначе – посмотрите решение этого примера: .
Решение:
.
Ответ: .
Пример
Доказать тождество. Попробуйте выполнить это задание самостоятельно и сверьте с ответом. Если ответ верен – переходите к следующему заданию, иначе – посмотрите решение этого примера: .
Решение:
Определим порядок действий при упрощении левой части:
.
1.
2. .
Ответ: .
Заключение
После изучения этого урока у вас не должно возникать трудностей с преобразованиями любых дробно-рациональных выражений.
На следующем уроке мы рассмотрим корень n-й степени и его свойства.
Ссылки на уроки по рассмотренным темам:
"