04. Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени. Практика (основной урок)

Внесение и вынесение множителей из-под корня

Урок 4. Корень степени из действительного числа. Обобщение понятия степени

Рассмотрим задачу: найти такое , что .

При чётных : , так как  (в противном случае задача не имеет решения).

При этом если , то и .

Например,  не определён, так как не существует такого действительного числа : , так как . А , так как .

Может возникнуть вопрос: почему для чётных : . Действительно,  может равняться и , и , так как: .

Это создаёт определённые неудобства, так как возникает неопределённость: одно и то же числовое выражение принимает разные значения. Чтобы избежать этого, обычно говорят об арифметическом корне, который принимает только неотрицательные значения, то есть . 

Важное следствие

Для нечётных : 

Для чётных : 

Это равенство можно записать короче: .

Таким образом: 

Например: ; .

Свойства корня

1. ( при чётном ).

2. ( при чётном или ).

Это свойство легко вывести из полученного раньше: . Извлечём из обеих частей корень  степени: , осталось взять: .

Пример

Вынести множители из-под знака корня:

1. ,

Решение

1. Перепишем выражение в виде:  (сгруппируем по степеням).

Первый множитель упрощаем по определению корня: . Так как по условию .

Для вынесения множителя из-под корня подкоренное выражение необходимо представить в виде степени с показателем, равным показателю корня; для второго множителя: 

.

Если показатель корня и степени под корнем имеют общий множитель, то их можно на него сократить:

В нашем случае: .

Ответ: .

2. Поскольку в условии дан корень чётной степени и не указаны знаки переменных, то, прежде чем приступать к преобразованиям, необходимо проанализировать, при каких значениях переменных исходное выражение определено. То есть выполняется условие: . Числовой коэффициент положительный, поэтому можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знак: .

Поскольку: , то возможны два варианта:

1. , в этом случае  может принимать любые значения, а исходный корень равен .

2.  .

В этом случае можем переписать выражение в виде:  (сгруппируем по степеням).

Поскольку , то .

Ответ: .

3. Поскольку в условии дан корень нечётной степени (под корнем нечётной степени могут стоять любые выражения), то анализировать возможные значения переменных не надо.

Перепишем выражение в виде: .

Поскольку: .

Ответ: .

Рассмотрим внесение множителя под знак корня. Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести его в степень корня: . Однако при этом необходимо учитывать знак множителя и чётность степени корня.

Пример

Внести множители под знак корня:

Решение

1. Прежде чем вносить множитель под корень чётной степени (в данном случае ), необходимо разобраться со знаком выражения.

Корень чётной степени принимает неотрицательные значения, перед ним стоит отрицательный множитель, значит, выражение принимает неположительные значения.

Поэтому ставим минус перед корнем, а числовой коэффициент вносим под корень: .

2. Так как корень нечётной степени, то можно не отслеживать знак выражения, а сразу вносить выражение под знак корня, возводя его в соответствующую степень: .

3. Корень нечётной степени, поэтому сразу вносим множитель под знак корня: .

4. Поскольку в условии корень чётной степени (), то прежде чем вносить множитель под корень, необходимо определить знак выражения.

Для этого, как видим, необходимо определить знак переменной.

Под корнем чётной степени может стоять только неотрицательное выражение, поэтому: . Тогда:  (так как корень чётной степени принимает только неотрицательные значения).

Поэтому ставим плюс перед корнем, а множитель вносим под корень: .

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

определение и свойства корня степени.

Уметь

преобразовывать выражения, содержащие степени;

делить с остатком.

Понимать

под корнем чётной степени может стоять только неотрицательное выражение. Под корнем нечётной степени может стоять выражение с любым знаком.

Преобразование выражений, содержащих корни

Пример

Вычислить значение выражений:

Решение

1. Раскроем скобки по формуле квадрата разности: .

2. Раскроем скобки по распределительному закону: :

Для вынесения множителя из-под корня мы использовали свойство: .

Воспользуемся этим свойством справа налево и преобразуем произведение корней в корень из произведения:  .

3. Этот пример можно решить, по очереди умножая скобки. Однако решение будет значительно проще, если заметить, что первые две скобки – это левая часть формулы квадрата разности: .

Опять же можно просто раскрывать скобки, а можно ещё раз воспользоваться формулой: .

4. Для возведения в квадрат можем воспользоваться формулой квадрата разности справа налево: .

5. Вспомним эквивалентное определение корня: . В нашем примере у обоих корней показатели чётные, поэтому: .

Раскроем модули. Для этого определим, положительное или отрицательное выражение под знаком модуля:

Значит, , тогда .

, тогда 

6. Как и в предыдущем примере, воспользуемся эквивалентным определением корня: .

Получаем: . Так как по условию , то : .

Пример

Упростить выражения:

Решение

1. Мы обсуждали, что для сокращения дроби необходимо разложить её числитель и/или знаменатель на множители. Для этого необходимо использовать либо вынесение общего множителя за скобки, либо формулы сокращённого умножения. Понятно, что в данном примере на множители необходимо разложить числитель. Обратим внимание, что , то есть в числителе можно вынести  за скобки: .

2. Необходимо сложить две дроби. Для этого их необходимо привести к общему знаменателю.

Поскольку разложить на множители знаменатели дробей не удаётся ( и – взаимно простые числа), то выберем в качестве общего знаменателя произведение знаменателей исходных дробей: :

3. Для сокращения дроби её числитель и знаменатель необходимо разложить на множители.

Поскольку вынести общий множитель ни в числителе, ни в знаменателе не удаётся, то необходимо пользоваться формулами сокращённого умножения.

Подсказкой выступает то, что: .

Воспользуемся определением корня: . Таким образом, в числителе стоит разность квадратов: . Получаем: .

4. В заданиях, где необходимо выполнить несколько действий, первым делом надо определить порядок действий.

В данном примере сначала выполняется вычитание в скобках, а затем деление. Выполним действие в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю. По аналогии с предыдущим примером, общий знаменатель :

Теперь выполним деление:

.

5. Выполним деление дробей: .

Для того чтобы сократить полученную дробь, необходимо разложить на множители выражения в скобках в числителе и в знаменателе.

Для того чтобы можно было вынести общий множитель за скобки, приведём все корни в примере к одной степени. Для этого воспользуемся следствием из определения корня:  и . Получаем:

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

определение и свойства корня степени;

формулы сокращённого умножения.

Уметь

выносить общий множитель за скобки;

приводить корень к нужной степени.

Преобразование корней в степень с рациональным показателем

Пример

Преобразовать к виду степени с рациональным показателем:

Решение

1. При извлечении корня из корня показатели корней перемножаются .

По определению степени с рациональным показателем:  (при ) – поскольку в условии переменная стояла под корнем чётной степени и в знаменателе, то она принимает только строго положительные значения.

2. Для каждого из корней воспользуемся определением степени с рациональным показателем: .

Приводим все степени к одинаковому основанию . Начинаем преобразования с внутреннего корня по определению степени с рациональным показателем: .

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

определение степени с рациональным показателем;

свойства степени с целым показателем.

Уметь

преобразовывать выражения со степенями.

Понимать

все свойства степени с целым показателем сохраняются и для степени с рациональным показателем.

Вычисление значений выражений, содержащих степени

Для преобразования степеней с рациональным показателем используют те же методы, что и для преобразования степеней с целым показателем: привести все степени либо к одинаковому основанию, либо к одинаковым показателям. Все свойства степеней с целыми показателями остаются верными и для степеней с рациональными показателями.

Пример

Упростить выражения:

Решение

1. Сначала представим основания в виде произведения простых множителей или в виде их степеней

2. Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складываются, при делении – вычитаются:

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

определение степени с рациональным показателем;

свойства степени с целым показателем.

Уметь

преобразовывать выражения со степенями.

Понимать

все свойства степени с целым показателем сохраняются и для степени с рациональным показателем.

Преобразование выражений, содержащих степени

В рассматриваемых заданиях можно все степени с рациональными показателями представить в виде корня, а затем действовать так же, как и при преобразовании выражений, содержащих корни.

Пример

Преобразовать выражения:

1. 

2. 

Решение

1. Перейдём от степеней к корням: .

Необходимо все корни привести к одинаковому показателю, в данном случае . Представим  и  как корень четвёртой степени: .

2. Перейдём от степеней к корням:

Приведём все корни к одинаковой степени, в данном случае – , то есть представим

.

Выполним деление:

Разложим на множители числитель и знаменатель и сократим дробь:

.

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

определение степени с рациональным показателем.

Уметь

преобразовывать выражения с корнями.

Заключение

В уроке мы рассмотрели корень n-й степени и его свойства, а также вспомнили понятие степени с рациональным показателем. Кроме того, мы вспомнили свойства степени и рассмотрели преобразование выражений, содержащих степени и корни.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1) Урок «Арифметический квадратный корень» (алгебра, 8 класс)

2) Урок «Понятие квадратного корня из неотрицательного числа» (алгебра, 8 класс) 

3) Урок «Свойства квадратных корней» (алгебра, 8 класс)

4) Урок «Преобразование выражений с корнями. Вынесение множителя из-под знака корня» (алгебра, 8 класс)

5) Урок «Преобразование выражений с корнями. Внесение множителя под знак корня» (алгебра, 8 класс)

6) Урок «Преобразование, упрощение выражений с корнями» (алгебра, 8 класс)

7) Урок «Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями» (алгебра, 8 класс)

8) Урок «Степень с рациональным показателем. Простейшие задачи» (алгебра, 11 класс)

9) Урок «Задачи со степенями и радикалами» (алгебра, 11 класс)

10) Урок «Обобщение понятия о показателе степени. Начальные сведения» (алгебра, 11 класс)