38. Основы стереометрии

Введение. Аксиомы стереометрии

В планиметрии мы рассматривали плоские (не имеющие объема) геометрические объекты (многоугольники, круги, линии и т.п.). В этом уроке мы приступаем к решению задач по стереометрии.

В стереометрии рассматриваются геометрические тела, т.е. идеальные объекты, геометрические свойства которых (форма, расположение частей и т.д.) аналогичны свойствам реальных предметов в трехмерном пространстве. Вот примеры объектов, которые мы будем рассматривать в стереометрии.

Основными фигурами в планиметрии были точки и прямые, в стереометрии к этим основным фигурам добавляются плоскости. Плоскость как геометрическую фигуру можно представлять себе в виде гладкой поверхности, например, стены или стола, простирающейся неограниченно во все стороны.

На чертежах плоскость изображают параллелограммом или произвольной областью. Обозначают ее обычно греческими буквами ,  и т.п.

Точки, как и в планиметрии, будем обозначать прописными латинскими буквами , ,  и т.д. Прямые – строчными латинскими буквами , ,  и т.д. или двумя прописными ,  и т.д.

Геометрия – аксиоматическая наука. Это значит, что все ее теоремы и факты выводятся по определенным формальным правилам из нескольких заданных и не требующих доказательств утверждений – аксиом. Аксиомы планиметрии определяют основные свойства точек и прямых на плоскости, а аксиомы стереометрии, определяющие свойства плоскостей в пространстве, мы сейчас сформулируем. Этих аксиом всего три.

Аксиомы стереометрии

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Аксиому доказывать не надо. Это практически закон природы. Вы можете проверить сами: стол на двух ножках не стоит, на четырех ножках стол устойчив, только если они все строго одной длины. Столик на трех ножках устойчив и при разной длине ножек.

2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости.

Это свойство используется для проверки прямолинейности чертежной линейки. Если приложить ее к плоской поверхности, то ровная линейка будет прилегать к плоскости всеми своими точками, а у неровной будет просвет.

Из этой аксиомы следует, что, если прямая не лежит в данной плоскости, она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, что плоскости пересекаются.

Примеры пересечения плоскостей: стена и потолок, две смежные стены комнаты.

С помощью аксиом можно доказать различные теоремы стереометрии.

Теорема 1: через прямую () и не лежащую на ней точку () проходит плоскость и притом только одна.

Теорема 2: через две пересекающиеся прямые ( и ) проходит плоскость и притом только одна.

Пример

В кубе  найдите угол между прямыми  и . Ответ дайте в градусах.

Решение

Сначала вспомним, что куб – простейшая пространственная фигура. Куб имеет 6 граней – одинаковых плоских квадратов; 12 ребер – отрезков линий пересечения граней (плоскостей), например, , ,  и т.п.; 8 вершин – точек пересечения ребер (, ,  и т.д.). Невидимые на чертеже ребра, диагонали и другие линии изображаются пунктирными линиями.

Две прямые, о которых говорится в условии  и , лежат в разных плоскостях:  в плоскости грани , а  в плоскости грани . Эти прямые пересекаются в точке , следовательно, по теореме 2, через  и  можно провести единственную плоскость. Назовем ее  (голубая на чертеже).

Плоскость  пересекает плоскость грани  по линии . Это следует из того, что точки  и  лежат в плоскости  и по аксиоме 2 (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости).

Треугольник  лежит в плоскости  (все три вершины принадлежат плоскости ). Следовательно, в этой плоскости мы решаем задачу методами планиметрии (все в одной плоскости). Стороны треугольника  равны, т.к. все они диагонали одинаковых квадратов (граней куба). В равностороннем треугольнике все углы равны . В частности, искомый угол .

Мы рассмотрели аксиомы стереометрии.

В результате сделаем вывод, что нам необходимо следующее.

Знать

• Что такое аксиома.

• Формулировки аксиом стереометрии.

Уметь

• Применять аксиомы стереометрии в доказательстве теорем и в решении задач.

Понимать

• Относительность выбора конкретных аксиом (возможность замены теоремы аксиомой и наоборот).

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

В планиметрии вы изучали много теорем, связанных с расположением точек и прямых на плоскости: признаки параллельности и перпендикулярности прямых, проходящих через точку, линии параллельные или перпендикулярные к прямой и т.п.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямые, которые не пересекаются, но не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Обратите внимание: в стереометрии нам понадобилось подчеркнуть, что прямые лежат в одной плоскости.В планиметрии в этом не было нужды – все объекты лежат в одной плоскости. И скрещивающихся прямых там нет.

Теорема 3: через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой и притом только одну.

Теорема 4 (признак параллельности прямых): две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Пример

Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Замечание: вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости.

Решение

На чертеже  – пространственный четырехугольник, , , ,  – середины его сторон.

 – средняя линия треугольника , параллельная стороне ,  – средняя линия треугольника , параллельная стороне .

По теореме 4 прямые  и  параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно так же доказывается параллельность прямых  и . Итак, четырехугольник  лежит в одной плоскости и его противоположные стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм.

Замечание: эта задача является стереометрическим обобщением теоремы Вариньона. Теперь мы знаем, что исходный четырехугольник  может быть не только не выпуклым, но и не лежать в одной плоскости.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек.

Теорема 5 (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

На чертеже:  – плоскость,  – не лежащая в плоскости прямая,  – прямая в плоскости , параллельная прямой .

Параллельность плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек.

Теорема 6 (признак параллельности плоскостей): если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

На чертеже  и  – данные плоскости,  и  – прямые в плоскости , пересекающиеся в точке ,  и  – параллельные им прямые в плоскости .

Пример

Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

Пусть  и  – данные скрещивающиеся прямые, т.е. прямые, не имеющие общих точек, но не параллельные.

Доказательство

Через произвольную точку прямой  проведем прямую , параллельную , а через произвольную точку прямой  проведем прямую , параллельную .

Теперь проведем две плоскости: одну через прямые  и , а другую – через прямые  и .

По теореме 6 эти плоскости параллельны.

Теорема 7 (существование плоскости, параллельной данной): через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Свойства параллельных плоскостей

1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Согласно определению параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые пересечения лежат в одной (секущей) плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости.

2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Пусть  и  – параллельные плоскости,  и  – пересекающие их параллельные прямые, , , ,  – точки пересечения прямых с плоскостями.

Проведем через прямые  и  плоскость, она пересекает плоскости  и  по параллельным прямым  и . Четырехугольник  – параллелограмм, так как противоположные стороны параллельны.

У параллелограмма противоположные стороны равны. Значит, .

Так же, как и в плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Теорема 8: если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

На чертеже  и  – перпендикулярные прямые,  и  – параллельные им пересекающиеся прямые.

Определение

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости.

Теорема 9 (признак перпендикулярности прямой и плоскости): если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Пусть  – прямая, перпендикулярная прямым  и  в плоскости . Тогда прямая  проходит через точку  пересечения прямых  и .

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Пусть  и , доказать, что .

Доказательство

Проведем через точку  пересечения прямой  с плоскостью  произвольную прямую  в плоскости . Проведем в плоскости  через точку  пересечения прямой  с плоскостью  прямую , параллельную .

Так как прямая  перпендикулярна плоскости , то прямые  и  перпендикулярны. Параллельные им пересекающиеся прямые  и  тоже перпендикулярны (теорема 8). Таким образом, прямая  перпендикулярна любой прямой , проходящей через точку  в плоскости . Значит, прямая  перпендикулярна плоскости .

2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Доказательство

Пусть  и . Допустим, что прямые  и  не параллельны.

Выберем на прямой  точку , не лежащую в плоскости . Проведем через точку  прямую , параллельную прямой . Прямая  перпендикулярна плоскости  (свойство 1). Пусть  и  – точки пересечения прямых  и  с плоскостью . Тогда прямая  перпендикулярна пересекающимся прямым  и . Это невозможно.

Пришли к противоречию, следовательно, .

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

На рисунке представлены две перпендикулярные плоскости  и , пересекающиеся по прямой . Плоскость , перпендикулярная прямой , пересекает плоскости  и  по перпендикулярным прямым  и .

Любая плоскость перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым.

Действительно, если взять другую плоскость , перпендикулярную прямой , то она пересечет плоскость  по прямой , перпендикулярной , а значит, параллельной прямой , а плоскость  – по прямой , следовательно, перпендикулярной  и параллельной прямой . По теореме 8 из перпендикулярности прямых  и  следует перпендикулярность прямых  и .

Теорема 10 (признак перпендикулярности плоскостей): если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

На чертеже  – плоскость,  – перпендикулярная ей прямая,  – плоскость, проходящая через прямую , и  – прямая, по которой пересекаются плоскости  и .

Теорема о трёх перпендикулярах и обратная к ней. Решение задач

Перпендикуляр и наклонная

Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка (). Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок (), соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий на плоскости (), называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки () до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость (длина ).

Наклонной, проведенной из данной точки () к данной плоскости, называется любой отрезок (), соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости (), называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной ().

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

 – перпендикуляр к плоскости ,  – наклонная и  – прямая в плоскости , проходящая через основание  наклонной.

Угол между плоскостями

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая – ребром двугранного угла.

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым (лучам). Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.

За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.

Пример

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, имеют длины 3, 4 и 12. Найти длину диагонали параллелепипеда.

Рассуждение

Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий противоположные вершины (не лежащие в одной грани), например, .

Через прямую  и не лежащую на ней точку  можно провести плоскость . В этой плоскости лежит диагональ параллелограмма  и диагональ  нижней грани (прямоугольника ).

Ребро  перпендикулярно плоскости основания  (теорема 9), следовательно, оно перпендикулярно любой прямой, проходящей в этой плоскости через точку , в частности .

Следовательно, лежащий в плоскости  треугольник  – прямоугольный. Прямоугольным является и лежащий в плоскости основания треугольник .

Решение

Дважды воспользуемся теоремой Пифагора.

1) .

2) .

3) Подставим первое уравнение во второе: .

4) .

Пример

В правильной шестиугольной призме  сторона основания равна 7, а высота равна . Найдите квадрат расстояния между вершинами  и .

Замечание

Правильная шестиугольная призма – многогранник, две грани которого (основания) правильные шестиугольники, а шесть боковых граней одинаковые прямоугольники, одна сторона которых равна стороне многоугольника в основании, а другая – высоте призмы.

Рассуждение

Через два параллельных ребра  и  можно провести плоскость.

Искомый отрезок  лежит в этой плоскости, т.к. две его точки  и  лежат в ней (аксиома 2). Нам нужно найти диагональ четырехугольника , который является прямоугольником, т.к. у него все углы прямые (ребра прямой призмы перпендикулярны основаниям).

Одна сторона прямоугольника  известна, другую  можно найти из условия, что основание правильный  шестиугольник со стороной, равной 7.

Решение

1) В правильном шестиугольнике , .

2) По теореме Пифагора .

3) .

4) Диагональ прямоугольника .

Пример

В правильной четырёхугольной пирамиде   – середина ребра ,  – вершина. , . Найдите высоту пирамиды.

Рассуждение

Проведем дополнительные построения.

Пусть  – середина ребра , тогда прямая  делит квадрат в основании пирамиды на два равных прямоугольника: .

Основание высоты  пирамиды лежит на прямой  и делит ее пополам .

В прямоугольном треугольнике  один катет () вдвое меньше другого (), а гипотенуза  известна. Это позволяет найти катеты.

Поскольку в прямоугольном треугольнике  известно, а , то по теореме Пифагора можно найти высоту .

Решение

1) .

2) .

3) .

4) Высота .

Пример

В основании четырехугольной пирамиды  лежит квадрат  со стороной 4 и центром . Высота  пирамиды равна 3, а точка  является серединой отрезка .

Найдите угол между плоскостью  и плоскостью основания пирамиды.

Рассуждение

Двугранный угол между плоскостями – это угол между двумя перпендикулярами, восстановленными из точки, принадлежащей линии пересечения плоскостей (грани двугранного угла).

На чертеже это угол  между  и .

Отрезок  перпендикулярен стороне  (параллелен стороне ) квадрата основания.  – основание высоты пирамиды.

 – высота пирамиды,  – наклонная,  – проекция наклонной. По теореме о трех перпендикулярах , т.к. . Следовательно,  – искомый угол, который мы определим по сторонам прямоугольного треугольника .

Решение

1) Сторона квадрата , высота пирамида .

2) Треугольники  и  – подобные, т.к. .

3) Из подобия треугольников .

4)  ( по условию).

5) .

6) .

.

Вернемся к скрещивающимся прямым, т.е. к прямым, не имеющим общих точек и не параллельным. Углом между скрещивающими прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. Угол этот не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые. Докажем это.

Пусть  и  пересекающиеся в точке  прямые параллельные данным скрещивающимся прямым  и . Пусть  и  – другие прямые параллельные данным пересекающиеся в точке . По теореме 4 (две прямые параллельные третьей прямой параллельны) прямые  и  параллельны и прямые  и  параллельны.

Выполним параллельный перенос, при котором точка  переходит в точку . При параллельном переносе угол между прямыми сохраняется, т.е. угол между  и  равен углу между  и .

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

В качестве задачи докажем, что две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Пусть  и  – данные скрещивающиеся прямые. Проведем через них параллельные плоскости  и . Прямые, пересекающие прямую  и перпендикулярные плоскости , лежат в одной плоскости (). Эта плоскость пересекает плоскость  по прямой , параллельной . Пусть  – точка пересечения прямых  и . Тогда прямая , перпендикулярная плоскости , перпендикулярна и плоскости , т.к.  параллельна . Отрезок  – общий перпендикуляр плоскостей  и , а значит, и прямых  и .

Докажем, что этот общий перпендикуляр единственный. Допустим, что у прямых  и  есть другой общий перпендикуляр . Проведем через точку  прямую , параллельную . Прямая  перпендикулярна прямой , а значит, и прямой . Так как она перпендикулярна прямой , то она перпендикулярна плоскости , а значит, параллельна прямой . Выходит, что через прямые  и  как через параллельные можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать наши скрещивающиеся прямые  () и  (). Это невозможно: скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Допущение было неверным. Общий перпендикуляр – единственный.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Пример

В кубе  найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

Рассуждение

Отрезки  и  лежат на скрещивающихся прямых. Они не пересекаются и не параллельны (лежат в параллельных плоскостях).

Углом между скрещивающими прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

Угол  – искомый угол, так как  параллельна себе,  параллельна ,  и  пересекаются.

Решение

1)  – квадрат.

2)  – диагональ квадрата.

3) .

Чему равно расстояние между теми же прямыми  и ?

Общим перпендикуляром для этих скрещивающихся прямых является ребро . Следовательно, длина ребра куба и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми  и .

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Теорема: площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Полученная формула верна и для любой плоскости, параллельной , так как при проектировании фигуры на параллельные плоскости ее проекции совмещаются параллельным переносом и, следовательно, равны.

Рассмотрим теперь общий случай. Разобьем данный многоугольник на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, мы разобьем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции. На рисунке это показано для четырехугольника .

Теперь для каждого треугольника нашего разбиения и его проекции  запишем равенство . Сложим все эти равенства почленно. Тогда слева получим площадь проекции многоугольника, а справа – площадь самого многоугольника, умноженную на .

Пример

Дан равносторонний треугольник со стороной . Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный .

Дано:

 – равносторонний, со стороной .

Найти проекцию площади  на плоскость под углом .

Решение

1) Площадь равностороннего треугольника со стороной  равна .

2) Площадь проекции .

Мы рассмотрели факты, связанные с пересечением прямых и плоскостей в пространстве.

После ознакомления с материалом этого урока вам необходимо следующее.

Знать

• Условия и признаки перпендикулярности прямых, прямой и плоскости, плоскостей.

• Определения перпендикуляра и наклонной к плоскости.

Уметь

• Использовать признаки перпендикулярности прямых и плоскостей в решении задач.

• Применять теорему о трех перпендикулярах при решении пространственных задач.

Понимать

• Как определяется угол между пересекающимися плоскостями.

• Как определяется расстояние между скрещивающимися прямыми.

Геометрические тела (основные понятия)

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве. Их называют телами. Тело можно представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (граней). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника.

Призма

Призмой называется многогранник, который состоит из двух одинаковых плоских многоугольников, лежащих в разных параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, – боковыми ребрами призмы. Боковые ребра равны и параллельны.

Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов. У каждого из них две стороны, которые являются соответствующими сторонами оснований, две другие – соседними боковыми ребрами.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.

Призма называется -угольной, если ее основания –-угольники.

Призма называется прямой, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной. У прямой призмы боковые грани – прямоугольники.

Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

Параллелепипед

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. Параллелепипед, как и призма, может быть наклонным и прямым.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими (или противоположными). Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды, всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется -угольной, если ее основанием является -угольник.

Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями, остальные грани – боковыми гранями.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Треугольная пирамида называется тетраэдром. Правильная треугольная пирамида, у которой боковые ребра равны сторонам основания, называется правильным тетраэдром.

Построение сечений. Решение задач

Любую плоскость, по обе стороны которой имеются точки данного многогранника, называют секущей плоскостью. Секущая площадь пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Секущая плоскость может пересекать разное число граней многогранника, поэтому разные сечения (многоугольники) могут отличаться количеством углов.

Так, треугольная пирамида имеет четыре грани, поэтому ее сечениями могут быть треугольники или четырехугольники.

Куб имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Пример

В основании прямой призмы  лежит квадрат  со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка  лежит на диагонали , причём .

а) Постройте сечение призмы плоскостью .

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью .

Решение

а) Прямые  и  лежат в одной плоскости  и пересекаются в точке . Аналогично  и  лежат в плоскости  и пересекаются в точке . Трапеция  – искомое сечение.

б) Рассуждение

Если опустить перпендикуляр из точки  на продолжение прямой  (в точку ), то угол  будет искомым углом между сечением и плоскостью основания.

Чтобы найти этот угол, нужно, кроме высоты призмы , знать еще одну сторону треугольника , например, .

Решение

1) .

2) .

3) Треугольники  и  подобны, следовательно, .

4) Так как : , .

5) Аналогично .

6) Треугольник  – прямоугольный, равнобедренный.

7) .

8) Треугольник  – прямоугольный равнобедренный (, ).

9) .

10) .

11) .

Пример

В прямоугольном параллелепипеде  известны рёбра: , , . Точка  принадлежит ребру и делит его в отношении 2:3, считая от вершины . Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки ,  и .

Рассуждение

Плоскость, проведенная через три точки ,  и , пересекает ребро  в точке .

Отрезок  параллелен  – это линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей. Аналогично отрезок  параллелен .

Сечение параллелепипеда, четырехугольник  – параллелограмм (стороны попарно параллельны).

Решение

Найдем стороны параллелограмма .

1) , , следовательно, , .

2) .

3) .

4) Следовательно, – ромб ().

Найдем диагонали этого ромба.

5) .

6) .

7) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: .

Мы рассмотрели простейшие геометрические фигуры (тела) стереометрии. Для закрепления пройденного материала необходимо следующее.

Знать

• Определения и основные свойства многогранников: призмы, параллелепипеда, пирамиды.

• Отличительные свойства простейших многогранников, куба, прямоугольника, тетраэдра.

Уметь

• Проводить требуемые при решении конкретных задач сечения в многогранниках.

• Находить углы между плоскостями (сечениями, гранями) многоугольников.

Понимать

• Как выводится формула для площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели основные понятия стереометрии. В следующий раз мы будем находить расстояния между элементами геометрических тел.

Ссылки на уроки Интернет урока по рассмотренным темам:

1. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/aksiomy-stereometrii-i-ih-sledstviya/predmet-stereometrii-aksiomy-stereometrii?seconds=0

2. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/aksiomy-stereometrii-i-ih-sledstviya/nekotorye-sledstviya-iz-aksiom?seconds=0

3. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/aksiomy-stereometrii-i-ih-sledstviya/reshenie-zadach-na-primenenie-aksiom-i-ih-sledstviy-raznye-zadachi?seconds=0

4. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/parallelnye-pryamye-v-prostranstve-parallelnost-treh-pryamyh?seconds=0

5. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/parallelnost-pryamoy-i-ploskosti?seconds=0

6. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/povtorenie-teorii-reshenie-tipovyh-zadach-na-parallelnost-pryamoy-i-ploskosti?seconds=0

7. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/skreschivayuschiesya-pryamye-provedenie-cherez-odnu-iz-skreschivayuschihsya-pryamyh-ploskosti-parallelnoy-drugoy-pryamoy?seconds=0

8. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/ugly-s-sonapravlennymi-storonami-ugol-mezhdu-pryamymi?seconds=0

9. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/tetraedr-zadachi-na-postroenie-secheniy-v-tetraedre?seconds=0

10. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/parallelepiped-svoystva-graney-i-diagonaley-parallelepipeda?seconds=0

11. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/perpendikulyarnye-pryamye-v-prostranstve-parallelnye-pryamye-perpendikulyarnye-k-ploskosti?seconds=0

12. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/dvugrannyy-ugol?seconds=0

13. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/reshenie-zadach-po-teme-mnogogranniki?seconds=0