01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)
58 мин
02. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа. Практика (основной урок)
1 ч 4 мин
03. Дробно-рациональные уравнения (основной урок)
36 мин
04. Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени. Практика (основной урок)
1 ч 5 мин
05. Повторение. Промежуточный срез №1. Практика
55 мин
06. Квадратные уравнения. Линейные уравнения. Практика (основной урок)
50 мин
07. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения высших степеней. Практика (основной урок)
40 мин
08. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика (основной урок)
55 мин
09. Решение текстовых задач (основной урок)
39 мин
10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)
46 мин
11. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
43 мин
12. Промежуточный срез № 2. Повторение (основной урок)
40 мин
13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
1 ч 17 мин
14. Логарифмы. Практика (основной урок)
1 ч 9 мин
15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы (основной урок)
59 мин
16. Основы тригонометрии (основной урок)
49 мин
17. Основные тригонометрические формулы (основной урок)
1 ч 7 мин
18. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства (основной урок)
1 ч 15 мин
19. Промежуточный срез №3. Повторение (основной урок)
1 ч 30 мин
20. Функции. Свойства функции (основной урок)
49 мин
21. Виды функций. Графики функций (основной урок)
1 ч 0 мин
22. Производная (основной урок)
54 мин
23. Геометрический и механический смысл производной (основной урок)
43 мин
24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)
44 мин
25. Интеграл (основной урок)
42 мин
26. Промежуточный срез №4. Повторение
42 мин
27. Последовательности. Прогрессии (основной урок)
1 ч 23 мин
28. Комбинаторика. Понятие вероятности. Математическая статистика (основной урок)
55 мин
29. Математическая статистика (основной урок)
28 мин
30. Промежуточный срез №5. Повторение
1 ч 43 мин
31. Основы планиметрии (основной урок)
55 мин
32. Треугольники, их характеристики и свойства (основной урок)
41 мин
33. Решение треугольников (основной урок)
39 мин
34. Четырехугольники (основной урок)
1 ч 15 мин
35. Окружность, круг и их элементы (основной урок)
47 мин
36. Практика по планиметрии (основной урок)
48 мин
37. Промежуточный срез № 6. Повторение
34 мин
38. Основы стереометрии
42 мин
39. Расстояние между элементами геометрических тел
34 мин
40. Углы в геометрических телах
23 мин
41. Площади поверхности и объемы геометрических тел
50 мин
42. Решение задач по стереометрии
25 мин
43. Векторы и координаты. Ч.1
35 мин
44. Векторы и координаты. Ч.2
31 мин
45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)
42 мин
17. Основные тригонометрические формулы (основной урок)
Видео доступно после авторизации
Формулы приведения
При решении различных задач (например, вычисление интегралов, решение тригонометрических уравнений и т.д.) может возникать необходимость преобразования выражений, содержащих тригонометрические функции.
Во-первых, хотя тригонометрических функций четыре, поскольку все они взаимосвязаны, то помнить свойства всех четырёх не нужно. Во-вторых, большинство формул выводится из одной. Таким образом, несмотря на большое количество различных формул, которые будут изучаться на этом уроке, мы научимся не только их применять на практике, но и как можно меньше использовать память для преобразования различных тригонометрических выражений.
Рассмотрим тригонометрическую окружность с отмеченным углом .
Отметим на окружности все точки, которые образуют прямоугольные треугольники с катетами, равными катетам изображённого треугольника.
Заметим, что точке соответствует угол , точке – угол , точке – угол . Как видно из рисунка, значения тригонометрических функций для всех этих точек совпадают с точностью до знака.
Мы рассматривали углы только на одном периоде, так как знаем, что при добавлении или вычитании периода от аргумента тригонометрической функции её значение не меняется. Поэтому для тангенса и котангенса достаточно рассмотреть только два таких треугольника (период у этих функций ):
Мы рассмотрели все случаи, когда проекции точек на тригонометрической окружности совпадают с точностью до знака. Однако, как мы уже говорили, при определении значений тригонометрических функций острых углов прямоугольного треугольника:
Рассмотрим теперь все такие точки на тригонометрической окружности.
Заметим, что точке соответствует угол , точке – угол , точке – угол , точке – угол . Как видно из рисунка, значения тригонометрических функций для всех этих точек совпадают с точностью до знака, то есть:
Аналогично для тангенса и котангенса:
Полученные нами формулы называются формулами приведения. Эти формулы можно не запоминать – достаточно помнить определение тригонометрических функций с помощью тригонометрической окружности. Кроме того, есть несложный алгоритм, позволяющий использовать формулы приведения, не запоминая их (см. ветку).
Далее мы покажем ещё один способ вывода формул приведения без их запоминания.
Формулы приведения используются для вычисления значений тригонометрических функций углов, которые можно выразить через углы , , или через любой другой угол, для которого мы знаем значение тригонометрических функций.
Пример
Вычислить .
Решение
Нарисуем этот угол на тригонометрической окружности.
Ветка. Формулы приведения
Преобразования выражений вида
можно выполнить по следующему алгоритму:
1) Определить четверть, в которой находится угол ().
2) Определить знак исходной функции в этой четверти.
3) Определить, меняется ли функция на кофункцию (, – меняется, , – не меняется).
Рассмотрим функцию .
Отложим на единичной окружности указанное в функции смещение аргумента на , что равно и добавим острый угол . В IV четверти косинус положительный.
Т.к. произвольный аргумент изменен на половинное число частей , то она преобразуется в кофункцию, т.е. в синус. Получаем: .
Формулы преобразования тригонометрических функций суммы/разности аргументов и следствия из них
Встречаются выражения, в которых тригонометрические функции содержат разные аргументы. Рассмотрим формулы, которые позволяют их преобразовывать.
Начнем с формул тригонометрических функций суммы/разности аргументов для синусов и косинусов:
1)
2)
3)
4)
Формулы тригонометрических функций суммы/разности аргументов для тангенсов и котангенсов:
1)
2)
3)
4)
Отметим, что из этих формул достаточно помнить только формулы для суммы, так как формулы для разности всегда можно получить из них, подставив вместо .
Кроме того, из этих формул мы в дальнейшем будем получать все остальные формулы, поэтому их нужно помнить обязательно.
Ветка. Получение формул суммы\\разности
1. Косинус разности и суммы.
Получим формулу для .Сначала рассмотрим случай, когда и принадлежат промежутку , отметим на окружности угол и , .
Рассмотрим вектор и , их длины равны 1 (так как окружность единичная). Угол между этими векторами равен , скалярное произведение векторов и :
Получаем .
Угол между векторами, по определению, может быть только от 0 до . Поэтому если угол будет от до , то угол между векторами будет . Если же угол будет за пределами промежутка , то угол между векторами будет отличаться от уже полученных на целое число полных оборотов, то есть на , .
Так как период косинуса и , то косинус угла между векторами всегда будет получаться , значит, полученная формула будет верна для любых значений и .
С помощью полученной формулы можно получить формулу косинуса суммы.
2. Синус разности и суммы.
Теперь получим формулы для синуса.
3. Тангенс суммы\\разности.
Поделим числитель и знаменатель на , , .
Аналогично можно получить формулы для котангенса суммы\\\\разности
Пример
Упростить выражение .
Решение
В числителе и знаменателе мы видим косинус от суммы и разности двух аргументов соответственно, распишем их по формулам:
.
Пример
Доказать тождество .
Решение
Представим аргумент в левой части в виде суммы двух аргументов: .
Воспользуемся формулой
.
Пример
Доказать тождество .
Решение
Так же, как и в предыдущем примере, представим аргумент в левой части в виде суммы двух аргументов: .
Воспользуемся формулой
.
Данное тождество можно записать и в другом виде. Если воспользоваться следствиями из основного тригонометрического тождества: и , то получим: ; .
Пример
Доказать тождество .
Решение
Преобразуем левую часть равенства: .
Воспользуемся формулой
Итак, мы доказали формулы тригонометрических функций двойного аргумента.
Пример
Упростить выражение .
Решение
Обратим внимание, что в числителе и знаменателе дроби записаны выражения, похожие на формулы косинуса двойного угла, только с обратным знаком. Умножим числитель и знаменатель дроби на и подставим указанные формулы.
Ветка. Тригонометрические функции тройного угла
Доказать тождество .
Преобразуем левую часть равенства: .
Воспользуемся формулой
Ветка. Тригонометрические функции тройного угла (продолжение)
Доказать тождество .
Преобразуем левую часть равенства: .
Воспользуемся формулой
В некоторых случаях (например, при вычислении интегралов) может возникнуть необходимость понизить степень тригонометрической функции.
Ветка. Формулы понижения степени для вычисления интегралов
Найти неопределенный интеграл:
Воспользуемся формулой понижения степени: .
С этой целью применяются формулы понижения степени:
1) ;
2) .
Их несложно выразить из формул косинуса двойного аргумента. Попробуйте это проделать самостоятельно.
Свёртка. Вывод формул понижения степени
Получим данные формулы из формул косинуса двойного угла.
Формулы суммы/разности и произведения тригонометрических функций
Для преобразования тригонометрических выражений необходимо также научиться преобразовывать сумму (разность) и произведение тригонометрических функций.
Формулы суммы/разности тригонометрических функций синуса и косинуса позволяют преобразовать сумму/разность в произведение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Эти формулы запоминать не нужно, их всегда можно вывести, используя формулы тригонометрических функций суммы\\разности аргументов.
Ветка. Вывод формул
Мы уже знаем формулы для преобразования тригонометрических функций суммы/разности аргументов, теперь рассмотрим сумму/разность тригонометрических функций разных аргументов.
1) Сумма синусов разных аргументов .
Сложим эти два равенства.
Если заменить , , то получим: .
2) Разность синусов разных аргументов .
Если подставить в полученную формулу вместо , можем получить формулу для разности синусов.
3) Сумма косинусов разных аргументов .
Сложим эти два равенства.
Если заменить , , то получим: .
4) Разность косинусов разных аргументов .
Аналогично получим формулу для разности косинусов.
Вычтем эти два равенства.
Если заменить , , то получим: .
Формулы суммы/разности тригонометрических функций тангенса и котангенса:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Эти формулы тоже можно не запоминать, для их вывода достаточно расписать тангенс и котангенс по определению.
Ветка. Вывод формул
1)
Распишем тангенсы через синусы и косинусы:
2)
Подставим в полученную формулу вместо :
Формулы для суммы и разности котангенсов можно получить аналогично
Пример
Преобразовать в произведение .
Решение
Сгруппируем слагаемые попарно, чтобы к ним можно было применить формулы сложения/вычитания тригонометрических функций.
Формулы произведения тригонометрических функций
При выводе формул для суммы/разности мы уже получили формулы произведения тригонометрических функций, которые, наоборот, позволяют преобразовать произведение в сумму:
1) ;
2) ;
3) ;
Пример
Упростить выражение .
Решение
Подойти к решению можно двумя способами: преобразовать произведение тригонометрических функций в разность или расписать по формуле суммы разности аргументов. Первый подход в данном случае более оптимальный. Его и продемонстрируем, а вы можете самостоятельно решить вторым способом и сверить результаты.
Универсальная тригонометрическая замена. Вспомогательный аргумент
В некоторых примерах (например, при вычислении интегралов) возникает необходимость выразить все тригонометрические функции через одну переменную. В таком случае на помощь придет набор универсальных тождеств, которые помогут преобразовать любую тригонометрическую функцию к тангенсу половинного угла. Поэтому эти формулы названы универсальной тригонометрической заменой или подстановкой:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Ветка. Интеграл, который решается с помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Выполним универсальную тригонометрическую замену: .
; ;
Замена: , .
Обратная замена: .
Вспомогательный аргумент
Для преобразования выражений вида используют следующий метод.
Вынесем за скобки, тогда получим: .
Сумма квадратов выражений и равна единице: . Оба они лежат в промежутке , значит, эти числа являются синусом и косинусом некоторого угла.
, где под вспомогательным углом понимают .
Пример
Найти наименьшее значение выражения .
Решение
Мы знаем, что синус и косинус принимают значения от -1 до 1, но, так как у обеих функций аргумент α, они связаны между собой. Когда , не может также равняться 1.
Поэтому для оценки значения этого выражения преобразуем данное выражение.
Вынесем за скобку:
.
Значит, наименьшее значение данного выражения .
Пример
Преобразовать выражение к одной тригонометрической функции.
Решение
Воспользуемся формулой сложения гармонических колебаний или, как ее еще иногда называют, метод введения вспомогательного угла: , где вспомогательным углом является .
Воспользуемся нечетностью синуса и четностью косинуса и внесем минус к аргументу синуса и косинуса, чтобы выражение превратилось в сумму и стало похожим на общую формулу:
.
Более подробно: и .
Теперь видно, что в роли параметра , , аргумент .
Вычислим вспомогательный угол . Мы пока не говорили об обратных тригофункциях, по плану они у нас на следующем уроке, т.к. их удобно рассматривать непосредственно перед тригонометрическими уравнениями. Пока объясним вычисление арктангенса очень просто: находим в таблице значений тригонометрических функций, при каком угле тангенс равен , это угол , он и соответствует значению арктангенса.
Подставим выписанные величины в общую формулу.
Преобразование различных тригонометрических выражений
Важно помнить, что для преобразования тригонометрических выражений мы можем использовать весь арсенал уже имеющихся у нас средств для преобразования выражений (действия с дробями, применение формул сокращённого умножения), а также использовать основные тригонометрические формулы, рассмотренные ранее.
Пример
Упростите выражение .
Решение
Сначала воспользуемся формулами приведения и упростим аргументы: , – угол II четверти, в ней косинус отрицательный, – функция меняется на кофункцию, получаем: .
, – угол II четверти, в ней косинус отрицательный, – функция не меняется на кофункцию, получаем: .
, – угол IV четверти, в ней синус отрицательный, – функция меняется на кофункцию, получаем: .
, – угол III четверти, в ней синус отрицательный, – функция не меняется на кофункцию, получаем: .
Воспользуемся формулой: .
В рассмотренном примере можно обойтись и без использования формул приведения. Можно воспользоваться формулами суммы/разности тригонометрических функций. Например, .
Пример
Упростите выражение .
Решение
В выражениях, в которых одновременно встречаются синусы/косинусы и тангенсы/котангенсы обычно удобно расписать тангенс и котангенс через синус и косинус. В данном выражении воспользуемся формулой :
.
Заметим, что в числителе стоит правая часть формулы синуса двойного угла, а в знаменателе – правая часть формулы для косинуса двойного угла.
Пример
Упростите выражение .
Решение
Как обычно, начинаем преобразование таких примеров с приведения дробей к общему знаменателю:
Дальше можно поступать двумя способами: либо преобразовывать произведения в числителе в суммы, либо обратить внимание, что в числителе стоит правая часть формулы синуса разности: :
Пример
Упростите выражение .
Решение
Воспользуемся формулами:
Вынесем в числителе и знаменателе общий множитель за скобку:
Пример
Упростить выражение .
Решение
В числителе можно применить формул для разности синусов и косинусов:
В числителе есть угол , а в знаменателе – . Это подсказывает нам, что можно расписать косинус в знаменателе как косинус двойного угла.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: .
Пример
Упростить выражение .
Решение
Определим порядок действий и выполним действие в скобках: .
В числителе воспользуемся формулой синуса разности: .
Теперь выполним умножение: .
В числителе стоит разность косинусов, преобразуем её в произведение: .
Пример
Докажите тождество .
Решение
В левой части стоит разность квадратов. Преобразуем её по формуле сокращённого умножения:
.
Теперь в скобках стоит разность и сумма косинусов, которые можно преобразовать в произведение:
.
Тождество доказано.
Заключение
На этом уроке мы рассмотрели основные тригонометрические формулы и их применение для преобразования различных тригонометрических выражений.
На следующем уроке мы рассмотрим обратные тригонометрические функции, а также решение тригонометрических уравнений, неравенств и их систем.
Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:
"