03. Повторение. Преобразование и вычисление значений выражений

Вычисление значений выражений (дроби и степени)

Действия с дробями:

1)

2)

3)

Свойства степени:

1)

2)

3)

4)

5)

Решим несколько примеров:

Пример 1

Найдите значение выражения:

1) 

Пример решается в два действия: сначала считается результат выражения в скобках, затем – умножение. Обозначим действия:

1. 

2. 

2) 

1. 

2. 

Пример 2

Найдите значение выражения:

1) 

2) 

Пример 3

Найдите значение выражения:

1) 

2) 

Пример 4

Найдите сумму чисел:  и .

Пример 5

Найдите значение выражения:

1) 

2) 

Пример 6

Найдите значение выражения:

1)  при

2)  при

Пример 7

Найдите значение выражения:

Пример 8

Найдите: , если  при :

Пример 9

Найдите: , если

Пример 10

Найдите: , если

Пример 11

Найдите значение выражения: , если , а

Пример 12

Найдите значение выражения при :

1) 

2) 

3) 

Преобразование иррациональных выражений

Рассмотрим примеры на преобразование числовых иррациональных выражений.

Напомним свойства корня -й степени:

1) ,

2)

3)

4)

5)

6)

Решим несколько примеров:

Пример 1

Найдите значение выражения:

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

Пример 2

Найдите значение выражения:  при

Пример 3

Найдите значение выражения: при

Пример 4

Найдите значение выражения: при

Пример 5

Найдите значение выражения: при

Пример 6

Найдите значение выражения при :

Пример 7

Найдите , если при

Преобразование выражений, содержащих логарифмы

Рассмотрим преобразования выражений с логарифмами.

Напомним определение логарифма и его свойства:

Логарифмом числа по основанию () называется такое число , что , то есть записи  и  равносильны. Логарифм определен, если , , .

Специальные обозначения:

- Натуральный логарифм  – логарифм по основанию , где  – число Эйлера.

- Десятичный логарифм  – логарифм по основанию 10.

Свойства логарифмов:

1)  – основное логарифмическое тождество.

2) , ,

3) , ,

4)

5)

6)

7)

8)  – переход к новому основанию.

Рассмотрим примеры.

Пример 1

Найдите значение выражения:

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10)

11)

Пример 2

Найдите значение выражения: , если

Пример 3

Найдите , если

Пример 4

Найдите , если

Вычисление значений тригонометрических выражений

Рассмотрим преобразования тригонометрических выражений.

Напомним определения и свойства тригонометрических функций:     

График функции

Основные свойства:

1. Область определения – вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок .

3. Функция нечётная.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом, равным .

График функции

Основные свойства:

1. Область определения – вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок .

3. Функция чётная.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом, равным .

График функции

Основные свойства:

1. Область определения – вся числовая ось, за исключением точек вида , где – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значений – вся числовая прямая.

3. Функция нечётная.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом, равным .

График функции

Основные свойства:

1. Область определения – вся числовая ось, за исключением точек вида x = π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значений – вся числовая прямая.

3. Функция нечётная.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом, равным π.

Основные тригонометрические тождества

1. 

2. 

3.

4. 

5. 

6. 

Формулы сложения

1. 

2. 

3. 

4. 

Формулы двойного угла

1. 

2. 

3.   

4. 

Переход от суммы к произведению

Рассмотрим несколько примеров.

Пример № 1

Найдите , если  и .

Ответ: 1.

Пример № 2

Найдите , если , .

Ответ: 1.

Пример № 3

Найдите , если .

Ответ: 0,92.

Пример № 4

Найдите значение выражения: , если .

Ответ: -28.

Пример № 5

Найдите , если  и .

Ответ: 0,6.

Пример № 6

Найдите , если .

Ответ: 7.

Пример № 7

Найдите , если .

Ответ: -9.

Пример № 8

Найдите значение выражения: .

Ответ: 6.

Пример № 9

Найдите значение выражения: .

Ответ: 24.

Пример № 10

Найдите значение выражения: .

Ответ: 5.

Пример № 11

Найдите значение выражения:

Ответ: -16.

Пример № 12

Найдите значение выражения:

Ответ: -5.

Пример № 13

Найдите значение выражения:

Ответ:12.

Пример № 14

Найдите значение выражения:

Ответ: 10.

Пример № 15

Найдите значение выражения:

Ответ: 2.

Действия с формулами

Рассмотрим решение различных задач на вычисление выражений.

Пример № 1

Найдите m из равенства , если и .

Ответ: 7.

Пример № 2

Среднее геометрическое трёх чисел , ,  вычисляется по формуле . Вычис­лите среднее геометрическое чисел 12, 18, 27.

Ответ: 18.

Пример № 3

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по форму­ле , где t – длительность поездки, выраженная в минутах, . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.

Ответ: 1483.

Пример № 4

Площадь ромба  можно вычислить по формуле  , где ,  – диагонали ромба (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите диагональ , если диагональ  равна 30 м, а площадь ромба – .

;

Ответ: 8.

Пример № 5

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле , где  – сторона треугольника,  – противолежащий этой стороне угол, а  – радиус опи­санной около этого треугольника окружности. Пользуясь этой формулой, найдите , если , а .

;

Ответ: 0,04.

Пример № 6

Цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние при дви­же­нии по окруж­но­сти (в ) можно вы­чис­лить по фор­му­ле , где  – уг­ло­вая ско­рость (в ), а  – ра­ди­ус окруж­но­сти. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те рас­сто­я­ние  (в мет­рах), если уг­ло­вая ско­рость равна , а цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние равно .

;

Ответ: 5.

Пример № 7

Площадь треугольника со сторонами , , можно найти по формуле Герона , где . Найдите площадь треугольника со сторонами 11, 13, 20.

; ;

Ответ: 66.

Пример № 8

Длина биссектрисы , проведенной к стороне треугольника со сторонами , , , вычисля­ется по формуле . Треугольник имеет стороны 9, 18, 21. Найдите длину биссектрисы, проведённой к стороне длины 21.

; ;

Ответ: 8.

Пример № 9

Перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула , где C – градусы Цельсия, F – градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует  по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

Ответ: 354,2.

Пример № 10

Среднее гармоническое трёх чисел , , вычисляется по формуле . Найдите среднее гармоническое чисел , и .

; ;

Ответ: 0,2.

Пример № 11

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстоя­ние по формуле , где – число шагов, – длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если , ? Ответ выразите в километрах.

;

Ответ: 0,7.

Пример № 12

Если , и  – простые числа, то сумма всех делителей числа  равна . Найдите сумму делителей числа 114.

; ;

Ответ: 240.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели преобразование и вычисление значений выражений.