01. Повторение. Решение текстовых задач
42 мин
02. Повторение. Работа с графиками и диаграммами. Теория вероятностей, комбинаторика
1 ч 0 мин
03. Повторение. Преобразование и вычисление значений выражений
1 ч 19 мин
04. Повторение. Решение уравнений. Задачи, сводящиеся к решению уравнений и неравенств
1 ч 5 мин
05. Повторение. Решение задач по планиметрии
1 ч 0 мин
06. Повторение. Производная и первообразная
1 ч 7 мин
07. Повторение. Решение простых задач по стереометрии
1 ч 0 мин
08. Повторение. Решение сложных уравнений и систем
1 ч 41 мин
09. Повторение. Решение сложных задач по стереометрии
48 мин
10. Повторение. Решение сложных неравенств и их систем
1 ч 26 мин
11. Повторение. Решение сложных задач по планиметрии
53 мин
12. Повторение. Решение сложных практических задач
1 ч 14 мин
13. Повторение. Решение заданий с параметром
32 мин
14. Повторение. Решение различных задач
48 мин
15. Закрепление пройденного материала. Решение варианта ЕГЭ
46 мин
06. Повторение. Производная и первообразная
Видео доступно после авторизации
Физический и геометрический смысл производной
Для решения этих задач нам понадобится следующее:
Физический смысл: , .
Геометрический смысл: .
Таблица производных
Решим несколько примеров.
Задача
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где – расстояние от точки отсчета в метрах, – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите её скорость в (м/с) в момент времени .
Ответ: .
Задача
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где – расстояние от точки отсчета в метрах, – время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна ?
Ответ: .
Задача
Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Уравнение касательной: .
Ответ: .
Задача
На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
Согласно геометрическому смыслу производной, .
Рассмотрим .
Ответ: 2.
Задача
На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
Согласно геометрическому смыслу производной, .
Найдем тангенс смежного с ним угла : , .
Ответ: .
Задача
На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите .
Касательная проходит через точки и .
Ответ: 1,25.
Задача
На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.
Ответ: 5.
Задача
На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Ответ: .
Задача
Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Уравнение касательной: .
Ответ: .
Задача
На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в четырех точках.
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
ТОЧКИ | ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ |
А) Б) В) Г) | 1) 2) 3) 4) |
В т. и , так как в т. угол больше, чем в т. , то А-2, Г -3. В т. и . В т. угол больше, чем в т. Б -4, В -1.
Ответ: А-2, Б-4, В-1, Г-3.
Применение производной к исследованию функций
Рассмотрим применение производной к исследованию функций. Напомним, что если , то функция возрастает, а если , то убывает.
Если и в точке производная меняет знак, то – точка локального минимума или максимума функции.
Решим несколько примеров.
1. На рисунке изображен график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функция отрицательна?
Производная отрицательна, если убывает: , , , , , , .
Ответ: .
Задача
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функция положительна.
Производная положительна, когда возрастает: при , .
На концах отрезка произв. равна 0.
; ; ;
Ответ: .
Задача
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функция параллельна прямой или совпадает с ней.
– горизонтальная прямая точки максимума и минимума.
Ответ: .
Задача
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?
возрастает при . Значит, наименьшее значение на промежутке функция принимает в точке .
Задача
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек минимума функции на отрезке .
Точка минимума: , производная меняет знак с минуса на плюс.
в точках ; ; ; .
Точки минимума: ; .
Ответ: .
Задача
На рисунке изображен график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек функция убывает?
убывает, когда : , , , , .
Ответ: .
Задача
На рисунке изображен график функции и отмечены точки , , , . В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
В точке касательная образует острый угол, значит, .
В точках , угол тупой, значит, .
В точке касательная параллельна , значит, .
Наименьшее значение может быть в точке и .
В точке угол наклона больше, чем в точке , значит, наименьшее значение производная принимает в точке .
Ответ: .
Задача
Функция определена и непрерывна на отрезке . На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку , в которой функция принимает наименьшее значение, если .
Наименьшее значение функция может принимать в точке минимума 3 мм на концах отрезка: ; .
По условию, . Значит, наименьшее значение может быть или в точке 5 или в точке 3. На промежутке производная положительна, значит, функция возрастает. Тогда наши значения функция принимает в точке 3.
Ответ: .
Задача
На рисунке изображен график функции . Числа , , , и задают на оси четыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
ТОЧКИ | ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ |
А) Б) В) Г)
| 1) производная отрицательна на всём интервале 2) производная положительна в начале интервала и отрицательна в конце интервала 3) функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала 4) производная положительна на всём интервале |
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам.
На функция сначала растет, а затем убывает, следовательно, производная сначала положительна, а затем отрицательна: А) -2.
На функция убывает, значит, производная отрицательная Б)-1.
На функция отрицательна, а затем положительна В) -3.
На функция возрастает, значит, производная положительна Г) -4.
Задача
На рисунке изображен график функции и отмечены точки , , и оси . Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком в соответствии каждой точке значение производной в ней.
ТОЧКИ | ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ |
А) Б) В) Г) | 1) Производная отрицательна, функция положительна. 2) Производная положительна, функция отрицательна. 3) Функция отрицательна, производная отрицательна. 4) Функция положительна, производная равна 0 |
А-1, Б-3, В-2, Г-4.
Максимум и минимум (степенные и иррациональные функции)
Рассмотрим несколько примеров на нахождение максимума или минимума для степенных и иррациональных функций.
1. Найдите точку максимума функции .
Критические точки: .
Ответ: .
2. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
Критические точки: .
Наименьшее значение на отрезке функции принимает в точке 4. .
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке : .
На отрезок наименьшее значение - в точке 4.
Ответ: .
4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Критические точки: .
Наибольшее значение на отрезке в точке .
Ответ: .
5. Найдите точку минимума функции .
:
Критические точки: .
Ответ: .
6. Найдите точку максимума функции .
:
Критические точки .
не входит в .
7. Найдите точку максимума функции .
.
Ответ: .
8.Найдите точку максимума функции .
1) :
Критические точки: и .
2)
Ответ: .
Максимум и минимум (показательные, логарифмические и тригонометрические функции)
Решим несколько примеров на нахождение максимума и минимума показательных, логарифмических и тригонометрических функций.
1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
Критическая точка .
Наименьшее значение на отрезке в точке 7: .
2. Найдите наименьшее значение функции , на отрезке .
Критические точки ; .
На отрезке наименьшее значение в точке .
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
:
Критические точки: , не входят в .
На наименьшее значение в точке .
4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
: ,
Критические точки: , – не входят в .
На наибольшее значение достигается в точке .
5.Найдите точку максимума функции .
:
Критические точки: , .
6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Критические точки: .
,
На отрезке .
7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
: ,
Критические точки: .
– не входит в .
На отрезке .
,
,
8. Найдите точку максимума функции , принадлежащую промежутку .
Критические точки: , .
, ,
Промежуток прим. только .
Ответ: 1,5.
9. Найдите наименьшее значение функции .
:
1)
Критическая точка: .
2)
10. Найти точку минимума функции .
1)
Критические точки: , .
2)
Равенство достигается в точке .
Первообразная
Рассмотрим примеры с первообразными. Для их решения нам понадобится определение и свойства первообразной.
Определение и свойства неопределённого интеграла: все множество первообразных функции называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .
Выражение называют подынтегральным выражением, а – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции .
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция , а множество ее первообразных .
Cвойства неопределенного интеграла (свойства первообразной):
1. .
Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
2. .
Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
3. , где – произвольная константа.
Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
4. .
Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
Таблица первообразных
1. | 8. |
2. | 9. |
3. | 10. |
4. , , | 11. , |
5. | 12. |
6. | 13. , |
7. | 14. |
Определение и свойства определённого интеграла
К понятию определенного интеграла нас подводит рассмотрение задачи о вычислении площади криволинейной трапеции. Рассматривается непрерывная неотрицательная функция на отрезке , этот отрезок разбивается на равных частей точками , и соответствующая площадь криволинейной трапеции приближенно представляется суммой площадей элементарных прямоугольников.
Далее делается предположение, что значение этого выражения стремится к некоторому числу при бесконечном увеличении количества точек разбиения отрезка . В итоге это предположение обобщается для любой непрерывной на отрезке функции (не обязательно неотрицательной) и число называется определенным интегралом. Можно сказать, что к понятию определенного интеграла мы подходим в геометрическом смысле.
Свойства определенного интеграла
1. Для функции , определенной при , справедливо равенство . То есть значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю.
2. Для интегрируемой на отрезке функции выполняется .
3. для интегрируемых на отрезке функций и .
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть для интегрируемой на отрезке функции и произвольного числа справедливо равенство .
5. Пусть функция интегрируема на интервале , причем , , , тогда .
6. Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом внутреннем отрезке .
7. Если функция интегрируема на отрезке и для любого значения аргумента , то .
8. Пусть функция интегрируема на отрезке , тогда справедливо неравенство .
Формула Ньютона – Лейбница
, где – первообразная функция для функции .
Решим несколько примеров
1. На рисунке изображён график функции – одной из первообразных некоторой функции , определенной на интервале . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке .
, значит, в точках экстремума на отрезке таких точек 10.
Ответ: .
2. На рисунке изображен график некоторой функции . Функция – одна из первообразных функций . Найдите площадь закрашенной фигуры.
По геометрическому смыслу определенного интеграла: площадь закрашенной функции .
3.На рисунке изображен график некоторой функции . Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл .
По геометрическому смыслу определенного интеграла: – площадь трапеции.
Заключение
На этом уроке мы повторили решение задач с производными и первообразными. На следующем уроке повторим решение простых задач по стереометрии.
На этом наш урок окончен! Спасибо за внимание!
"