05. Повторение. Промежуточный срез №1. Практика

Повторение

Пример

Вычислить:

Решение:

Для решения этого задания будем использовать сведения о том, что:

1. смешанная дробь – это краткая запись суммы целой и дробной части: .

2. чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на перевёрнутую вторую: .

3. при сложении/вычитании дробей их необходимо приводить к общему знаменателю.

Урок «Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Практика»

Сначала определим порядок действий. Известно, что первыми выполняются действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

Теперь выполним действия в указанном порядке:

1. . Как мы уже сказали, ,  . Тогда .

Для вычитания двух смешанных дробей необходимо вычесть отдельно их целые части и дробные, а затем результаты сложить: .

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель – . Домножаем числитель и знаменатель первой дроби на , а второй – на .

2. . Представим смешанные дроби в виде неправильных.

Заменим деление умножением на обратную дробь.

Сократим:

3. . Представим смешанную дробь в виде неправильной: 

Сократим дроби: 

4. 

Пример

Вычислить значение выражения. Попробуйте решить задание самостоятельно. В случае получения верного ответа можете переходить к следующему заданию, иначе – подробно изучите наше решение:

1. .

2. 

Решение:

1. Для решения этого задания будем использовать сведения о том, что:

• при возведении степени в степень показатели степени перемножаются: ,

• при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складываются, а при делении вычитаются: , .

Урок «Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль»

Выполним деление. Деление на дробь – это умножение на перевёрнутую дробь: ().

Представим основания степеней в виде произведения простых множителей.

Получаем: .

При возведении степени в степень показатели умножаются: .

Чтобы возвести в степень произведение, необходимо возвести в эту степень каждый множитель.

Получаем: .

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются. При делении вычитаются.

Получаем: .

Раскладывая основания на простые множители, мы уменьшаем количество различных оснований в выражении.

Поэтому когда мы решаем примеры на действия со степенями, то обычно начинаем с разложения оснований на простые множители, чтобы далее выполнять действия над степенями с одинаковыми основаниями.

2. Для решения этого задания будем использовать определение степени с отрицательным показателем: .

Урок «Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль»

Сначала определим порядок действий. Известно, что сначала выполняется возведение в степень, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

Возведем выражения в степени: 

Теперь выполним умножение и вычислим разность дробей с одинаковыми знаменателями: 

Пример

Упростить выражение. Попробуйте решить задание самостоятельно. В случае получения верного ответа можете переходить к следующему заданию, иначе – подробно изучите наше решение:

1. .

2. .

Решение

1. Для решения этого задания будем использовать формулы сокращённого умножения. В этом конкретном примере - формулу разности квадратов: .

Урок «Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль»

Урок «Дробно-рациональные выражения»

Сначала избавимся от степеней с отрицательными показателями (по определению).

Сложим дроби во второй скобке, для этого приведем их к общему знаменателю . Домножим первую дробь на , а вторую – на .

Заменим деление умножением на обратную дробь.

Разложим на множители числитель (по формуле разности квадратов: ), а затем сократим дробь.

·

Для решения этого примера будем использовать формулы сокращённого умножения. В этом конкретном примере - разность квадратов  и квадрата разности .

Урок «Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль»

Урок «Дробно-рациональные выражения»

Посмотрим на выражение в условии. Мы видим в знаменателях выражения, содержащие квадраты:   и . Заметим также, что . Получаем:  – по формуле разности квадратов, а  – по формуле квадрата разности.

Определим порядок действий. Сначала выполняем действие в скобках, затем деление, затем вычитание.

1. . Для того чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю: 

.

Общий знаменатель , домножим числитель и знаменатель первой дроби на .

2. Теперь выполним деление.

.

Разложим на множители числитель второй дроби и сократим: .

3. Выполним последнее действие, вычтем дроби: .

Приведем их общему знаменателю , домножив числитель и знаменатель второй дроби на .

Пример

Вычислить. Попробуйте решить задание самостоятельно. В случае получения верного ответа можете переходить к следующему заданию, иначе – подробно изучите наше решение:

.

Решение:

Урок «Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени»

Разложим все основания на простые множители:

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

.

Пример:

Упростить выражение (, ). Попробуйте решить задание самостоятельно. В случае получения верного ответа можете переходить к следующему заданию, иначе – подробно изучите наше решение:

Решение:

Для решения этого примера будем использовать определение степени с рациональным показателем:  ().

Урок «Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени»

Представим все степени с рациональным показателем в виде корня. Для этого вспомним определение степени с рациональным показателем:  ().

Получаем .

Сразу определить, что делать дальше, трудно, так как в выражении содержатся корни разных степеней, поэтому преобразуем выражение так, чтобы корни были одинаковых степеней. Приведём все корни к корням четвертой степени (наибольшей из встречающихся в примере степеней корня): , а .

Получим . Удобно ввести обозначения: , . Получим .

Заменим деление умножением на перевернутую дробь: .

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители.

 – формула квадрата суммы.

В выражении  можно вынести общий множитель  за скобки: .

Тогда получим .

Сократим дробь .

Осталось вернуться к исходным обозначениям: .

Остатки и делимость

Пример

Докажите, что значение выражения  кратно 39.

Решение

Чтобы решить это задание, заметим, что в основаниях степеней стоят степени тройки: , .

Необходимо доказать, что выражение делится и на 3, и на 13 (так как 3 и 13 - взаимно простые числа), тогда выражение будет кратно . Для этого надо преобразовать исходное выражение в произведение: .

Теперь мы можем вынести за скобки общий множитель : 

.

 делится на 3, 26 делится на 13, значит, их произведение делится на .

Пример

Известно, что целое число  не кратно 3. Докажите, что значение выражения  кратно 3.

Решение:

Если целое число кратно 3, то его можно представить в виде: . По условию,  не кратно 3, значит, при делении на 3 оно даёт в остатке или 1, или 2. Тогда само число можно записать в виде ,  (число  уже будет делиться на 3).

Остатки

При делении натурального числа  на натуральное число  в остатке могут получаться числа от   (в этом случае  делится нацело на , или, по-другому, кратно ) до .

По-другому деление с остатком можно записать следующим образом: , где  – частное от деления,  – остаток от деления.

Например,  означает, что число 425 даёт остаток 5 при делении на 7.

Рассмотрим эти два случая:

1. .

Тогда .

Вынесем 3 за скобки: .

Один из множителей 3, значит, произведение делится на 3.

2. 

Тогда .

Вынесем 3 за скобки: .

Один из множителей 3, значит, произведение делится на 3.

Пример

Найдите последнюю цифру числа .

Решение

В данном случае есть только один очевидный вариант – попробовать начать возводить 143 в степени (во вторую, третью, четвертую…) и пытаться найти какую-то закономерность по последним цифрам полученных степеней.

Запишем последние цифры нескольких первых степеней числа 143:

Понятно, что возводить дальше в степень не нужно – слишком большие числа получаются.

Но даже этих чисел достаточно, чтобы заметить закономерность: последняя цифра числа совпадает с последней цифрой 3 в той же степени. Действительно: ; ; …

Последняя цифра – это остаток от деления числа на 10. Например, . Поэтому задачу можно переформулировать так: нас просят найти остаток от деления на 10 числа . Остатки от деления при умножении также перемножаются (например, . Значит, произведение  даёт такой же остаток при делении на 10, как и ).

Последняя цифра степени

Как найти последнюю цифру чисел , , , , не вычисляя эти числа? Распишем степени следующим образом: , то есть заканчивается на ту же цифру, что и .

, то есть заканчивается на ту же цифру, что и .

Аналогично можно разложить по биному Ньютона: , таким образом,  заканчивается на ту же цифру, что и число .

Можно сделать более общий вывод: любое число в степени заканчивается на ту же цифру, что и последняя цифра этого числа в той же степени.

Значит, если число 143 заканчивается на 3 (остаток при делении на 10), то число  заканчивается на . Число  – на , то есть на 7.

Число  – на 1.

Число  – опять на 3.

И так далее.

Значит, необходимо найти последнюю цифру числа . Но это тоже большое число. Продолжим анализировать последние цифры степеней 3.

Последние цифры (начиная с пятой степени) повторяются. То есть каждая четвёртая степень заканчивается на одну и ту же цифру.

Теперь осталось поделить 1971 на 4 с остатком: .

Значит,  заканчивается на ту же цифру, что и , то есть на 7.

Разложение на множители и выделение полного квадрата

Пример

Пусть  – простое число. Определите количество натуральных делителей числа .

Решение:

Вспомним определение простого числа:  – простое число, если у него только два натуральных делителя:  и .

Поскольку  – простое число, то единственное разложение на простые множители: . Значит, делителями  могут быть только: , , , , то есть всего 4 делителя.

Подробнее

Предположим, что у числа  есть ещё хотя бы один простой делитель .

Как мы знаем, любое число можно представить в виде произведения степеней простых множителей, причём единственным образом.

Мы уже знаем такое представление числа . Если число  делится на , то . Но числа  и  взаимно простые (так как оба простые и не равны между собой). Значит, мы получили два различных разложения числа  на простые множители (число   тоже можно представить в виде произведения степеней простых множителей). Получили противоречие, значит, других делителей у числа  нет.

Можно доказать и более общий факт: если  делится на , где , – простые числа, то  делится на .

Пример

Доказать, что при всех целых  значение выражения  является квадратом целого числа.

Решение:

Условие задачи можно переформулировать следующим образом: для любого целого значения   данное выражение необходимо представить в виде квадрата некоторого выражения.

Можно раскрыть скобки и попытаться выделить полный квадрат в получившемся выражении. Однако если учесть, что в результате получится многочлен четвертой степени, то сделать это будет достаточно сложно.

Придумать метод решения данного задания самому достаточно сложно. Поэтому рекомендуем запомнить его, чтобы применять для решения аналогичных заданий.

Поэтому будем группировать множители. Если перемножить первый и четвёртый множитель, а также второй и третий множители, то получим: . Можно сделать замену: : . Как видим, при всех целых  значение выражения  является квадратом целого числа .

Пример

Докажите, что при всех действительных значениях  выполняется неравенство .

Решение:

Чтобы доказать справедливость неравенства при всех действительных значениях переменной, необходимо преобразовать выражение так, чтобы получить верное при любых значениях переменной неравенство (например,  или ).

Квадрат принимает только неотрицательные значения, с этим фактом связан один из приемов доказательства неравенств – выделение полных квадратов, то есть выражений, знак которых нам известен.

Вспомним формулу квадрата суммы/разности: .

Выделим полный квадрат в данном нам выражении: .

Перепишем данное выражение в виде: .

Два слагаемых являются частью формулы квадрата суммы: .

Чтобы выделить полный квадрат, не хватает , поэтому добавим и вычтем это выражение: 

.

Выделим полный квадрат и упростим выражение:

.

Рассмотрим оставшееся выражение , первое слагаемое  является квадратом: .

Выделим полный квадрат и в этом выражении. Дополним его до полного квадрата: 

.

В роли  нужно взять 1: 

.

Тогда исходное выражение имеет вид: .

Сумма квадратов – это неотрицательное выражение, если мы прибавим к нему 1, то оно будет больше или равно 1: , а значит, больше 0.

Нахождение значений выражений

Пример

Известно, что . Найдите значение выражения .

Решение:

Выражение, значение которого нам дано, и выражение, значение которого нам нужно найти, похожи, только в одном из них есть квадраты.

Воспользуемся формулой квадрата суммы  и возведем в квадрат второе выражение: .

Первое и третье слагаемые являются выражением, которое нам дано в условии: 

.

Квадрат нашего выражения равен 25, значит, само оно равно 5 или -5.

Пример

Найдите значение выражения , если .

Решение:

Нам задано условие  , которое связывает  и , выразим одну переменную через другую.

Подставим вместо  в выражение из условия .

Упрощение выражений, содержащих корни

Пример

Доказать, что  – целое число.

Решение:

Задания такого типа можно выполнить двумя способами. Первый связан с тем фактом, что при возведении корня в степень, равную степени корня, остается только подкоренное выражение .

1 способ

Возвести все выражение в квадрат и упростить: 

Обозначим один из корней как , второй как  и воспользуемся формулой .

Произведение корней одинаковой степени можно записать как общий корень из произведения подкоренных выражений.

Выражение под корнем можно свернуть по формуле :

Квадрат нашего выражения равен 64, тогда само выражение может быть равно или 8, или -8. Но выражение является суммой квадратных корней, а квадратный корень принимает только неотрицательные значения. Суммой двух неотрицательных выражений будет неотрицательное выражение, поэтому значение может быть только 8.

8 – целое число, значит, нами доказано то, что требовалось.

2 способ

Попробуем действовать по-другому: выделим полный квадрат в выражениях под корнем. Рассмотрим сначала первое подкоренное выражение: .

Выделим полный квадрат, пользуясь формулой: .

В роли  обычно выбирается выражение, содержащее корни: :

.

Разложим на множители  и рассмотрим возможные варианты значений  и .

.

Найдем для различных значений  и  значение выражения .

; : 

; : 

; : 

В третьем случае сумма квадратов получается подходящей, поэтому возьмем ,  .

Аналогично, .

Так как , получаем .

Для раскрытия модулей определим знаки подмодульных выражений: , тогда .

 (корень – неотрицательное выражение, сумма неотрицательного и положительного чисел – положительное число).

8 – целое число, значит, нами доказано то, что требовалось.

Заключение

На этом уроке мы повторили изученные ранее темы, в частности, действия с дробями, преобразование выражений, содержащих степени и корни, упрощение дробно-рациональных выражений и использование формул сокращённого умножения.

На следующем уроке мы начнём изучение новой темы «Уравнения и неравенства».

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1) Урок «Задачи на сложение и вычитание дробей» (алгебра, 8 класс)

2) Урок «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» (математика, 6 класс)

3) Урок «Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей» (алгебра, 7 класс)

4) Урок «Умножение и деление алгебраических дробей» (алгебра, 8 класс)

5) Урок «Степень с натуральным показателем и его свойства» (алгебра, 7 класс)

6) Урок «Формулы сокращённого умножения» (алгебра, 7 класс)

7) Урок «Разложение знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей» (алгебра, 8 класс)

8) Урок «Степень с рациональным показателем. Простейшие задачи» (алгебра, 11 класс)

9) Урок «Разложение многочленов на множители. Способ группировки» (алгебра, 7 класс)

10) Урок «Преобразование, упрощение выражений с корнями» (алгебра, 8 класс)

11) Урок «Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями» (алгебра, 8 класс)