02. Повторение. Работа с графиками и диаграммами. Теория вероятностей, комбинаторика

Определение величины по графику

В данном уроке рассмотрим задачи на определение величин по графику и диаграмме, на комбинаторику и теорию вероятностностей.

Пример

На рисунке изображён график осадков в Калининграде с 4 по 10 февраля 1974 г. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат – осадки в мм. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 2 до 8 мм осадков.

Решение

Рассмотрим график.

Вспомним, что ось абсцисс – ось , ось ординат – ось , график – изображение зависимости . В данной задаче:  – дни (с 4 по 10 февраля),  – количество осадков (в мм).

По условию необходимо найти те , при которых: .

1 способ

Проведём две горизонтальные прямые: и . Все точки, которые попадут в выделенную полосу, нам подойдут.

Как видим, это 3 точки: 7 числа (7 мм), 8 числа (6 мм), 9 числа (2 мм).

2 способ

Эту задачу можно было решать и подбором:

,

,  

,

Ответ: 3.

Пример

На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат – крутящий мо­мент в . Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее . Какого наименьшего числа оборотов двигателя в ми­нуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?

Решение

В этой задаче: – число оборотов в минуту, – крутящий момент (в мм).

По условию автомобиль начинает движения при .

То есть нас будут интересовать те , при которых график будет лежать выше прямой .

Мы видим, что это происходило при .

Т.к. нас спрашивают о наименьшем числе оборотов, то ответ: 2000 об./мин.

Ответ: 2000.

Пример

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Том­ске с 8 по 24 января 2005 г. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день, в мм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какое наибольшее количество осадков выпадало в период с 13 по 20 января. Ответ дайте в мм.

Решение

В этой задаче:  – дата (с 8 по 24 января),  – количество осадков за сутки (мм).

По условию нам необходимо найти  при .

По графику определяем, что «высокая» точка, соответствующая этим условиям при , .

Ответ: 3.

Пример

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мур­манске с 7 по 22 ноября 1995 г. По горизонтали указываются числа месяца, по вертика­ли – количество осадков, выпавших в соответствующий день, в мм. Для нагляд­ности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее 3 мм осадков.

Решение

В этой задаче  – дата (с 7 ноября по 22 ноября),  – количество осадков за сутки (мм).

Необходимо определить, в каких  (целых) . Для этого проведём прямую .

Видим, что ниже этой прямой оказались все точки, кроме  и . То есть из 16 дней 14 дней выпадало менее 3 мм осадков.

Ответ: 14.

Пример

В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортёрной ленте. При проектировании транспортёра необходимо учитывать допустимую силу натя­жения ленты транспортёра. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортёра к горизонту при расчётной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъёма в градусах, на оси ординат – сила натяжения транспортёрной ленты (в кг силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кг/с? Ответ дайте в градусах.

Решение

В данной задаче: , .

Нужно найти , при котором .

В отличие от предыдущих задач в данной задаче не указаны точки на осях, но, так как указан масштаб, можем проставить точки дальше: по оси  1 клетка – следушая метка – , затем –  и т.д.

По оси  1-я клетка – 50 2-я метка – 100, 3-я – 150 и т.д.

Нам нужно найти , при котором . Мы видим, что  – это  клетки по оси , а на графике этой точке соответствует  клетки, то есть .

Ответ: .

Пример

Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, кото­рое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем мень­ше со­про­тив­ле­ние, тем боль­ше сила тока и тем быст­рее вра­ща­ет­ся мотор ото­пи­те­ля. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость силы тока от ве­ли­чи­ны со­про­тив­ле­ния. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся со­про­тив­ле­ние (в Ом), на оси ор­ди­нат – сила тока в ам­пе­рах (А). Ток в цепи элек­тро­дви­га­те­ля умень­шил­ся с 8 до 6 А. На сколь­ко Ом при этом уве­ли­чи­лось со­про­тив­ле­ние цепи?

Решение

В данной задаче:  – сопротивление,  (Ом),  – сила тока, I (А).

По условию ток уменьшился с до . Необходимо найти, на сколько Ом увеличилось сопротивление, то есть .

Пользуясь заданным масштабом, проставим на оси  метки 4, 6, 8 А, а на оси : 1; 1,5; 2; 2,5 Ом.

Получаем: ; .

Ответ: .

Пример

На гра­фи­ке по­ка­зан про­цесс разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее с мо­мен­та за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат – тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия.

Поль­зу­ясь гра­фи­ком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му ин­тер­ва­лу вре­ме­ни ха­рак­те­ри­сти­ку про­цес­са разо­гре­ва дви­га­те­ля на этом ин­тер­ва­ле.

Решение

В данной задаче:  – время, мин,  – температура, .

Рассмотрим характеристики процессов:

1) Температура , нарисуем прямую .

Ниже этой прямой график расположен при  (процессу № 4 соответствует интервал № 1).

2) Температура падала  – по графику (при движении слева направо ): 2 – Г.

3) Рассмотрим процессы 1 и 3.

На интервале времени Б найдём разницу температур в конце интервала и в начале интервала: .

То же самое проделаем с интервалом В: . , следовательно, на интервале Б температура росла медленнее всего, а на интервале В – быстрее всего.

Ответ: А – 4, Б – 1, В – 3, Г – 2.

Пример

На ри­сун­ке точ­ка­ми изоб­ра­же­но число ро­див­ших­ся маль­чи­ков и де­во­чек за каж­дый ка­лен­дар­ный месяц 2013 г. в го­род­ском род­до­ме. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли – ко­ли­че­ство ро­див­ших­ся маль­чи­ков и де­во­чек (по от­дель­но­сти). Для на­гляд­но­сти точки со­еди­не­ны ли­ни­я­ми.

Поль­зу­ясь ри­сун­ком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му из ука­зан­ных пе­ри­о­дов вре­ме­ни ха­рак­те­ри­сти­ку рож­да­е­мо­сти в этот пе­ри­од.

Решение

В данной задаче: - месяц, - количество родившихся мальчиков, - количество родившихся девочек.

Квартал – это три месяца.

Рассмотрим каждый период времени:

А: 1-й квартал:  рождаемость девочек росла, то есть , значит, периоду A соответствует характеристика № 2.

Б: 2-й квартал: все 3 точки  выше, чем точки  соответственно, то есть ; .

В: 3-й квартал: рождаемость девочек не снижалась В – 4 – действительно: в сентябре: .

Г: 4-й квартал: 3 – Г: действительно: .

Ответ: А – 2, Б – 1, В – 4, Г – 3.

Пример

На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ско­ро­сти дви­же­ния рей­со­во­го ав­то­бу­са на марш­ру­те между двумя го­ро­да­ми от вре­ме­ни. На вер­ти­каль­ной оси от­ме­че­на ско­рость в км/ч, на го­ри­зон­таль­ной – время в часах, про­шед­шее с на­ча­ла дви­же­ния ав­то­бу­са.

Поль­зу­ясь гра­фи­ком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му ин­тер­ва­лу вре­ме­ни ха­рак­те­ри­сти­ку дви­же­ния ав­то­бу­са на этом ин­тер­ва­ле.

Решение

В данной задаче: по оси - время (ч), - скорость (км/ч).

Масштаб по оси : одна клетка – 15 мин; по оси : одна клетка - .

Проще всего с остановками: если автобус останавился, то его скорость равна 0. Значит, остановка соответствует горизонтальным участкам на оси . Остановка 30 мин – 2 клетки, остановка 15 мин – 1 клетка  В – 1, Б – 4.

Скорость автобуса не опускалась ниже 20 км/ч, значит, , соответственно Г – 2.

Скорость автобуса не превышала 60 км/ч ⟹ А – 3.

Ответ: А – 3, Б – 4, В – 1, Г – 2.

При решении задач такого типа необходимо определить, какие величины отложены на каждой из осей координат, а также определить, что именно просят найти в условии задачи.          

Определение величины по диаграмме

Пример

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра в Ниж­нем Нов­го­ро­де (Горь­ком) за каж­дый месяц 1994 г. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли – тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в 1994 г. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Решение

Мы видим, что на диаграмме изображены столбцы как выше 0, так и ниже. Поскольку мы ищем наименьшую температуру, то необходимо рассматривать столбцы, которые расположены ниже 0 (в эти месяцы ).

Как видим, ниже всего столбец спускается во 2-й месяц. По диаграмме найдём цену деления: 1 клетка по : .

Ответ: .

Пример

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Санкт-Пе­тер­бур­ге за каж­дый месяц 1999 г. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли – тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1999 г. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Решение

Существенное отличие этой задачи от предыдущей – в словах «во второй половине 1999 г.». Это значит, что необходимо рассмотреть только те столбцы, которые соответствуют месяцам с 7-го по 12-й. Среди этих столбцов ниже всех спускается столбец в 12-м месяце, определяем, что 1 клетка .

Ответ: .

Пример

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сим­фе­ро­по­ле за каж­дый месяц 1988 г. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли – тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в течение скольких месяцев сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла .

Решение

Чтобы найти количество месяцев, в которых  проведём прямую .

Нас интересуют те месяцы, столбцы которых выше этой прямой. Это всего 2 месяца: 7-й и 8-й.

Ответ: 2.

Пример

На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти во все дни с 10 по 29 но­яб­ря 2009 г. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся дни ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли – ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный день. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, во сколь­ко раз наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей боль­ше, чем наи­мень­шее ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей за день.

Решение

Необходимо найти . По диаграмме определяем: (12,24 и 28 числа) – самый высокий столбец, (15 числа) – самый низкий столбец.

Ответ: 2.

Пример

На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­плав­ки меди в 10 стра­нах мира (в ты­ся­чах тонн) за 2006 г. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по вы­плав­ке меди за­ни­ма­ли США, де­ся­тое место – Ка­зах­стан. Какое место за­ни­ма­ла Ин­до­не­зия?

Решение

1-е место у США – самый высокий столбец.

Расположим страны в порядке убывания высоты столбцов.

1 – США,

2 – Перу,

3 – Китай,

4 – Австралия, 

5 – Индонезия,

6 – Россия,

7 – Канада,

8, 9 – Польша и Замбия,

10 – Казахстан.

Ответ: 5.

Пример

На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков те­сти­ро­ва­ния уча­щих­ся 4-го клас­са по есте­ство­зна­нию в 2007 г. (по 1000-балль­ной шкале) из 10 стран. По дан­ным диа­грам­мы най­ди­те число стран, в ко­то­рых сред­ний балл участ­ни­ков выше, чем в Вен­грии.

Решение

Чтобы определить, проведём горизонтальную прямую в уровень столбца, соответствующего Венгрии.

Выше окажутся столбцы: США, Россия, Великобритания, Япония.

Ответ: 4.

Пример         

На диа­грам­ме изоб­ра­же­ны днев­ные сред­не­ме­сяч­ные тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха в Москве по дан­ным мно­го­лет­них на­блю­де­ний. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли – тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия.

Поль­зу­ясь диа­грам­мой, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му из ука­зан­ных пе­ри­о­дов вре­ме­ни ха­рак­те­ри­сти­ку тем­пе­ра­ту­ры.

Решение

1) средняя температура , проведём соответствующую прямую, видим, что только в 3-м квартале все три столбца выше этой прямой: 1 – В.

2) в 4-м квартале средняя температура за последний месяц меньше, чем в 1-м – его не рассматриваем;

В 1-м квартале:

В 2-м квартале:

Значит, 2 – Б.

3) Это верно только для 4-го квартала: , значит, 3 – Г.

4) 4 – А: , .

Ответ: А – 4, Б – 2, В – 1, Г – 3.

Вычисление по графику или диаграмме

Рассмотрим решение задач на вычисление по графику или диаграммам.

Пример

На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость кру­тя­ще­го мо­мен­та дви­га­те­ля от числа его обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся число обо­ро­тов в ми­ну­ту, на оси ор­ди­нат – кру­тя­щий мо­мент в . Ско­рость ав­то­мо­би­ля (в км/ч) при­бли­жен­но вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой , где  – число обо­ро­тов дви­га­те­ля в ми­ну­ту. С какой наи­мень­шей ско­ро­стью дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы кру­тя­щий мо­мент был не мень­ше ? Ответ дайте в км/ч.

Решение

 – чтобы найти наименьшую скорость, надо найти наименьшее количество оборотов, при котором крутяший момент .

На графике: - количество об./мин, - крутящий момент ().

Проведём прямую .

Нас интересует та часть, которая выше: . Наименьшее количество оборотов: .

Ответ: .

Пример

На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трёх суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли – зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей тем­пе­ра­ту­рой воз­ду­ха 15 июля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Решение

Необходимо найти разницу  15 июля.

Сначала выделим на графике участок, соответствующий 15 июля. Определим самую высокую и самую низкую точку по графику на выделенном участке:

,

Ответ: .

Пример

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 г. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли – тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей сред­не­ме­сяч­ны­ми тем­пе­ра­ту­ра­ми в 1973 г. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Решение

Определим самый высокий (максимальная среднемесячная температура) и самый низкий (наименьшая среднемесячная температура) столбцы.

Масштаб по оси : 1 клетка .

Ответ: .

Пример

В ходе хи­ми­че­ской ре­ак­ции ко­ли­че­ство ис­ход­но­го ве­ще­ства (ре­а­ген­та), ко­то­рое ещё не всту­пи­ло в ре­ак­цию, со вре­ме­нем по­сте­пен­но умень­ша­ет­ся. На ри­сун­ке эта за­ви­си­мость пред­став­ле­на гра­фи­ком. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее с мо­мен­та на­ча­ла ре­ак­ции, на оси ор­ди­нат – масса остав­ше­го­ся ре­а­ген­та, ко­то­рый еще не всту­пил в ре­ак­цию (в грам­мах). Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, сколь­ко грам­мов ре­а­ген­та всту­пи­ло в ре­ак­цию за три ми­ну­ты?

Решение

В данной задаче - время (мин), - масса (г).

Определим масштабы по осям: по оси  – 1 клетка – 1 мин (проставим метки дальше); по оси : 1 клетка – 4 г (проставим метки).

К третьей минуте масса реагента, не вступившего в реакцию, равна 8 г: .

Но нам нужно определить, какое количество вещества вступило в реакцию.

Для этого по графику найдём массу вещества в начале реакции (): .

Тогда .

Ответ: 12.

Пример

На ри­сун­ке точ­ка­ми по­ка­за­на ауди­то­рия по­ис­ко­во­го сайта Ya.ru во все ме­ся­цы с де­каб­ря 2008 г. по ок­тябрь 2009 г. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли − ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта, зашедших на сайт хотя бы раз в дан­ном ме­ся­це. Для на­гляд­но­сти точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей ауди­то­ри­ей сайта Ya.ru в ука­зан­ный пе­ри­од.

Решение

Найдём высшую и низшую точки по графику.

 (октябрь),  (май)

Ответ: .

Классическое определение вероятности

Рассмотрим решение задач на применение классического определения вероятности.

Напомним его: , где – количество благоприятных исходов, – общее количество исходов.

Пример

В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 10 чёр­ных, 2 жёл­тых и 8 зе­лё­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­лё­ное такси.

Решение

Общее количество исходов  машин.

Благоприятные:  зелёных.

Ответ: .

Пример

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те бро­са­ют две иг­раль­ные кости. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 8 очков. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Решение

Общее количество:  (по 6 на каждом кубике).

Из них благоприятные:

Ответ: .

Пример

В сред­нем из 1000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 5 под­те­ка­ют. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет.

Решение

Общее количество исходов можем считать: насосов.

Из них благоприятные: (не протекает).

1 способ:

2 способ:

- отрицание .

 протекают .

Ответ: .

Пример

На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в течение 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов: пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные доклады рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между чет­вёр­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

Решение

Пронумеруем 75 докладов в порядке их чтения. Всего исходов:  (доклад может оказаться на любом месте).

Найдём благоприятные  – последний день.

последние 2 дня: по 12 докладов  .

Ответ: .

Пример

В груп­пе ту­ри­стов 5 че­ло­век. С по­мо­щью жре­бия они вы­би­ра­ют двух че­ло­век, ко­то­рые долж­ны идти в село в ма­га­зин за про­дук­та­ми. Ту­рист А. хотел бы схо­дить в ма­га­зин, но он под­чи­ня­ет­ся жре­бию. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что А. пойдёт в ма­га­зин?

Решение

Общее количество исходов – количество способов выбрать 2 человек из 5 (т.к. порядок неизвестен):

 способов.

Благоприятные: турист А + любой из 4 оставшихся: 4 способа.

Ответ: .

Пример

В не­ко­то­ром го­ро­де из 5000 по­явив­ших­ся на свет мла­ден­цев – 2512 маль­чи­ков. Най­ди­те ча­сто­ту рож­де­ния де­во­чек в этом го­ро­де. Ре­зуль­тат округ­ли­те до ты­сяч­ных.

Решение

Частота:  (отношение количества благоприятных экспериментов к общему количеству экспериментов).

Количество всех экспериментов: . 

Количество девочек: .

.

Ответ: .

Пример

Ве­ро­ят­ность того, что новый DVD-про­иг­ры­ва­тель в те­че­ние года по­сту­пит в га­ран­тий­ный ре­монт, равна 0,045. В не­ко­то­ром го­ро­де из 1000 проданных DVD-про­иг­ры­ва­те­лей в те­че­ние года в га­ран­тий­ную ма­стер­скую по­сту­пи­ла 51 штука. На сколь­ко от­ли­ча­ет­ся ча­сто­та со­бы­тия «га­ран­тий­ный ре­монт» от его ве­ро­ят­но­сти в этом го­ро­де?

Решение

«Реальная» частота .

Вероятность: .

Разница: .

Вероятность – теоретическая величина, частота – практическая: например, , но это не значит, что из 2 подбрасываний в первое выпадет герб, а во второе – решка.

Ответ: .

Пример

Из мно­же­ства на­ту­раль­ных чисел от 25 до 39 на­уда­чу вы­би­ра­ют одно число. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 5?

Решение

Всего чисел: 25…39:  – общее количество событий.

Из них делится на 5: 25, 30, 35,  – количество благоприятных событий.

Ответ: .

Пример

Ме­ха­ни­че­ские часы с две­на­дца­ти­ча­со­вым ци­фер­бла­том в какой-то мо­мент сло­ма­лись и пе­ре­ста­ли хо­дить. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ча­со­вая стрел­ка за­сты­ла, до­стиг­нув от­мет­ки 10, но не дойдя до от­мет­ки 1 час.

Решение

Часовая стрелка могла своим концом указывать на любую точку окружности. Нас интересует её положение, при котором конец указывает на дугу от 10 часов до 1 часа. Т.к. все положения стрелки равновероятны, то:

 – длина дуги,  – длина циферблата (окружности).

Каждый сектор (час): .

.

Ответ: .

Чтобы решать рассмотренные задачи, необходимо определить общее количество возможных исходов события и количество благоприятных исходов (тех, которые удовлетворяют условию).

Теоремы о вероятностях событий

Рассмотрим решение примеров с использованием теорем о вероятностях событий.

Напомним их:

1)  – вероятность того, что события не произойдет;

2)  – сумма вероятностей всех возможных исходов событий;

3)  – вероятность одновременного выполнения 2 независимых событий;

4)  – вероятность выполнения первого или второго независимых событий (исходы не пересекаются).

Пример

Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни тем­пе­ра­ту­ра тела здо­ро­во­го че­ло­ве­ка ока­жет­ся ниже чем , равна 0,81. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни у здо­ро­во­го че­ло­ве­ка тем­пе­ра­ту­ра ока­жет­ся или выше.

Решение

Вероятность того, что температура не ниже:

.

Ответ: .

Пример

Би­ат­ло­нист 5 раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при 1 вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые 3 раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние 2 про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Решение

Поскольку вероятность попадания не зависит от результатов предыдущих выстрелов, то все 5 выстрелов и их результаты – независимые события:

 – вероятности попадания при первых трёх выстрелах.

 – вероятность промаха при четвёртом и пятом выстрелах.

Ответ: .

Пример

При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем – 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98? В от­ве­те ука­жи­те наи­мень­шее не­об­хо­ди­мое ко­ли­че­ство вы­стре­лов.

Решение

Будем вычислять вероятность уцелеть после каждого из выстрелов:

Нужно, чтобы вероятность уцелеть была .

Вероятность уцелеть после первого выстрела равна:

После второго:

После третьего и четвёртого:

После пятого:

Значит, понадобится 5 выстрелов.

Эту задачу можно решить по-другому. Запишем в общем виде:

.

Ответ: .

Пример

Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.

Решение

Ответ: .

Пример

В Вол­шеб­ной стра­не бы­ва­ет два типа по­го­ды: хо­ро­шая и от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся не­из­мен­ной весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,8 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. Се­год­ня 3 июля, по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что 6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да.

Решение

Погода на 4 июля:  (хорошая) , так как 3 июля погода хорошая,  (отличная) , вероятность изменения погоды.

Погода 5 июля:  (хорошая)  (используем 3 и 4 теорему),  (отличная) .

Погода 6 июля:  (хорошая) ,  (отличная) .

Ответ: .

Пример

Аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет ку­ри­ные яйца в двух до­маш­них хо­зяй­ствах. яиц из пер­во­го хо­зяй­ства – яйца выс­шей ка­те­го­рии, а из вто­ро­го хо­зяй­ства – яиц выс­шей ка­те­го­рии. Всего выс­шую ка­те­го­рию по­лу­ча­ют яиц. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что яйцо, куп­лен­ное у этой аг­ро­фир­мы, ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства.

Решение

Пусть в первом хозяйстве закупается n яиц, а во втором m яиц. Тогда яиц высшей категории: .

По условию это от общего числа яиц ().

То есть: , .

Вероятность купить яйца первого хозяйства: .

Ответ: .

Пример

По от­зы­вам по­ку­па­те­лей Иван Ива­но­вич оце­нил надёжность двух ин­тер­нет-ма­га­зи­нов. Ве­ро­ят­ность того, что нуж­ный товар до­ста­вят из ма­га­зи­на А, равна 0,8. Ве­ро­ят­ность того, что этот товар до­ста­вят из ма­га­зи­на Б, равна 0,9. Иван Ива­но­вич за­ка­зал товар сразу в обоих ма­га­зи­нах. Счи­тая, что ин­тер­нет-ма­га­зи­ны ра­бо­та­ют не­за­ви­си­мо друг от друга, най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ни один ма­га­зин не до­ста­вит товар.

Решение

Вероятность доставки из первого магазина: , из второго: .

Вероятность того, что магазины не доставят товар:

,

.

Вероятность того, что не доставят оба:

.

При этом используем третью теорему.

Ответ: .

Пример

В кар­ма­не у Пети было 2 мо­не­ты по 5 руб­лей и 4 мо­не­ты по 10 руб­лей. Петя, не глядя, пе­ре­ло­жил какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­лё­вые мо­не­ты лежат те­перь в раз­ных кар­ма­нах.

Решение

Общее количество исходов – это количество выбираний 3 монет из 6:  (порядок не важен). Благоприятные: переложили 1 по 5 рублей и 2 по 10 рублей: , .

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы повторили работу с графиками и диаграммами, решения задач по теории вероятностей. На следующем уроке – рассмотрим задачи из ЕГЭ на преобразование и вычисления значения выражений.

Ссылки на видеоуроки ИУ

1. Графики (Математика, 6 класс, раздел \"Координаты на плоскости\")

2. Столбчатые диаграммы (Математика, 6 класс, раздел \"Координаты на плоскости\")

3. Комбинаторные задачи (Алгебра, 9 класс, раздел \"Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности\")

4. Элементы математической статистики (Алгебра, 9 класс, раздел \"Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности\")

5. Простейшие вероятностные задачи (Алгебра, 9 класс, раздел \"Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности\")

6. Экспериментальные данные и вероятности событий (Алгебра, 9 класс, раздел \"Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности\")