07. Повторение. Решение простых задач по стереометрии

Призма

Прямая призма

Определение:

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.

;

Свойства

У прямой призмы высота равна боковому ребру. Боковые грани – прямоугольники.

.

.

.

Правильная призма

Определение: прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

Параллелепипед

Определение: параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Свойства

Все грани параллелепипеда – параллелограммы. Противолежащие грани параллельны и равны. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольный параллелепипед

Определение: прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным.

Свойства

Все грани являются прямоугольниками. Квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон. Объем равен произведению трех измерений.

Куб

Определение: кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Свойства

Все грани – квадраты. , .

Пример

Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение

Ответ: .

Пример

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Решение

Ответ: .

Пример

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Решение

1)

2)

3) :

Ответ: .

Пример

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Решение

1)

2) В четырехугольник можно вписать окружность, если .

Значит, ; .

 – квадрат

3)  – куб.

Ответ: .

Пример

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна  и образует углы , и с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Решение

1) :

2) :

3) :

Ответ: .

Пример

Найдите угол  прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Дайте ответ в градусах.

Решение

1) : ;

2) :

- равнобедренный.

Ответ: .

Пример

В прямоугольном параллелепипеде  известно, что , , . Найдите длину ребра .

Решение

1)  - квадрат ()

2) :

Ответ: .

Пример

В прямоугольном параллелепипеде  ребро , ребро  ребро . Точка  – середина ребра . Найдите площадь сечения, проходящего через точки ,  и .

Решение

1) :

2)

Ответ: .

Пример

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

Решение

1) :

2)

Ответ: .

Пример

В правильной треугольной призме стороны оснований равны 2, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер , ,  и .

Решение

1)  – средняя линия .

2)

Ответ: 5.

Пример

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны .

Решение

Ответ: .

Пример

В правильной шестиугольной призме  все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками  и .

Решение

1) : ;

По теореме косинусов, .

2) :

Ответ: .

Пример

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение

 – длина бокового ребра.

 – периметр перпендикулярного сечения призмы.

Ответ: .

Пример

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение

Сторона основания:

Ответ: .

Пример

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили  воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в .

Решение

1)

2)

Ответ: .

Пример

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , ,  правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Решение

Ответ: .

Пирамида

Определение: многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основание пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания – вершина пирамиды, и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

 – основание пирамиды,  – вершина; , , ,  – боковые ребра; , , ,  – боковые грани.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущеный из вершины пирамиды на плоскость основания: .

Правильная пирамида

Определение: пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Апофема – высота боковой грани пирамиды.

Свойства правильной пирамиды

Боковые ребра равны и одинаково наклонены к плоскости основания. Боковые грани – равные равнобедренные треугольники, одинаково наклоненные к плоскости основания. , где  – апофема. , где  – угол наклона боковой грани к плоскости основания. ,  – количество граней.

Пример

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Решение

1) :

2) , аналогично

3) , аналогично

4)

Ответ: .

Пример

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Решение

1) :

2)  – центр описанной окружности

:

3) :

4)

Ответ: 4,5.

Пример

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Решение

Площади основания равны, а высоты относятся как . Значит, .

Пример

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен . Найдите объем пирамиды.

Решение

1) – равносторонний.

:

2) : ;

 – равнобедренный.

3)

Ответ: .

Пример

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Решение

Ответ: .

Пример

В правильной четырехугольной пирамиде  точка  – центр основания,  – вершина, , . Найдите боковое ребро .

Решение

 – квадрат,

:

Ответ: .

Пример

В правильной четырёхугольной пирамиде  высота  равна 13, диагональ основания  равна 8. Точки и – середины рёбер и . Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью основания .

Решение

1)

,

2) :

3) :

Ответ: .

Пример

Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Решение

Высоты пирамид совпадают.

Площадь больше в 6 раз, значит, объем тоже больше в 6 раз.

Ответ: .

Пример

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Решение

При увеличении ребра в 3 раза  увеличится в 9 раз, а значит, и  увеличится в 9 раз.

Пример

В правильной треугольной пирамиде  точка  – середина ребра ,  – вершина. Известно, что , а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка .

Решение

Ответ: .

Цилиндр и конус

Цилиндр

Определение: круговым цилиндром называется тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Образующая – отрезок, соединяющий соответствующие точки цилиндра.

Прямым называется цилиндр, образующие которого перпендикулярны плоскости основания.

Обычно под цилиндром понимают прямой круговой цилиндр.

Свойства цилиндра

Основания цилиндра равны и параллельны. Образующие цилиндра равны и параллельны. Высота цилиндра (расстояние между плоскостями оснований) равна образующей. Цилиндр образуется при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси.

Конус

Определение: круговым конусом называется тело, состоящее из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с точками круга.

Образующая – отрезок, соединяющий вершину конуса с точками окружности основания.

Прямым называется конус, вершина которого проецируется в центр окружности-основания.

Обычно под конусом понимают прямой круговой конус.

Свойства конуса

Образующие конуса равны. Конус образуется при вращении прямоугольного треугольника около одного из катетов как оси. . , где  – образующая. .

Пример

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение

:

Ответ: .

Пример

Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

Решение

Ответ: .

Пример

Найдите объем  части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение

Ответ: .

Пример

Найдите объем  части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение

Ответ: .

Пример

Найдите объем  части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение

Ответ: .

Пример

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Решение

Ответ: .

Пример

Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

Ответ: .

Пример

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение

Ответ: .

Пример

Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом . В ответе укажите .

Решение

:

Ответ: .

Пример

Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен . Вычислите объем конуса, деленный на .

Решение

1)

2) :

3) :

4)

Ответ: .

Пример

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника  вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

Решение

 – равнобедренный, значит, .

Ответ: .

Пример

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

Решение

:

Ответ: .

Пример

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Решение

Ответ: .

Пример

Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение

Ответ: .

Сфера, шар. Комбинации тел

Определение: сферой называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки. Сфера получается при вращении окружности около ее диаметра как оси.

Определение

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного от некоторой заданной точки. Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра.

Пример

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Решение

Ответ: .

Пример

Около куба с ребром  описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Решение

Ответ: .

Пример

Объем шара равен . Найдите площадь его поверхности, деленную на .

Решение

Ответ: .

Пример

Вершина  куба  со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь  части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

Решение

Ответ: .

Пример

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Решение

Ответ: .

Пример

В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.

Решение

Ответ: .

Пример

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 25.

Решение

Ответ: .

Пример

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение

Ответ: в 2 раза.

Пример

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Решение

Ответ: .

Составные многогранники

Пример

Найдите расстояние между вершинами  и  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора: .

Пример

Найдите квадрат расстояния между вершинами  и  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора, .

Ответ: .

Пример

Найдите квадрат расстояния между вершинами  и  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

По теореме Пифагора, .

Ответ: .

Пример

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение

Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 3, 5 и двух площадей квадратов со стороной 1: .

Ответ: .

Пример

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение

Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей прямоугольников со сторонами 1, 3, 4 и 1, 2, 3, уменьшенной на удвоенную площадь прямоугольника со сторонами 2, 3: .

Ответ: .

Пример

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение

Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 1, 5, 7 и 1, 1, 2, уменьшенной на 4 площади прямоугольника со сторонами 1, 2 – передней грани маленького параллелепипеда, излишне учтенной при расчете площадей поверхности параллелепипедов: .

Ответ: .

Пример

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Решение

Поверхность креста составлена из шести поверхностей кубов, у каждого из которых отсутствует одна грань. Тем самым поверхность креста состоит из 30 единичных квадратов, поэтому ее площадь равна 30.

Ответ: .

Пример

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение

Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов со сторонами 4, 4, 5 и 1, 2, 1: .

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение простых задач по стереометрии. На следующем уроке мы повторим решение сложных уравнений и их систем.

Ссылки на уроки интернетурока по рассмотренным темам:

1. Многогранники. Призма. Задачи на призму (Геометрия, 10 класс, раздел \"Многогранники\")

2. Решение задач по теме «Пирамида» (Геометрия, 10 класс, раздел \"Многогранники\")

3. Решение задач по теме «Многогранники» (Геометрия, 10 класс, раздел \"Многогранники\")

4. Решение задач. Цилиндр (Геометрия, 11 класс, раздел \"Тела вращения\")

5. Решение задач. Конус (Геометрия, 11 класс, раздел \"Тела вращения\")

6. Решение задач по теме «Сфера, шар» (Геометрия, 11 класс, раздел \"Тела вращения\")

7. Комбинация призмы и цилиндра (Геометрия, 11 класс, раздел \"Тела вращения\")

8. Комбинация пирамиды и конуса (Геометрия, 11 класс, раздел \"Тела вращения\")

9. Комбинация шара и цилиндра (Геометрия, 11 класс, раздел \"Тела вращения\")

10. Комбинация шара и конуса (Геометрия, 11 класс, раздел \"Тела вращения\")

11. Комбинация шара и усеченного конуса (Геометрия, 11 класс, раздел \"Тела вращения\")

12. Комбинация шара и призмы (Геометрия, 11 класс, раздел \"Тела вращения\")

13. Комбинация шара и пирамиды (Геометрия, 11 класс, раздел \"Тела вращения\")

14. Решение задач по теме «Объемы тел» (Геометрия, 11 класс, раздел \"Объёмы тел\")

15. Решение задач по теме «Объем шара и его частей» (Геометрия, 11 класс, раздел \"Объёмы тел\")