14. Повторение. Решение различных задач

Числа и их свойства

Пример

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решение

А) :

;

Б)

,

В)

,

Для 90 есть пример нужен для 91:

; ;

Пример

Наибольшее целое число, не превосходящее число , равно . Найдите все такие значения.

Решение

:

:

:

:

:

:

Пример

Найдите все пары  целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

.

Решение

Пример

Найдите все простые числа , для каждого из которых существует такое целое число , при котором дробь  можно сократить на .

Решение

или

:

:

Пример

Найдите все целые значения , для каждого из которых число  будет рациональным.

Решение

Сразу заметим, что . Кроме того, , так как  для всех . Из условия следует, что , где ,  – натуральные. Перепишем иначе:  или  (1).

Так как  получаем, что . Докажем, что . Разделим обе части равенства (1) на , получается, что . Левая часть – целое число, значит, и правая часть – целое число. Значит, . Теперь, заметим, что  – нечётное число, а значит, из равенства (1)  тоже нечётно. Значит,  нечётно. Пусть . Тогда получаем, что . То есть дробь  является целым числом. Выделим целую часть: ;  не подходит,  – годится, а при  получаем, что . Таким образом, дробь  является целым числом лишь при . Отсюда

Ответ: 5.

Числовые наборы на карточках и досках

Пример

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их всевозможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число , выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число , а остальные числа, равные , стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Решение

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе – это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе – это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть . Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 – наименьшее число в наборе – является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе – это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна . Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа – это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

Пример

Каждое из чисел , , , , , , ,  по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел , , , , , , , . После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение

А) чтобы получить 0, одна из сумм равна 0, но нет против. Чисел  и нельзя.

Б) т.к. произведение целых чисел равно единице каждое из чисел равно .

Значит, с 1 должна быть .

С  должна быть 1

 - не получится

В)

Среди этих чисел 5 нечетных хотя бы на 2 карт с обеих сторон нечетные числа их сумма  (по модулю) .

Пример

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение

Упорядочим суммы чисел в каждой из групп: .

Тогда получаем:

.

Каждое из двух слагаемых неотрицательно, значит, чтобы сумма равнялась 0,.

Но сумма всех чисел от 1 до 12 равна 78.

Тогда  – невозможно, так как сумма чисел в каждой группе – целое число.

В пункте А: ответ – нет.

Б) Из решения пункта А получили, что , значит,  – ответ: нет.

В) Мы доказали, что сумма больше либо равна 3. Рассмотрим случай: , . Возможны два варианта:  или .

Как мы уже знаем: .

В первом случае получаем:  – решений в целых числах нет.

Во втором случае получаем:  – решений в целых числах тоже нет.

Значит, .

Для : , .

Получаем: .

Пример: 12,7; 2, 6, 11; 1, 9, 10; 3, 4, 5, 8.

Прогрессии

Пример

Все члены геометрической прогрессии – различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740.

а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?

б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Решение

а)

Т.к. все числа натуральне, то  – рациональная (будем считать, что  и  – взаимно простые).

 и  – взаимно простые .

Т. к. прогрессия возрастает .

; ; ;

б) аналогично: .

,  и  – вз. Простые .

Тогда - получаем противоречие.

Пример

Дан прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами.

а) Могут ли стороны данного треугольника быть членами одной возрастающей геометрической прогрессии?

б) Докажите, что для любого натурального , большего 1, можно найти такие три числа, которые будут являться сторонами этого треугольника и членами одной арифметической прогрессии с разностью .

Решение

А)

 – нерациональное

Б)

Пример

Дана последовательность натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 12, либо в 8 раз. Сумма всех членов последовательности равна 437.

а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?

Решение

А) Из 2 чисел не может:

,

,

- нет решения в целых

- аналогично

Из 3 чисел:

, ,

, ,

, ,

, ,

- нет решения

- нет решения

Б) Сумма двух соседних чисел равна как минимум 9. Поскольку  не больше, чем 48 пар + 1 число (97 чисел).

Но сумма 9 только для пары , а если все пары такие, к ним 5 не добавить. Для остальных пар минимальная сумма 14.

Получаем 96 чисел: 1 8 1 8 …1 8 1 13.

Последовательности

Пример

Каждое из чисел 5, 6, . . ., 9 умножают на каждое из чисел 12, 13, . . ., 17 и перед каждым произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение

1. 
   
   Наибольшая – понятно: все «+»
   

2. Наименьшее: полученная сумма всегда нечетная (независимо от знаков), т.к. в ней: 9 нечетных слагаемых. Значит, сумма не может быть равна 0. Минимальная сумма 1. Получим сумму 1:
   

    по модулю 1

Пример

Дана бесконечная последовательность чисел , , , , в которой при каждом  член последовательности  является корнем уравнения .

1. Найдите наибольший порядковый номер  члена последовательности такой, что в десятичной записи числа  используется не более семи цифр.

2. Укажите наименьшее натуральное число , среди делителей которого содержится ровно 8 членов данной последовательности.

3. Существует ли такое натуральное число , что сумма , идущих подряд членов этой последовательности, равна некоторому члену этой последовательности.

4. Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности, таких, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом.

Решение

1. - точно подходит.

   
   
   Ответ: 14.

2. Если число делится на делится и на все: , , , . Поэтому 8 делителей будет, если делится на , , , но не делиться на . Наименьшее такое число: .

3. 
   

   
   

   , если , то левая часть : 3 правая - .

    – не подходит

4. Пусть это набор.
   

   , , ,

   
   

   
   

   
   

   Нужно, чтобы, например,  (для любого ) не было делителя квадрата. Попробуем взять все , ,  нечетными. Тогда в любом наборе сумма , т.е. не может быть квадратом.

Пример

Даны две последовательности: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12. В каждой из них каждое число получено из предыдущего по одному и тому же закону.

а) Найдите этот закон.

б) Найдите все натуральные числа, переходящие сами в себя (по этому закону).

в) Докажите, что число 21991 после нескольких переходов станет однозначным.

Решение

а) Закон можно угадать, заметив, например, что, пока число однозначное, оно удваивается, а потом – нет. А то, что 10 переходит в 2, наводит на мысль, что удваивается не само число, а сумма его цифр. Итак, искомый закон обнаружен: удвоенная сумма цифр.

б) Легко заметить, что однозначных чисел, больших нуля, с требуемым свойством, нет. Попробуем найти решение среди двузначных чисел. Если первая цифра двузначного числа равна , а вторая равна , то само число равно . Имеем . Отсюда , то есть , .

Можно показать, что других решений нет: самое маленькое трёхзначное число – 100, а самая большая сумма трёх цифр – , поэтому удвоенная сумма цифр всегда меньше самого числа. Так же с четырехзначными, пятизначными и т.д.

в) Заметим, что если число не меньше, чем трёхзначное, то его сумма цифр меньше самого числа. Значит, число будет уменьшаться, пока не станет двузначным или однозначным. Остаётся единственная опасность: попасть в «неподвижную точку» – 18. Но это в нашем случае невозможно, так как исходное число не делилось на 9, а при данном преобразовании числа, не кратные 9, не могут перейти в числа, кратные 9.

Ответ: а) удвоенная сумма цифр; б) 18.

Сюжетные задачи

Пример

Моток веревки режут без остатка на куски, длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше  см, можно разрезать на стандартные куски.

А) . Ее максимальная длина: .

 – больше, чем на 33 разделить нельзя.

Б) Веревку можно разрезать  на  кусков, если .

На : .

Нужно, чтобы эти промежутки пересекались: .

Значит, любую веревку длиной  или больше можно разрезать.

Докажите, что  уже не подходит.

На 32 куска нельзя, т.к. .

На 33 тоже: .

Значит, при .

Пример

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, т.е. прыгают друг через друга. При этом если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

Решение

Пусть кузнечик в т.  и прыгает через т. .

обе коорд. четность не меняют.

Чтобы попасть в , обе координаты должны быть нечетными, а таких не было.

Пример

Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме последних трех его цифр. Докажите, что:

а) число всех счастливых билетов четно;

б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.

Решение

а) Каждому счастливому билету поставим в соответствие билет, номер которого состоит из цифр, дополняющих соответствующие цифры номера исходного билета до девятки. Например, билет 239601 получит в пару билет 760398. Очевидно, парой к каждому счастливому билету является также счастливый билет. При этом никакой билет не получает в пару себя (цифра не может дополнять до девятки самое себя, поскольку 9 – нечетное число). Таким образом, мы получили разбиение всех счастливых билетов на пары.

б) Рассмотрим способ разбиения билетов на пары из пункта а. Сумма номеров билетов в каждой паре равна: , значит, она делится на 999. Сложив эти попарные суммы, получим число, кратное 999.

Пример

Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить все жалование между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдает Черномору. Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если:

а) жалование между отрядами Черномор распределяет как ему угодно;

б) жалование между отрядами Черномор распределяет поровну?

Решение

а) Остаток всегда меньше делителя, поэтому с отряда в богатырей Черномор не сможет получить максимум − 1 монет. Если отрядов , то Черномор получит не более 33 – монет. Пусть отряд всего один. Тогда Черномор получит только 9 монет, так как . Значит, 32 монеты получить не удается. Покажем, как получить 31 монету.

Пусть Черномор разделил богатырей на два отряда: 32 богатыря и один богатырь. Первому отряду Черномор отдает 63 монеты и получает 31 монету. А остальные 177 монет получает оставшийся богатырь.

б) Чтобы получить 31 монету, Черномор должен разделить рыцарей на два отряда и выдать каждому отряду по 120 монет. При этом с отряда в  человек он должен получить  монет. Но тогда 121 делится на . Значит,  может равняться только 1, 11 или 121. Но из двух таких чисел не составить 33.

Покажем, как получить 30 монет. Пусть, например, в одном отряде 27 богатырей, а в двух других – по три. Тогда Черномор раздает каждому отряду по 80 монет. В итоге с первого отряда он получит назад 26 монет, а с каждого из оставшихся – по две монеты. В итоге получается 30 монет.

Ответ: а) 31; б) 30.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение различных сложных задач.

На следующем уроке мы подведём итоги нашего курса и разберём один из вариантов ЕГЭ прошлых лет.

Ссылки на уроки ИнтернетУрока по рассмотренным темам:

1. Типовые задачи по теме \"Геометрическая прогрессия\" (Алгебра, 9 класс, раздел \"Типовые задачи по теме Геометрическая прогрессия\")

2. Типовые задачи по теме «Геометрическая прогрессия» (продолжение) (Алгебра, 9 класс, раздел \"Прогрессии\")

3. Обзорный урок по теме \"Арифметическая прогрессия\" (Алгебра, 9 класс, раздел \"Прогрессии\")

4. Определение и свойства арифметической прогрессии, формула ее n-го члена (Алгебра, 9 класс, раздел \"Прогрессии\")

5. Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена (Алгебра, 9 класс, раздел \"Прогрессии\")

6. Свойства числовой последовательности (Алгебра, 9 класс, раздел \"Прогрессии\")

7. Числовая последовательность и способы ее задания (Алгебра, 9 класс, раздел \"Прогрессии\")

8. Обзорный урок по теме «Прогрессии» (Алгебра, 9 класс, раздел \"Прогрессии\")