01. Повторение. Решение текстовых задач
42 мин
02. Повторение. Работа с графиками и диаграммами. Теория вероятностей, комбинаторика
1 ч 0 мин
03. Повторение. Преобразование и вычисление значений выражений
1 ч 19 мин
04. Повторение. Решение уравнений. Задачи, сводящиеся к решению уравнений и неравенств
1 ч 5 мин
05. Повторение. Решение задач по планиметрии
1 ч 0 мин
06. Повторение. Производная и первообразная
1 ч 7 мин
07. Повторение. Решение простых задач по стереометрии
1 ч 0 мин
08. Повторение. Решение сложных уравнений и систем
1 ч 41 мин
09. Повторение. Решение сложных задач по стереометрии
48 мин
10. Повторение. Решение сложных неравенств и их систем
1 ч 26 мин
11. Повторение. Решение сложных задач по планиметрии
53 мин
12. Повторение. Решение сложных практических задач
1 ч 14 мин
13. Повторение. Решение заданий с параметром
32 мин
14. Повторение. Решение различных задач
48 мин
15. Закрепление пройденного материала. Решение варианта ЕГЭ
46 мин
10. Повторение. Решение сложных неравенств и их систем
Видео доступно после авторизации
Рациональные, иррациональные, показательные неравенства
На этом уроке мы рассмотрим решение сложных неравенств и их систем. Начнём с решения рациональных, иррациональных и показательных неравенств.
Пример
Решить неравенство: .
Начнем с ОДЗ: , .
1. Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим второй знаменатель на множители.
Необходимо разложить числитель на множители. Для этого подберем ноль числителя: (ищем среди делителей свободного члена): ; ; ; ; ; .
является корнем: .
В результате деления получим и разложим данное выражение на множители:
.
ОДЗ уже определена, нули числителя – это ; ; .
Нанесем эти точки на числовую прямую.
Необходимо выбрать те промежутки, на которых данное выражение принимает неположительное значение: .
Ответ: .
Пример
Решить неравенство: .
ОДЗ:
ОДЗ: .
Приведем все к общему знаменателю и избавимся от корня:
.
Разложим числители дробей на множители: .
Решаем данное неравенство с помощью метода интервалов. Наносим нули на числовую прямую.
С учетом ОДЗ: .
Ответ: .
Пример
Решить неравенство: .
ОДЗ:
Обратим внимание на одинаковые множители справа и слева: .
Приведем все к общему знаменателю и разложим числитель на множители:
.
Нули числителя и знаменателя: ; ; ; ; .
Нанесем нули на числовую прямую.
С учетом ОДЗ: .
Ответ: .
Пример
Решить неравенство: .
ОДЗ: .
Так как невозможно подобрать корень, попробуем исследовать данную функцию:
.
, функция возрастает на всей области определения.
Так как .
ОДЗ: .
Перенесем всё в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
.
Найдем нули числителя и знаменателя: .
Наносим все нули на числовую прямую.
Ответ: .
Пример
Решить неравенство: .
ОДЗ: .
Перенесем все в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю:
.
Разложим на множители: .
Наносим нули на числовую прямую.
Ответ: .
Пример
Решить неравенство: .
ОДЗ: .
верно всегда, так как показательная функция принимает положительные значения.
Решим второе неравенство системы.
Произведем замену: .
Решаем методом интервалов.
или
Делаем обратную замену: , .
или
Решим второе неравенство: .
Наносим все на числовую прямую.
Ответ: .
Логарифмические неравенства
Рассмотрим решение сложных логарифмических неравенств.
Пример
ОДЗ
Подлогарифмические неравенства должны быть больше нуля.
1)
Решим каждое неравенство отдельно.
– решений нет
Наносим нули на числовую прямую.
2)
3)
– значение не попадает в ОДЗ.
ОДЗ: .
Решаем неравенство: .
Раскладываем на множители: .
Найдем нули множителей:
Наносим нули на числовую прямую.
возведем в квадрат:
.
Данные корни не попадают в ОДЗ.
Ответ: .
Пример
ОДЗ: .
Решим данное неравенство: .
Найдем нули: .
Сделаем замену: .
, .
При : .
Значит, .
Ответ: .
Пример
ОДЗ:
Решаем неравенство: .
Найдем нули числителя: .
Нанесем нули на числовую прямую.
Ответ: .
Пример
ОДЗ: .
Решаем каждое неравенство.
Выполним замену: .
Решаем второе неравенство.
Выполним замену: .
Решаем третье неравенство.
Делаем замену и получаем уравнение: .
ОДЗ: .
Решаем неравенство: .
Сокращаем и приводим к общему знаменателю: .
Нули: .
Приравниваем подлогарифмические выражения: .
Сделаем замену: .
– не имеет решения, так как корень не может быть отрицательным.
Ответ: .
Пример
ОДЗ:
Переходим к решению данного неравенства. Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю: .
Найдем нули данного выражения. Числитель приравниваем к нулю: .
Нанесем полученные корни на числовую ось.
Ответ: .
Системы рациональных, иррациональных, показательных неравенств
Рассмотрим решение систем рациональных, иррациональных, показательных неравенств.
Пример
1)
Сделаем замену: .
Наносим нули на числовую ось.
2)
Наносим нули на числовую ось.
Необходимо соединить два решения: .
Ответ: .
Пример
1. ОДЗ: .
2.
Так как имеем неравенство с модулем, необходимо рассмотреть два случая: когда выражение принимает неотрицательное значение и когда выражение принимает отрицательное значение.
1)
2)
Объединяем оба решения: .
Решение исходной системы неравенств будет пересечение двух множеств.
Пересечения: .
Ответ: .
Пример
Первое неравенство явно сложное. Поэтому начнем со второго.
ОДЗ: .
Их сумма , только если .
Проверим, является ли решение второго неравенства решением первого неравенства системы. Подставим в первое : (верно).
Ответ: .
Пример
Начнем с первого неравенства.
ОДЗ: .
- решений нет
;
Наносим нули на числовую прямую.
Решаем второе неравенство: .
ОДЗ: .
С учетом предыдущего неравенства .
Возведем обе части неравенства в куб: .
Возведем обе части в квадрат: .
С учетом пересечения получим: .
Ответ: .
Системы, содержащие логарифмические неравенства
Рассмотрим решение систем, содержащих логарифмические неравенства.
Пример
1) Начнем с решения первого неравенства.
ОДЗ:
Решаем неравенство: .
Наносим решения на числовую прямую.
2) Решим второе неравенство.
ОДЗ: .
Пересечением решений трех неравенств является интервал .
Ответ: .
Пример
1) Решаем первое неравенство.
Приведем все к одному основанию: .
2) Решаем второе неравенство.
ОДЗ: .
Сделаем замену: .
С учетом ОДЗ: .
Ответ: .
Пример
1) Решаем первое неравенство.
2) Решаем второе неравенство системы.
ОДЗ:
Сделаем замену: .
или
или
С учетом решения первого и второго неравенств вместе с ОДЗ: .
Ответ: .
Неравенства и системы неравенств, содержащие логарифмы с переменным основанием
Неравенства и системы неравенств, содержащие логарифмы с переменным основанием
Рассмотрим решение неравенств и систем неравенств, содержащих логарифмы с переменным основанием.
Пример
1.ОДЗ: .
Первый случай: .
Второй случай: .
ОДЗ: .
Решим данное неравенство: .
Рассматриваем два случая: когда основание меньше единицы и когда основание больше единицы.
Учитывая ОДЗ: если , то .
2)
Необходимо найти пересечение решений двух систем.
Ответ: .
Пример
ОДЗ: .
Решаем исходное неравенство.
1)
2)
Ответ: .
Заключение
На этом уроке мы рассмотрели решение сложных неравенств и их систем. На следующем уроке мы рассмотрим решение сложных задач по планиметрии. На этом наш урок окончен. Спасибо за внимание!
Ссылки на уроки интернетурока по рассмотренным темам:
Список литературы:
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
"