12. Повторение. Решение сложных практических задач

Практические задачи (проценты)

Пример

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение

Пусть  – сумма ежегодного платежа.

На 31 декабря 2014 года: .

На 31 декабря 2015 года: .

На 31 декабря 2016 года: .

Пример

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом  и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Решение

Пусть  месяцев процентная ставка была .

Изначальная сумма вклада .

Тогда через  месяцев: .

Через  месяцев: .

Через  месяцев: .

Через  месяцев:

С другой стороны, .

, , ,

Ответ: .

Пример

В начале года  некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось, – в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у.е., к концу следующего – 749 у.е. Если первоначально 5/6 суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у.е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.

Решение

1) Пусть вклад в банк А: , а вклад в банк Б: .

Пусть ставка в банке А: , а в банке Б: .

К концу первого года в банке А: .

К концу первого года в банке Б: .

К концу второго года в банке А: .

К концу второго года в банке Б: .

2) Во втором случае к концу первого года в банке А: .

К концу первого года в банке Б: .

Замена: .

Во втором случае к концу второго года:

.

Ответ: .

Пример

Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?

Решение

Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает, что Сергей взятую сумму возвращал равными долями.

Общая сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита, обусловлена только применением процентной ставки.

В первом месяце эта часть заплаченной суммы составляла , во втором – , в третьем – , в восьмом – , наконец, в последнем – .

Всего за 9 месяцев:

.

Искомое процентное отношение: .

Ответ: .

Пример

Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Сбербанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Сбербанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Сбербанке Баба Валя сняла половину образовавшей суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» И открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния. Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Сбербанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако подумала: «А где же мы не теряли?». Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без навара! А каков в Сбербанке процент годовых для пенсионеров?

Решение

Пусть изначально было: .

Пусть процентная ставка в Сбербанке: .

Тогда через год: .

Ставка в коммерческом банке в 20 раз выше: .

Сумма, полученная в коммерческом банке: .

Так как эта сумма на 65% больше изначальной ().

Ответ: .

Пример

Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?

Решение

Изначально долг банку .

Через год долг банку: .

После выплаты: .

Через 2 года долг банку: .

После выплаты: .

Через 3 года долг банку: .

После выплаты: .

Через 4 года долг банку: .

После выплаты: .

Через 5 лет долг банку: .

После выплаты: .

Через 6 лет долг банку: .

Полностью оплатили.

Ответ: .

Пример

В первые классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом – 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Решение

Пусть в класс, в котором 22 человека, распределили  девочек, а в класс, в котором 23 человека, распределили  девочек.

Процент девочек в первом классе: .

Во втором: .

 – возрастающая функция, значит, наибольшее значение она достигает при наибольшем , то есть при .

В первом классе: 22 девочки.

Во втором классе: 3 девочки и 20 мальчиков.

Цифровая запись числа

Пример

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение

не делится на

Ответ: , , , , , .

Пример

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

Решение

Чтобы число делилось на 24, оно должно делиться на 3 (сумма цифр делится на 3) и на 8 (последние три цифры образуют число, которое делится на 8). Значит, последние три цифры 000.

Чтобы сумма делилась на 3, первые три цифры должны быть 111.

Ответ: .

Пример

Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.

Решение

Если число делится на 27, то оно делится на 3 и на 9.

Вычеркнем цифры так, чтобы сумма делилась на 3 и на 9. Сумма цифр 123456: 21. Нужно, чтобы сумма была 18 или 9. Так как сумма трех наименьших цифр 6, а , то попробуем получить 9. Для этого сумму уменьшим на 12.

Ответ: .

Пример

Сумма цифр трёхзначного натурального числа делится на 12. Сумма цифр числа () также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число .

Решение

А:

Если , то : .

Значит, ,  не делится на 12.

Если , то возможны три случая:

1) , , : ; :

 на 21 больше, чем , значит, не делится на 12.

2) , ; : ; :

 на 12 меньше, чем , значит, делится на 12.

3) , ; : ; :

 на 3 меньше, чем , значит, не делится на 12.

Нам подходит только вариант , , .

Наименьшее: .

Пример

Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

Решение

Если число делится на 30, то оно делится на 10 и на 3.

Чтобы число делилось на 10, его последняя цифра должна быть 0. 141565041

Теперь вычеркнем одну цифру так, чтобы сумма цифр делилась на 3.

Например, 415650, 145650, 115650.

Пример

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 25, если известно, что его квадрат делится на 16.

Решение

, , – не делятся на 2, значит,  не делится на 16.

, ,

не делится на 2, значит,  не делится на 16.

не делится на 4, значит,  не делится на 16.

Ответ: .

Пример

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение

Если число делится на 24, то оно делится на 8 и на 3.

Число делится на 8, когда последние три цифры образуют число, которое делится на 8: 112.

Теперь подберем первые три цифры так, чтобы сумма цифр делилась на 3.

122112, 212112, 221112

Задачи на смекалку

Пример

Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за 1 час. За сколько секунд бактерии заполняют половину стакана?

Решение

Если каждую секунду бактерия делится на две новые, то за 1 секунду до часа была заполнена половина стакана.

Пример

Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать советам тренера?

Решение

Ответ: .

Пример

Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток?

Решение

Среди десяти последовательных чисел одно делится на 7, значит, остаток от деления на 7 равен 0.

Пример

В результате паводка котлован заполнился водой до уровня 2 метра. Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая её уровень на 20 см/ч. Подпочвенные воды, наоборот, повышают уровень воды в котловане на 5 см/ч. За сколько часов работы помпы уровень воды в котловане опустится до 80 см?

Решение

Ответ: .

Пример

В классе учится 25 учащихся. Несколько из них ходили в кино, 18 человек ходили в театр, причём и в кино, и в театр ходили 12 человек. Известно, что трое не ходили ни в кино, ни в театр. Сколько человек из класса ходили в кино?

Решение

Ходили в кино или театр: .

Значит, только в кино ходили: .

Всего в кино: .

Пример

В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в три последующих месяца продавали по 10 холодильников. С мая продажи увеличивались на 15 единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год?

Решение

Я - 10

Ф - 10

М - 10

А - 10

М - 25

И - 40

И - 55

А - 70

С - 55

О - 40

Н - 25

Д - 10

Пример

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;

2) за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?

Решение

Пусть он  раз менял золотые монеты и  раз серебряные.

Количество золотых монет не изменилось: .

Медных монет стало на 35 больше: .

Серебряных монет стало на  больше, то есть на 10 меньше.

Пример

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы)

Решение

Пусть на этаже  квартир, тогда в первых 6 подъездах  квартир.

На 7 этажах .

, тогда в первых 6 подъездах 420 квартир, а квартира 462 находится на 5 этаже.

Пример

В корзине лежат 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Решение

В корзине должно быть хотя бы 24 рыжика, иначе мы бы могли взять 17 груздей.

Аналогично должно быть хотя бы 16 груздей

Ответ: 24 рыжика, 16 груздей.

Пример

Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?

Решение

Улитка поднимается на 3 м за сутки. За 3 суток улитка будет на высоте 9 м. Во время дня четвертых суток она заползет на вершину.

Анализ утверждений (часть 1)

Пример

В городе в 2013 году мальчиков родилось больше, чем девочек. Мальчиков чаще всего называли Андрей, а девочек – Мария. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

Среди рождённых в 2013 году в городе :

1) девочек с именем Мария больше, чем с именем Светлана,

2) мальчиков с именем Николай больше, чем с именем Аристарх,

3) хотя бы одного из родившихся мальчиков назвали Андреем,

4) мальчиков с именем Андрей больше, чем девочек с именем Мария.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение

1) Утверждение, что девочек чаще всего называли Мария, означает, что девочек, которых называли другими именами, меньше, следовательно, первое утверждение верно. Первое утверждение следует из приведённых данных.

2) Второе утверждение не следует из приведённых данных.

3) Если мальчиков чаще всего называли Андреями, то, следовательно, родился по крайней мере один мальчик, которого назвали Андреем. Третье утверждение следует из приведённых данных.

4) Четвёртое утверждение не следует из приведённых данных, поскольку невозможно сказать, сколько родившихся мальчиков назвали Андреями, а сколько девочек – Мариями.

Ответ: .

Пример

В фирме работают 50 человек, из них 40 человек знают английский язык, а 20 человек – немецкий. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных. В фирме :

1) хотя бы три человека знают оба языка,

2) нет ни одного человека, знающего и английский, и немецкий,

3) если человек знает немецкий язык, то он знает и английский,

4) не больше 20 человек знают два иностранных языка.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение

1) Утверждение верно, поскольку в фирме всего 50 человек и из них 40 человек знают английский язык, а 20 человек – немецкий.

2) Второе утверждение противоречит приведённым данным.

3) Утверждение не следует из приведённых данных.

4) Сотрудники фирмы могут знать и другие иностранные языки. Утверждение не следует из приведённых данных.

Ответ: .

Пример

Пять жильцов многоквартирного дома – Андрей, Борис, Виктор, Денис и Егор – разного возраста. При этом известно, что возраст Андрея больше, чем сумма возрастов Бориса и Виктора, Виктор старше Дениса, но младше Егора. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Андрей самый старший из жильцов.

2) Егор старше Бориса.

3) Андрей старше Дениса.

4) Борис старше Егора.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение

Пусть А, Б, В, Д и Е – возраст Андрея, Бориса, Виктора, Дениса и Егора. Из условия получаем неравенства: А > Б + В, В > Д, В < Е. Откуда получаем: Д < В < Е, А > Б, А > В.

1) Из условия не следует, что Андрей – старший из жильцов. Например, Егор может быть старше Андрея.

2) Из условия не следует, что Егор старше Бориса.

3) Из полученных уравнений следует, что Андрей старше Дениса.

4) Борис не обязательно старше Егора.

Таким образом, верным является утверждение 3.

Ответ: 3.

Пример

Согласно строительным нормам, в домах выше 5 этажей должен быть установлен лифт. Считая, что эти нормы неукоснительно исполняются, выберите утверждения, которые непосредственно из этого следуют.

1) Если в доме нет лифта, то он не выше 5 этажей.

2) Если в доме 3 этажа, то в нём лифта нет.

3) Если в доме больше 5 этажей, то в нём есть лифт.

4) Если в доме есть лифт, то он выше 5 этажей.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение

1) Если в доме больше пяти этажей, в нём есть лифт. Значит, если лифта нет, то в доме пять или меньше этажей.

2) Из того, что в доме меньше пяти этажей, не следует, что лифта в нём нет. Он там может быть, просто не обязательно.

3) Верно.

4) Так же, как и во втором пункте, надо понимать, что лифт может быть в любом доме и его наличие ничего не говорит о количестве этажей.

Пример

Какие из приведённых ниже утверждений равносильны утверждению «Если вы – слон, значит, вы ничего не забываете»?

(1) Если вы ничего не забываете, значит, вы – слон.

(2) Если вы – не слон, значит, вы все забываете.

(3) Если вы – не слон, значит, вы что-то забываете.

(4) Если вы что-то забываете, значит, вы – не слон.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение

1) Только слоны ничего не забывают. Все остальные могут как забывать, так и не забывать.

2) То же самое, что и в первом пункте.

3) Не только слоны могут ничего не забывать.

4) Слоны ничего не забывают, поэтому это верно.

Пример

Среди сотрудников фирмы А некоторые летом 2013 года отдыхали в Греции, а некоторые – в Испании. Все те сотрудники, которые отдыхали в Испании, не отдыхали в Греции. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Сотрудник фирмы А, который летом 2013 года не отдыхал в Греции, обязательно отдыхал в Испании.

2) Каждый сотрудник фирмы А отдыхал за лето 2013 года хоть где-то.

3) Среди тех сотрудников, которые не отдыхали в Испании летом 2013 года, есть хотя бы один сотрудник, который отдыхал в Греции.

4) Нет ни одного сотрудника фирмы А, который за лето 2013 года отдыхал и в Греции, и в Испании.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение

1) Это бы значило, что все сотрудники отдыхали или в Греции, или в Испании, что неверно.

2) Некоторые отдыхали в Греции, некоторые в Испании, а про остальных ничего не сказано.

3) В условии сказано, что некоторые сотрудники отдыхали в Греции, значит, таких людей было ненулевое количество.

4) Это так, потому что иначе бы это противоречило условию «кто отдыхал в Испании, не отдыхал в Греции».

Ответ: 34.

Анализ утверждений (часть 2)

Пример

В компании из 20 человек 15 человек пользуется социальной сетью Facebook, а 10 человек – социальной сетью «ВКонтакте». Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных. В этой компании:

1) найдётся хотя бы 5 человек, пользующихся обеими сетями,

2) найдётся человек, который не пользуется ни сетью Facebook, ни сетью «ВКонтакте»,

3) не больше 10 человек пользуются обеими сетями,

4) не найдётся ни одного человека, пользующегося только сетью Facebook.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение

1) Это так. Пять достигается в случае, когда все пять человек, которые не пользуются Facebook, пользуются «ВКонтакте». В остальных случаях таких людей ещё больше.

2) В примере из первого пункта все люди пользуются хотя бы одной социальной сетью.

3) Это верно, так как всего 10 человек пользуются «ВКонтакте».

4) Всегда найдётся такой человек, так как пользующихся Facebook больше, чем тех, кто пользуется «ВКонтакте».

Пример

Учитель математики Иван Петрович обязательно отключает свой телефон, когда ведёт урок. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Если телефон Ивана Петровича включён, значит, он не ведёт урок.

2) Если телефон Ивана Петровича выключен, значит, он ведёт урок.

3) Если Иван Петрович проводит контрольную работу по математике, значит, его телефон выключен.

4) Если Иван Петрович не ведёт урок, значит, его телефон включён.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и

других дополнительных символов.

Пояснение

1) Верно, потому что, если бы он вёл урок, телефон был бы выключен.

2) Неверно, Иван Петрович может выключать телефон не только во время урока.

3) Контрольная работа является уроком, а на уроках Иван Петрович выключает телефон.

4) Как и во втором пункте, мы ничего не знаем про внеурочное время.

Пример

Двадцать выпускников одного из 11 классов сдавали ЕГЭ по математике. Самый низкий балл, полученный среди них, был равен 36, а самый высокий – 75.

Выберите утверждения, которые следуют из данной информации.

1) Среди этих выпускников есть человек, который получил 75 баллов за ЕГЭ по математике.

2) Среди этих выпускников есть два человека с равными баллами за ЕГЭ по математике.

3) Среди этих выпускников нет человека, получившего 72 балла за ЕГЭ по математике.

4) Баллы за ЕГЭ по математике любого из этих двадцати человек не ниже 35.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и

других дополнительных символов.

Пояснение

1) Это так, иначе это не был бы самый высокий балл в классе.

2) Учеников 20, а различных результатов за ЕГЭ, которые могли бы быть  Таким образом, необязательно у каких-то двух учеников есть одинаковый балл.

3) Такой человек мог быть, нам об этом ничего не известно.

4) Баллы всех двадцати учеников не меньше 36, значит, они также не меньше 35.

Пример

Известно, что если функция выпукла на некотором промежутке, то она непрерывна на этом промежутке. Выберите утверждения, которые отсюда следуют:

1) если функция не выпукла на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке точку разрыва,

2) если функция на некотором промежутке имеет точку разрыва, то функция не выпукла на этом промежутке,

3) если функция на промежутке выпукла, дифференцируема и чётна, то она непрерывна на этом промежутке,

4) если функция непрерывна на промежутке, то она выпукла на этом промежутке.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение

1) Если функция не выпукла, то мы ничего не можем сказать про её непрерывность.

2) Если функция выпукла, то она обязательно непрерывна, следовательно, разрывная функция не может быть выпуклой.

3) Если функция выпукла на некотором промежутке, то она непрерывна на этом промежутке. Дополнительные условия неважны.

4) Если функция выпукла на некотором промежутке, то она непрерывна на этом промежутке, обратное необязательно верно.

Таким образом, верными являются утверждения 2 и 3.

Ответ: 23.

Пример

Известно, что все щуки – рыбы, также известно, что все рыбы плавают в воде. Тюлень тоже плавает в воде. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Все тюлени – рыбы.

2) Если животное не плавает, то это не тюлень.

3) Все щуки плавают в воде.

4) Если животное плавает в воде, то оно либо рыба, либо тюлень.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение.

1) Не все, кто плавает в воде, – рыбы. Поэтому тюлень не обязательно рыба.

2) Тюлень плавает в воде, следовательно, любое животное, которое не плавает в воде, не может быть тюленем.

3) Щука – рыба, а все рыбы плавают в воде, следовательно, все щуки плавают в воде.

4) Не все, кто плавает в воде, – рыбы.

Таким образом, верными является утверждения 2 и 3.

Ответ: 23.

Заключение

На этом уроке рассмотрели решение сложных практических задач. На следующем уроке будем решать задачи с параметрами.

Ссылки на уроки ИнтернетУрока по рассмотренным темам:

1. Решение текстовых задач на смеси и проценты (Алгебра, 11 класс, раздел \"Задачи из ЭГЕ\")

2. Решение задач на проценты (Математика, 5 класс, раздел \"Инструменты для вычисления и измерений\")

3. Решение простейших текстовых задач. Решение задач В1 (Алгебра, 11 класс, раздел \"Задачи из ЭГЕ\")

4. Признаки делимости на 10, 5 и на 2 (Математика, 6 класс, раздел \"Делимость чисел\")

5. Признаки делимости на 9 и на 3 (Математика, 6 класс, раздел \"Делимость чисел\")