08. Повторение. Решение сложных уравнений и систем

Логарифмические и показательные уравнения

На этом уроке рассмотрим решение сложных уравнений и их систем на примере заданий из ЕГЭ. Начнем с решения логарифмических и показательных уравнений.

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти все корни, принадлежащие промежутку .

Напомним  варианта решения таких уравнений:

1) проверить область допустимых значений;

2) в конце выполнить проверку.

В данном случае подлогарифмические выражения должны быть больше нуля.

, область допустимых значений: - любое

Вспомним: для логарифмических уравнений основная идея – привести все логарифмы к одному основанию.

Вынесем показатели степени за знак логарифма и сократим, а в левой части преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: .

Приравняем подлогарифмические выражения

Произведем замену: .

Выполним обратную замену

б) На промежутке ; ; .

Ответ: .

Пример

а) Решить уравнение , область допустимых значений:  – любое число

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

Обратим внимание, что :

Выполним замену: :

 ;

Выполним обратную замену: , .

б) Найдем корни, принадлежащие искомому промежутку:  – не подходит.

Проверим:  – пропотенцируем данное неравенство с основанием .

Осталось проверить  – возведем в куб обе части неравенства:  – неравенство верно, следовательно, корень входит в промежуток .

Ответ: .

Пример

а) Решите уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

Обратим внимание: одинаковые выражения, содержащие .

Выполним замену:

Выполним обратную замену.

б)

Ответ: .

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие  промежутку .

Обратим внимание:  – одинаковое выражение, содержащее .

, ;

Выполним замену: ; .

 – однородное уравнение

: 

Произведем обратную замену: .

 – решений нет, так как показательная функция не может быть отрицательной.

б) Проверим, принадлежат ли корни искомому промежутку.

Ответ: .

Тригонометрические уравнения

Рассмотрим решение тригонометрических уравнений.

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

 – формулы приведения

,

,

б) Воспользуемся для проверки тригонометрической окружностью.

Ответ: , , .

Пример

a) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

Обратим внимание: .

Преобразуем, используя формулы двойного аргумента:

Выполним замену: .

, ,

,

,

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку .

,

,

,

, ;

Ответ: , ; .

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

Ответ: .

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

 – однородное уравнение

Произведем следующую замену:

, 

Выполним обратную замену:

,      

Ответ: .

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

 – решений нет, так как значения косинуса принадлежат промежутку

Разделим обе части на .

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Возведем обе части в квадрат (чтобы избавиться от модуля: ).

Преобразуем данное уравнение с помощью формулы синуса двойного угла и основного тригонометрического тождества:

;  – не подходит, так модуль не может быть отрицательным числом

Выполним проверку.

Подставим: : 

– верно

:

 – верно

Ответ: .

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

Выполним замену .

Выполним обратную замену.

,

,

Ответ: ; .

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

Выполним замену:

;

Проверка:

 – подходит

 – не подходит

Выполним обратную замену:

Ответ: .

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

Выполним проверку.

Два варианта:

,  – подходит

; 

 – не подходит

Ответ: ; .

Пример

Решить уравнение .

Возведем обе части в квадрат.

 – нет решения, так как синус принимает значение

Проверка:

 : - неверно

: - верно

Ответ: , .

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

Формулы приведения: .

Следовательно, область допустимых значений – любая.

Ответ: ; .

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

Область допустимых значений: .

Идея:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

,

,

Проверка:

:  – не подходит, так как .

:

Ответ: ; .

Пример

Решите уравнение .

Область допустимых значений: .

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю.

 – не подходит

Проверим условие .

Ответ: .

Уравнения смешанного типа

Рассмотрим решение уравнений смешанного типа (с различными видами функций).

Пример

а) Решить уравнение .

б) Найти корни, принадлежащие промежутку .

Необходимо все привести к одинаковому основанию и выполнить сокращение.

Так как основания одинаковые, приравняем показатели степеней:

Решим квадратное уравнение

;

Ответ: ; .

Пример

Решить уравнение .

Найдем область допустимых значений. Мы знаем, что подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля: .

Преобразуем сумму логарифмов: .

Так как основания логарифмов одинаковые, можем приравнять подлогарифмические выражения.

Выполним замену: .

,  надо проверить, чтобы .

Сделаем обратную замену:

Ответ: , .

Пример

Решить уравнение .

Учтем область допустимых значений. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно 1, а подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля.

Представим единицу как .

Приравняем подлогарифмические выражения.

;

Проверка:

: ,  – не подходит

: ,  – подходит

: ,  – не подходит

: ,  – не подходит

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Поскольку слева и справа две разные функции, пробуем метод «минимакса»: оценим, какие значения принимает правая и левая части уравнения.

Мы видим, что равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны .

Подставим полученное значение в уравнение .

Рассмотрим три случая:

1) : .

Поскольку  должен быть равен , то этот корень не подходит.

:  .

Равенство выполняется. Значит, корень уравнения подходит.

:  , равенство не выполняется.

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Выполним замену:

Решаем квадратное уравнение и выполняем обратную замену:

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Найдем область допустимых значений: так как  стоит в знаменателе, то .

Представим данное выражение в виде степени: .

Приравняем показатели степени.

; 

;

Проверим область допустимых значений:

Рассмотрим вторую серию решений. Вы можете убедиться, что ни при каких значениях ,  не будет лежать в области допустимых значений.

Ответ: .

Сложные уравнения

Рассмотрим решение различных более сложных уравнений.

Пример

Решить уравнение .

Используем основное тригонометрическое тождество:

: 

- решения нет , так как квадрат не может быть отрицательным

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Распишем косинус разности:

Распишем  как синус двойного угла:

либо 

;

Ответ: ; .

Пример

Дана функция  при каких значениях  функция в данной точке  равна .

Учтем область допустимых значений: .

Ответ: ; .

Пример

Решить уравнение .

Используем формулу сокращенного умножения, а именно: формулу разности квадратов.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Приравняем правые части уравнения. Получим: .

Ответ: ; .

Пример

Решить уравнение .

Используем формулу разности косинусов

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ: ; .

Системы уравнений

Рассмотрим решение систем различных уравнений.

Пример

Решить систему уравнений .

Решим эти системы.

Система 1: решений нет, так как синус принимает значения .

Система 2: для решения используем тригонометрическую окружность.

Система 3: .

Ответ: ; ; .

Пример

Решить систему

Сделаем замену.

;

Сделаем обратную замену:

Ответ: .

Пример

Решить систему уравнений .

Сделаем замену: .

Решим квадратное уравнение:

;

Выполним обратную замену:

:

:

:  – решений нет

:

Ответ: ; .

Пример

Решить систему уравнений .

Сделаем замену:

 – решений нет, так как показательная функция не может быть отрицательной.

Сделаем обратную замену:

:

:

Ответ: ; .

Пример

Решить систему уравнений .

1. : .

Решаем систему методом подстановки:

2. :

Пример

Решить систему уравнений .

,

;  – не подходит

:  

Определим область допустимых значений:

Ответ: ; .

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение сложных уравнений и их систем. На следующем уроке мы рассмотрим решение сложных задач по стереометрии.

На этом наш урок окончен! Спасибо за внимание!

Ссылки на уроки интернетурока по рассмотренным темам

1. Тригонометрические уравнения, вычисления

2. Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения

3. Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения

4. Показательные уравнения

5. Понятие логарифма

6. Функция y=logax, ее свойства и график. Решение задач

7. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного

8. Свойства логарифмов. Логарифм степени

9. Логарифмические уравнения

10. Решение логарифмических уравнений

11. Решение логарифмических уравнений (продолжение)

12. Общие методы решения уравнений

13. Метод разложения на множители

14. Метод введения новой переменной

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.