09. Повторение. Решение сложных задач по стереометрии

Углы между прямыми и плоскостями

На этом уроке мы рассмотрим решение сложных задач по стереометрии. Начнём с решения различных задач на нахождение углов между прямыми и плоскостями.

Пример

Сторона правильной треугольной призмы  равна . Высота призмы равна . Найдите угол между прямыми  и .

Проведем через точку  прямую .

. Следовательно, – искомый угол.

, так как это призма.

Прямая  лежит в одной плоскости с , следовательно, эти прямые параллельны. .

Значит, четырехугольник  – это параллелограмм. Следовательно, . Аналогично и с равенством этих сторон: (так как это параллелограмм),  (так как это призма). Следовательно, , значит, четырехугольник  – это параллелограмм. Так как сторона правильной треугольной призмы равна , то . А значит, четырехугольник  является ромбом.

Так как призма  правильная, то ребро , следовательно, .

Следовательно,  по двум сторонам и углу между ними. Отсюда .

Из треугольника , по теореме Пифагора, найдем : .

Запишем теорему косинусов для треугольника  и выразим из нее искомый угол: .

Ответ: . 

Пример

На ребре  куба  отмечена точка  так, что . Найдите угол между прямыми  и .

Проведем прямую  – искомый.

Пусть длина стороны куба .

Из , по теореме Пифагора, выразим : .

 – диагональ куба.

Из , по теореме Пифагора, .

Найдем  из по теореме косинусов: .

Ответ: . 

Пример

В прямоугольном параллелепипеде , у которого , , . Найдите тангенс угла между плоскостью  и прямой , проходящей через середины ребер  и .

Плоскость , следовательно, угол между  и  равен искомому.

Напомним, что угол между прямой и плоскостью  – угол между  и .

– искомый.

Так как  – это середина ребра , то .

Найдем , по теореме Пифагора, из прямоугольного : .

Найдем из прямоугольного : .

Ответ: .

Пример

В правильной треугольной пирамиде  с основанием  известны ребра  и . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер  и .

 – равносторонний, следовательно,  – медиана, высота, биссектриса.

 – высота пирамиды .

Опустим перпендикуляр  –  (искомый угол).

,  – середина .  – средняя линия  – середина .

Найдем  из , по теореме Пифагора, .

По теореме Пифагора, из :

.

( – равносторонний, – радиус вписанной окружности)

Тогда .

Из : .

Ответ: .

Пример

В кубе  найдите косинус угла между плоскостями  и .

Угол между плоскостями – угол между перпендикулярами к линии пересечения плоскостей:  (диагонали квадратов)  – перпендикуляр к  , а также высота, медиана, биссектриса , так как  – середина .

Из точки  восстановим перпендикуляр к стороне  в : ,  – середина , значит,  – средняя линия в треугольнике – середина  (то есть  – центр куба).

Пусть длина ребра равна :  – равносторонний, сторона в этом треугольнике равна диагонали квадрата и равна .

– центр куба .

 запишем теорему косинусов: .

Ответ: .

Пример

В правильной треугольной пирамиде  с основанием  точка  – середина ребра , точка  – середина ребра . Найдите угол между плоскостями  и , если , .

В этой задаче необходимо найти угол между плоскостями, то есть угол между перпендикулярами к линии пересечения этих плоскостей.

Через проведем плоскость .

 искомый угол равен углу между  и .

 – середина ; опустим ( – равносторонний  – высота, медиана, биссектриса ). Но  (так как  – равнобедренный), значит,  – искомый.

: .

Рассмотрим  ( - основание апофемы грани ).

- середина (по условию), соответственно, .

, ,следовательно, – середина .

Поскольку  – это центр треугольника в основании, то , следовательно, .

Запишем теорему косинусов для :  .

Ответ: .

Расстояние от точки до прямой и плоскости, между прямой и плоскостью

Рассмотрим решение задач на нахождение расстояния от точки до прямой и плоскости, между прямой и плоскостью.

Пример

В кубе  все ребра равны . Найдите расстояние от точки  до прямой .

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Расстояние от  до  – это высота .

 – как диагональ квадрата.

– как диагональ куба.

 – прямоугольный ().

Рассмотрим . Площадь прямоугольного треугольника находится как полупроизведение катетов, с другой стороны, площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту.

Ответ: .

Пример

В основании прямой треугольной призмы  лежит равнобедренный прямоугольный треугольник  с гипотенузой , равной ; высота призмы равна . Найдите расстояние от точки  до плоскости , где  – середина ребра .

Проведем .

 – середина  – средняя линия.

(, )

Тогда если , а также .

Искомое расстояние – .

 – равнобедренный .

Рассмотрим . По теореме Пифагора, .

Выразим площадь данного треугольника через полупроизведение катетов и полупроизведение основания на высоту: .

Выразим : .

Ответ: .

Пример

В тетраэдре , все рёбра которого равны 1, найдите расстояние от точки до прямой, проходящей через точку  и середину ребра .

Искомое расстояние – высота .

,  - равносторонние, следовательно, как высоты равносторонних треугольников, .

Рассмотрим  – это равнобедренный треугольник.

Из треугольника , по теореме Пифагора, .

Выразим площадь равнобедренного треугольника : .

Ответ: .

Пример

Отрезок  – диаметр основания конуса, отрезок – образующая этого конуса и . Хорда основания  составляет с прямой  угол . Через проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой . Найдите расстояние от центра основания конуса  до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

Опустим перпендикуляр  к плоскости .

 – равнобедренный  лежит на высоте .

То есть,  – высота в .

Найдем  из .

 – равносторонний (), как медиана, биссектриса и высота в правильном треугольнике.

Из , по теореме Пифагора, найдем : .

Рассмотрим . По теореме Пифагора, .

Выразим площадь данного треугольника через полупроизведение катетов и полупроизведение основания на высоту: .

Ответ: .

Пример

Дана правильная треугольная призма , все рёбра основания которой равны . Сечение, проходящее через боковое ребро  и середину  ребра , является квадратом. Найдите расстояние между прямыми  и .

Пусть сечение  – квадрат, его диагонали перпендикулярны: , по теореме о трех перпендикулярах, , значит, расстояние от  до  – это длина  – перпендикуляр из точки – пересечения диагоналей квадрата , опущенный на .

Сторона  равна высоте , .

В равнобедренном : ,  .

.

Ответ: .

Площади сечений и объёмы тел

Рассмотрим решение различных задач на нахождение площадей сечений и объёмов тел.

Пример

В прямоугольном параллелепипеде  известны рёбра , , . Точка  принадлежит ребру  и делит его в отношении  считая от вершины . Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки ,  и .

Проведем  в плоскости  ().

 – параллелограмм, необходимо найти его площадь.

Из прямоугольного треугольника , по теореме Пифагора, .

Из прямоугольного треугольника , по теореме Пифагора, .

Так как стороны равны, то  – ромб.

Диагональ  – диагональ параллелепипеда .

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора, .

Найдем площадь ромба: .

Ответ: .

Пример

В правильной треугольной пирамиде  с основанием  угол  равен . На ребре  взята точка  так, что  – биссектриса угла . Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки ,  и , равна  .Найдите сторону основания.

Площадь сечения равна: .

Так как пирамида правильная, .

В : .

Так как является биссектрисой , то .

Аналогично .

 – равносторонний треугольник, следовательно, его площадь равна .

Выразим отсюда : .

Ответ: 10.

Пример

Точка  – середина ребра  куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 2.

Мы получили, что точки  и  принадлежат как плоскости , так и плоскости сечения. Мы знаем, что плоскости могут пересекаться только по одной прямой, значит,  является прямой пересечения двух плоскостей.

Пусть .

 – искомое сечение.

 – середина .

,  является средней линией в треугольнике .

 (диагональ квадрата).

 – средняя линия в , следовательно, она равна половине основания.

Так как ( по двум сторонам и углу между ними), то  – равнобокая трапеция.

По теореме Пифагора, .

Трапеция равнобедренная, значит, .

Найдем площадь трапеции: .

Ответ: .

Пример

Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость , параллельная плоскости , касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью .

Сечение шара любой плоскостью – круг.

Плоскость  пересекают шары по концентрическим (с общим центром) окружностям.

Аналогично с : .

Запишем теорему Пифагора для :  .

По теореме Пифагора из : .

По теореме Пифагора : .

Решим систему из трех уравнений и найдем : .

Найдем площадь сечения: .

Ответ: 13.

Пример

Радиус основания конуса с вершиной  равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки  и , делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как . Найдите площадь сечения конуса плоскостью .

. Значит, угол  как центральный угол, который опирается на эту дугу. Следовательно,  – равнобедренный и прямоугольный .

Найдем площадь сечения: .

Ответ: .

Пример

Правильные треугольники  и  лежат в перпендикулярных плоскостях,  .Точка  – середина , а точка  делит отрезок  так, что . Вычислите объём пирамиды .

, следовательно, – высота пирамиды  и . Найдем высоту правильного треугольника: .

Найдем площадь треугольника: .

Найдем объем пирамиды: .

Ответ: .

Цилиндр, конус, шар. Различные задачи

Рассмотрим решение различных задач, в которых встречаются конус, цилиндр и шар.

Пример

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера (касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Центр сферы лежит на высоте пирамиды .

 – радиус сферы.

 – перпендикуляр к грани , также радиус сферы.

Так как  – равнобедренный, то  – высота, биссектриса, медиана.

По теореме Пифагора, из : .

Так как  – правильный шестиугольник, то  – равносторонний .

По теореме Пифагора, из : .

: .

Пусть  – радиус вписанной сферы.

Найдем площадь сферы: .

Ответ: .

Пример

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

В , по теореме Пифагора, находим : .

 – высота .

Опустим перпендикуляр . Рассмотрим треугольники и .

 как радиусы основания,  – общая сторона. Так как , то , следовательно, , точка  равноудалена от вершин  и , значит, она лежит на высоте  этого равнобедренного треугольника.

По теореме Пифагора, из : .

По теореме Пифагора, из : .

Выразим площадь треугольника как полупроизведение основания на высоту, и как полупроизведение катетов: .

Выразим отсюда : .

Ответ: .

Пример

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера (касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Аналогично предыдущей задаче  – радиус сферы.

В треугольнике  , значит,  – высота, биссектриса, медиана.

Рассмотрим : , по теореме Пифагора: .

Так как по условию мы имеем правильную четырехугольную пирамиды, то в основании ее лежит квадрат. Значит, .

.

В : .

По теореме Пифагора находим : .

В : .

Мы нашли радиус вписанной сферы.

Теперь можем найти ее площадь.

Ответ: .

Пример

В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

а) Осевое сечение комбинации этих тел – окружность, вписанная в треугольник.

б) Найдем отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Площадь поверхности шара: .

Площадь полной поверхности конуса: .

Пусть ; . Тогда, по теореме Пифагора, для : .

Тогда, по теореме Пифагора, для : .

Следовательно, образующая конуса . Найдем площадь полной поверхности конуса: .

Найдем отношение полной поверхности конуса к площади поверхности шара: 

Ответ: .

Многогранники. Разные задачи

Рассмотрим решение различных задач, в которых встречаются многогранники

Пример

Дан куб  с ребром, равным 4. Пусть точка  лежит на стороне  так, что . Найдите расстояние от точки  до плоскости , где  – середина .

Введем декартову систему координат. Точки будут иметь следующие координаты:

Общий вид уравнения плоскости, которая проходит через точки ,  и :  .

Подставим координаты точек, которые лежат в этой плоскости в уравнение плоскости. Получим систему уравнений: .

Расстояние от точки  до плоскости .

Подставим известные значения и получим: .

Ответ: .

Пример

В правильной треугольной пирамиде  с вершиной  на сторонах  и  выбраны точки  и  так, что треугольник  подобен треугольнику  с коэффициентом подобия . На прямой  выбрана точка  так, что . Найти расстояние от точки  до плоскости , если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна .

Пусть  – центр основания пирамиды,  – её апофема,  – высота основания,  – середина . В соответствии с условием задачи  лежит на отрезке .

Вычислим некоторые параметры пирамиды: – это высота в равностороннем треугольнике: .

По теореме Пифагора, .

Найдем площадь треугольника : .

Поскольку все треугольники с основанием  и вершиной, принадлежащей прямой , будут равновелики, .

Найдем объем пирамиды: .

Если искомое расстояние равно , то .

Ответ: .

Пример

Основанием четырехугольной пирамиды  является квадрат , а высота пирамиды совпадает с ребром . Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3, а сторона квадрата  равна 15.

Пусть .

Объем пирамиды расчитывается по формуле: .

С другой стороны, объем пирамиды можно вычислить по формуле: , где  – полная поверхность пирамиды,  – радиус шара, вписанного в пирамиду. В нашем случае , поскольку .

Найдем : .

 как два равных прямоугольных треугольника (по двум катетам:  – общий катет,  как стороны одного и того же квадрата).

Докажем, что  – прямоугольный.

 – наклонная к плоскости ,  – проекция наклонной .

, как стороны квадрата. По теореме о трех перпендикулярах .

Аналогично доказывается, что  тоже прямоугольный. Значит, .

По теореме Пифагора, .

Подставляем данные в формулу объема: .

Поскольку  то .

 (не подходит по смыслу задачи), .

Ответ: 8.

Пример

В правильной треугольной пирамиде  с основанием  известны ребра , . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер  и .

Поскольку пирамида правильная, в основании лежит правильный треугольник.  – высота в правильном треугольнике.

Как радиусы описанной окружности .

По теореме Пифагора, находим : .

 – это средняя линия в треугольнике , она равна половине основания: .

Нам нужно найти угол между прямой  и плоскостью основания . Поскольку – это перпендикуляр на плоскость , то искомый угол – это .

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение сложных задач по стереометрии.

На следующем уроке мы рассмотрим решение сложных неравенств и их систем. На этом наш урок окончен! Спасибо за внимание!

Ссылки на уроки интернетурока по рассмотренным темам:

1) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/reshenie-zadach-s-pomoschyu-koordinatnogo-metoda

2) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/uravnenie-ploskosti

3) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/vychislenie-uglov-mezhdu-pryamymi-i-ploskostyami

4) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/sfera-i-shar

5) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/vzaimnoe-polozhenie-sfery-i-ploskosti

6) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ploschad-sfery

7) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/povtorenie/rasstoyanie-mezhdu-tochkami

8) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/povtorenie/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoy

9) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/povtorenie/rasstoyanie-ot-tochki-do-ploskosti

10) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/povtorenie/ugol-mezhdu-skreschivayuschimisya-pryamymi

11) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/povtorenie/ob-emy-tel-ob-em-piramidy-i-ob-em-prizmy

12) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/povtorenie/kombinatsii-geometricheskih-figur-zadachi-na-sferu-vpisannuyu-v-treugolnuyu-piramidu

13) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/povtorenie/dva-metoda-dlya-skreschivayuschihsya-pryamyh

14) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/povtorenie/koordinaty-reshenie-bolee-slozhnyh-zadach

15) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/povtorenie/vychislenie-elementov-mnogogrannika-prizmy

Список литературы:

1. Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008 г.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 - 2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003..

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011г.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион» 2008.