01. Повторение. Решение текстовых задач

Задачи на вычисление

На этом уроке мы начнем повторять весь пройденный материал и решать различные типовые задачи из ЕГЭ по типам. Начнем с решения текстовых задач. В частности, с решения различных несложных задач на вычисление и на проценты. При решении подобных задач важно внимательно прочесть условие и определить, что именно нужно найти, используя данные в условии.

Пример

По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 16 руб. Если на счету осталось меньше 16 руб., то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 300 руб. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

Решение

Значит, Лиза сможет оплатить 18 дней, и останется 12 рублей, этого не хватит, чтобы оплатить еще один день.

Ответ: 18 дней.

Пример

Диагональ экрана телевизора равна 64 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Решение

Значит, . Округлим результат до целого числа сантиметров: .

Ответ: .

Пример

В доме, в котором живет Маша, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Маша живет в квартире №130. В каком подъезде живет Маша?

Решение

Узнаем, сколько квартир в одном подъезде: 9 этажей по 4 квартиры.

Маша живет в квартире с номером 130: .

Значит, Маша живет в 4 подъезде.

Пример

Поезд Новосибирск – Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

Решение

В день отправления поезд едет с 15:20 до 24:00: .

На следующий день поезд едет с 00:00 до 04:20: .

Всего поезд находится в пути: .

Ответ: .

Пример

Среди 40 000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

Решение

Из 40000 жителей 60% не интересуются футболом, значит, интересуются футболом: .

Найдем их количество: .

Из болельщиков 80% смотрело финал: .

Ответ: .

Пример

В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Решение

Цена винограда в октябре: 

Цена винограда в ноябре: 

Ответ: 90 рублей.

Пример

Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

Решение

Найдем массу активного вещества в 1 таблетке: .

Найдем массу активного вещества, которую следует дать ребенку: .

Необходимо дать 7 мг активного вещества, а в одной таблетке 1 мг, значит, необходимо дать таблеток.

Ответ: 7 таблеток.

Рассмотрим теперь решение задач на проценты, сплавы и смеси.

Пример

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Решение

Пусть ежегодно цена товара уменьшается на . Тогда цена через 1 год:

Цена через 2 года:

Ответ: .

Пример

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение

Анализ условия:

Ответ: .

Выбор варианта из нескольких возможных

Рассмотрим примеры решения задач на выбор варианта из возможных. При решении таких задач главное – не бояться большого и громоздкого условия, а внимательно прочитать его и отбросить лишнюю информацию, оставив только то, что непосредственно необходимо для решения.

Пример

В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВт\\ч электроэнергии в месяц, а в ночное время – 185 кВт\\ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВт\\ч. Год назад А. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,40 руб. за кВт\\ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВт\\ч. В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.

Решение

Узнаем, сколько заплатит гражданин А за 1 месяц в обоих случаях:

1 в:

2 в:

Значит, за месяц заплатил бы больше на . За 12 месяцев: .

Ответ: .

Пример

Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Мб в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Мб?

Решение

Трафик: 600 Мб в месяц.

По первому тарифному плану: .

По второму тарифному плану: .

По третьему тарифному плану: Так как : .

Самый дешевый: план «800» – .

Ответ: .

Пример

Из пункта в пункт ведут три дороги. Через пункт едет грузовик со средней скоростью 35 км/ч, через пункт едет автобус со средней скоростью 30 км/ч. Третья дорога – без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 40 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам, выраженное в километрах.

Все три автомобиля одновременно выехали из . Какой автомобиль добрался до позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

Решение

Грузовик: ; .

Автобус: ; .

Легковой автомобиль: ; .

Ответ: .

Пример

Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок. Либо скидку 25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своем регионе, либо скидку 5% на звонки в другие регионы, либо 15% на услуги мобильного интернета. Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 300 рублей на звонки абонентам других компаний в своем регионе, 200 рублей на звонки в другие регионы и 400 рублей на мобильный Интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Какую скидку выбрал клиент? В ответ запишите, сколько рублей составит эта скидка.

Решение

При выборе первой скидки: .

При выборе второй скидки: .

При выборе третьей скидки: .

Ответ: .

Пример

Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

В прейскуранте приведены цены на четыре дивана. Определите, продажа какого дивана наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого дивана.

Решение

1) Альфа, диван «Коала»: 15000 руб < 20000 руб, значит,

.

2) Альфа, диван «Неваляшка»: 28000 руб > 20000 руб, значит,

.

1) Бета, диван «Винни-Пух»: 17000 руб, значит, .

1) Омикрон, диван «Обломов»: 23000 руб, значит, .

Ответ: .

Пример

Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги новостных сайтов на основе показателей информативности , оперативности  и объективности  публикаций. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от −2 до 2. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле: .

В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Определите наивысший рейтинг новостных сайтов, представленных в таблице. Запишите его в ответ, округлив до целого числа.

Решение

1) 

2) 

3) 

4)

Наивысший рейтинг: .

Задачи на движение

Рассмотрим примеры решения задач из ЕГЭ на движение. Для решения этих задач достаточно знать определение скорости при равномерном движении: , уметь выражать из нее , , а также помнить, что при движении по воде к скорости судна добавляется , а при движении против – вычитается. Далее необходимо просто переписывать условие задачи в виде математической модели.

Пример

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города в город , расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найдите скорость велосипедиста на пути из в . Ответ дайте в км/ч.

Решение

Анализ и построение модели.

ОДЗ:

Ответ: .

Пример

Расстояние между городами  и равно 470 км. Из города в город  выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города  выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города . Ответ дайте в км/ч.

Решение

Анализ и построение модели.

Ответ: .

Пример

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Анализ и построение модели.

Ответ: .

Пример

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Анализ и построение модели.

Ответ: .

Пример

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Решение

Анализ и построение модели.

Ответ: .

Задачи на совместную работу

Рассмотрим решение задач на совместную работу. При решении таких задач важно помнить, что они ничем не отличаются от задач на движение: нужно переписать условие в виде математической модели.

Пример

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Решение

Анализ и построение модели.

ОДЗ:

Ответ: 11 литров.

Пример

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй – за 30 минут, а третий – за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение

Анализ и построение модели.

, ,

, ,

Ответ: .

Пример

Плиточник должен уложить плитки. Если он будет укладывать на в день больше, чем должен, то закончит работу на два дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день должен укладывать плиточник?

Решение

Анализ и построение модели.

ОДЗ:

Ответ: .

Задачи на прогрессии

Рассмотрим решение задач на прогрессии. При решении задач важно помнить формулы для арифметической и геометрической прогрессий.

А также определять по задаче, что она относится к прогрессиям и к какой именно. Если периодически величина изменяется на одно и то же число – арифметическая. В одно и то же – геометрическая.

Пример

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение

Ответ: .

Пример

Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

На

Решение

Ответ: .

Пример

Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год начиная с 2002 года она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и начиная с 2004 года ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение текстовых задач из ЕГЭ. На следующем уроке мы будем решать задачи на работу с графиками и диаграммами, а также по теории вероятностей и комбинаторике.