04. Повторение. Решение уравнений. Задачи, сводящиеся к решению уравнений и неравенств

Степенные, рациональные и иррациональные уравнения

1. Линейные уравнения .

Пример

Решение

Пример

2. Квадратные уравнения .

:

:

: действительных корней нет.

Пример

Решение

Пример

1 способ:

2 способ:

3. Кубические уравнения

Пример

Замена:

4. Рациональные уравнения

С помощью преобразований необходимо свести к виду: .

Пример

Решение

Пример

Решение

Пример

Решение

1 способ:

2 способ:

Общее из двух уравнений: .

5. Иррациональные уравнения

, в конце проверка.

, в конце проверка.

Пример

Проверка:  – верно.

Пример

Решение

Проверка:  – верно.

Пример

Решение

;

Проверка

:  – верно.

:  – верно.

Пример

Решение

 (по определению корня)

Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения

1. Показательные уравнения: .

Основная идея – привести обе части к степени с одинаковым снованием.

Основные методы: разложение на множители оснований.

Свойства степени:

Пример

Решение

Пример

Решение

Пример

Решение

Пример

Решение

Одинаковые показатели

Пример

Решение

2. Логарифмические уравнения:

+ проверка

+ определение логарифма

Пример

Решение

Пример

Решение

Пример

Решение

Пример

Решение

, (не подходит)

Пример

Решение

Пример

Решение

,

Пример

Решение

Пример

Решение

3. Тригонометрические уравнения

Пример

Решение

Сделаем замену: .

,

,

,

Пример

Решение

,

,

,

…-5; -1; 3; …

Пример

Решение

Можно по-другому: , .

Задачи на степенные, рациональные и иррациональные уравнения и неравенства

Рассмотрим решение различных задач, сводящихся к решению уравнения или неравенства. Главное – не бояться страшных формулировок.

Задача

При температуре  рельс имеет длину . При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где  – коэффициент теплового расширения,  – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Удлинится на 3 мм: .

Получаем: .

Ответ: .

Задача

Некоторая компания продает свою продукцию по цене  руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют  руб., постоянные расходы предприятия  руб. месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите наименьший месячный объем производства  (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.

______________

По условию:

Задача

Зависимость объема спроса  (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены  (тыс. руб.) задаются формулой . Выручка предприятия за месяц   (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену , при которой месячная выручка  составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

 тыс.

-------------

 тыс.

Задача

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону , где  – высота в метрах,  – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?

Дано:

Решение

То есть мяч будет находиться на высоте c по : .

Задача

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону , где  – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,  – начальная высота столба воды,  – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а  – ускорение свободного падения (считайте ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

Дано:

Решение

;  – вода вытекает, поэтому после того, как , формула теряет смысл.

Задача

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием . Расстояние  от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние  от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Дано:

Решение

Задача

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна , где  – ЭДС источника (в вольтах),  ом – его внутреннее сопротивление,  – сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более  от силы тока короткого замыкания ? (ответ выразите в омах).

Дано:

 от

Решение

, невозможно или .

Ответ: .

Задача

При движении ракеты ее видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где – длина покоящейся ракеты, – скорость света, а  – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Дано:

Решение

Т.к.

Задача

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте  километров над землей, до наблюдаемой им линии горизонта, вычисляется по формуле , где (км) – радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.

Дано:

Решение

Задачи на показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства

Рассмотрим решение задач, сводящихся к решению показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств. 

1. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон , где  – давление в газе в паскалях,  – объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него ) из начального состояния, в котором , газ начинают сжимать. Какой наибольший объем  может занимать газ при давлениях  не ниже ? Ответ выразите в кубических метрах.

Дано:

Решение

:

2. Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением . Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе . После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения (кВ) за время, определяемое выражением  (с), где  – постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее ?

Дано:

Решение

Ответ: .

3. Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды . Проходя по трубе расстояние  (м), вода охлаждается до температуры , причем  (м), где  – теплоемкость воды,  – коэффициент теплообмена, а  – постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?

Дано:

Решение

Ответ: .

4. Мяч бросили под углом  к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле . При каком наименьшем значении угла  (в градусах) время полета будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью ? Считайте, что ускорение свободного падения .

Дано:

Решение

5. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где  – время в секундах, амплитуда , частота , фаза . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Дано:

Решение

6. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону  (см/с), где  – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Дано:

Решение

Разные задачи

Рассмотрим решение различных задач, которые сводятся к решению уравнений и неравенств.

1. Рейтинг  интернет-магазина вычисляется по формуле: , где  – средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1),  – оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и  – число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Бета», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно , их средняя оценка равна , а оценка экспертов равна .

Дано:

Решение:

2. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности , оперативности , объективности публикаций , а также качества сайта . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций – вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид: .

Каким должно быть число , чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

Дано:

Решение

3. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности , оперативности , объективности публикаций , а также качества сайта . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от -2 до 2.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций – впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид: .

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число , при котором это условие будет выполняться.

Дано:

Решение

Заключение

На этом уроке мы повторили решение уравнений и задач, которые сводятся к решению уравнений и неравенств.

На следующем уроке повторяем решение задач по планиметрии.

На этом наш урок окончен! Спасибо за внимание!