01. Повторение. Решение текстовых задач
42 мин
02. Повторение. Работа с графиками и диаграммами. Теория вероятностей, комбинаторика
1 ч 0 мин
03. Повторение. Преобразование и вычисление значений выражений
1 ч 19 мин
04. Повторение. Решение уравнений. Задачи, сводящиеся к решению уравнений и неравенств
1 ч 5 мин
05. Повторение. Решение задач по планиметрии
1 ч 0 мин
06. Повторение. Производная и первообразная
1 ч 7 мин
07. Повторение. Решение простых задач по стереометрии
1 ч 0 мин
08. Повторение. Решение сложных уравнений и систем
1 ч 41 мин
09. Повторение. Решение сложных задач по стереометрии
48 мин
10. Повторение. Решение сложных неравенств и их систем
1 ч 26 мин
11. Повторение. Решение сложных задач по планиметрии
53 мин
12. Повторение. Решение сложных практических задач
1 ч 14 мин
13. Повторение. Решение заданий с параметром
32 мин
14. Повторение. Решение различных задач
48 мин
15. Закрепление пройденного материала. Решение варианта ЕГЭ
46 мин
05. Повторение. Решение задач по планиметрии
Видео доступно после авторизации
Треугольники
На этом урок мы рассмотрим различные задачи по планиметрии. Начнем с прямоугольных треугольников.
Теорема Пифагора: .
;
;
; ;
; ;
Пример
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
(сумма углов треугольника равна ).
– медиана (свойство прямоугольного треугольника) равнобедренный .
,
Пример
В треугольнике угол равен , . Найдите .
Дано
,
Решение
– острый
Пример
В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Решение
Найдём по теореме Пифагора:
Пример
В треугольнике угол равен , синус внешнего угла при вершине равен . Найдите .
Решение
, но и – смежные.
- острый
Пример
В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Решение
Пример
В треугольнике угол равен , – высота, , . Найдите .
Решение
Из (т.к. )
Пример
Электрику ростом метра нужно поменять лампочку, закреплённую на стене дома на высоте . Для этого у него есть лестница длиной метра. На каком наибольшем расстоянии от стены должен быть установлен нижний конец лестницы, чтобы с последней ступеньки электрик дотянулся до лампочки? Ответ запишите в метрах.
Решение
Найдем искомое расстояние по теореме Пифагора: .
Рассмотрим теперь задачи с равнобедренным треугольником.
, , – высота, биссектриса, медиана.
Пример
В треугольнике , – высота, . Найдите .
Решение
,
- равнобедренный
Пример
В тупоугольном треугольнике , высота равна , . Найдите .
Решение
- равнобедренный - тупой.
Пример
В треугольнике , . Найдите высоту .
Дано
Решение
, - острый
По теореме Пифагора, .
Пример
В треугольнике , . Синус внешнего угла при вершине равен . Найдите .
Решение
(свойство равнобедренного треугольника)
Пример
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение
,
Пример
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен . Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Решение
По теореме синусов, .
Найдем по теореме косинусов: .
Пример
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение
Рассмотрим различные задачи, связанные с треугольниками.
Нам понадобятся теорема синусов: , теорема косинусов: , свойство средней линии: , .
Пример
Точки , , − середины сторон треугольника . Периметр треугольника равен 5. Найти периметр треугольника .
Дано
.
Решение
По свойствам средних линий, ; ; .
Пример
Найдите тангенс угла .
Решение
Теорема косинусов: , , .
Можно было заметить, что .
Пример
Найдите биссектрису треугольника , проведенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны 1.
Решение
- биссектриса, высота, медиана.
Многоугольники
Рассмотрим решение задач, связанных с четырехугольниками и другими многоугольниками. Начнем с параллелограммов.
;
;
;
Пример
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
Решение
;
– также равнобедренный .
- равнобедренный .
Пример
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
Решение
(накрест лежащие) равнобедренный
Перейдём теперь к ромбам.
и – биссектрисы углов
Пример
Диагонали ромба относятся как . Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.
Дано
Решение
;
Диагонали ромба перпендикулярны .
Найдем из .
Пример
Сторона ромба равна 1, острый угол равен . Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
Решение
– радиус, проведённый в точку касания.
– радиус, проведённый в точку касания.
, , так как , то - прямая, соединяющая точку и .
Из треугольника : .
Теперь перейдём к прямоугольникам. Вспомним основные свойства прямоугольников.
, .
Пример
Периметр прямоугольника равен 42, а площадь равна 98. Найдите большую сторону прямоугольника.
Дано
;
Решение
Составим систему: .
, , ,
Большая сторона: 14.
Пример
Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.
Дано
,
Решение
По теореме Пифагора, .
, , ,
Пример
Середины сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, последовательно соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.
Решение
Напомним, что середины сторон четырёхугольника образуют параллелограмм (теорема Вариньона). Напомним идею доказательства: , - средняя линия , - средняя линия , - параллелограмм .
Но в прямоугольнике .
Значит, – ромб. При этом сторона ромба: .
.
Теперь перейдём к квадратам.
Пример
Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.
Решение
Теперь рассмотрим трапецию.
– средняя линия: , .
Равнобедренная: , ; .
Прямоугольная:
Пример
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.
Решение
Выполним дополнительные построения.
,
– параллелограмм .
- равнобедренный прямоугольный треугольник .
Но средняя линия .
Пример
Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .
Решение
– сторона клетки
Пример
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение
Раз трапеция вписана, то она равнобедренная .
Пример
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту этого столба, если наименьшая высота перил относительно земли равна , а наибольшая равна . Ответ дайте в метрах.
Решение
– средняя линия трапеции, поэтому .
Рассмотрим задачи на произвольные многоугольники
Пример
Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение
Как мы уже говорили, это параллелограмм, стороны которого равны половинам диагоналей.
Пример
Периметры двух подобных многоугольников относятся как . Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.
Решение
Пример
Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Решение
- равносторонний .
Площадь многоугольников
Рассмотрим решение задач на вычисление площадей многоугольников. Напомним:
Пример
На клетчатой бумаге с клетками размером изображен треугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение
Построим квадрат.
Пример
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты , , .
Решение
Пример
Площадь треугольника равна . – средняя линия этого треугольника, параллельная стороне . Найдите площадь трапеции .
Решение
:
Пример
На клетчатой бумаге с клетками размером изображена трапеция (см. рис.). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Решение
, ,
Пример
Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26. А ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.
Решение
Пример
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах
Основная идея решения – разбить данную на фигуры площади, которые мы умеем считать. Или достроить до такой фигуры.
Окружность, круг и их элементы
,
,
Пример
Найдите площадь круга, длина окружности которого равна .
Решение
Пример
Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.
Решение
, ,
Пример
Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны и .
Решение
:
Пример
Касательные и к окружности образуют угол , равный . Найдите величину меньшей дуги , стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Решение
Пример
Угол равен . Градусная величина дуги окружности, не содержащей точек и , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение
,
Пример
Угол между хордой и касательной к окружности равен . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой . Ответ дайте в градусах.
Решение
- равнобедренный:
Пример
Колесо имеет пять спиц. Найдите величину угла в градусах, который образуют две соседние спицы.
Решение
Углы между соседними спицами – одинаковые. Величина угла .
Векторы и координаты
Рассмотрим решение задач с векторами и координаты. Напомним: .
- правило параллелограмма
- правило треугольника.
Пример
Стороны правильного треугольника равны 3.
Найти:
а)
б)
в)
Решение
а)
б)
в)
Пример
Найдите угол между векторами и . Ответ дайте в градусах.
Решение
,
,
Пример
а) Найдите расстояние от точки с координатами до начала координат.
б) Найдите абсциссу точки, симметричной точке относительно оси .
в) Найдите абсциссу точки, симметричной точке относительно начала координат.
г) Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки и .
Решение
а)
б)
в)
г)
Пример
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами и .
Решение
1 способ:
,
, ,
2 cпособ:
,
Пример
Прямая проходит через точки с координатами и . Прямая проходит через точку с координатами и параллельна прямой . Найдите абсциссу точки пересечения прямой с осью .
Решение
1 способ: подобие треугольников.
2 способ:
Так как , то .
Пример
Точки , , и являются вершинами параллелограмма.
а) Найдите ординату точки .
б) Найдите ординату точки пересечения его диагоналей.
Решение
а)
Аналогично .
б) Ордината точки пересечения его диагоналей.
– середина ; .
Пример
а) Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением , с осью .
б) Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями и .
Решение
а) : .
б)
;
Пример
Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке , чтобы она касалась оси ординат?
Решение
Окружность касается радиус в точке касания это .
Заключение
На этом уроке рассмотрели задачи по планиметрии. На следующем уроке будем решать задачи на производную и интеграл.
Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:
"