13. Повторение. Решение заданий с параметром

Уравнения с параметрами. Часть 1

Пример

Найдите все значения параметра , при которых уравнение  имеет 4 решения.

Решение

Для исходного уравнения найдем решения, используя теорему Виета:

.

Каждое из уравнений совокупности может иметь не более двух корней.

Для того чтобы исходное уравнение имело четыре корня, каждое из уравнений совокупности должно иметь по два корня, при этом уравнения не должны совпадать. Используя свойство суммы двух взаимно обратных чисел, получаем, что четыре корня исходное уравнение будет иметь при

.

Ответ: .

Пример

Определите, при каких значениях параметра  уравнение  имеет два решения.

Решение

Пусть , тогда , . Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение  должно иметь единственное решение.

Если , то уравнение не имеет решений.

Если , то уравнение имеет единственное решение (см. рис.).

Если , уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая  касается графика функции  (см. рис.), что задаётся системой соотношений:

.

Заметим, что найденное значение параметра действительно положительно.

Ответ: , .

Пример

Найти все значения , при каждом из которых функция  имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение

Раскроем модуль: .

График функции при  представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной с абсциссой . При  график представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной с абсциссой . Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях параметра.

Из рисунка видно, что единственная точка максимума имеет место при . Причём она является таковой тогда и только тогда, когда .

Ответ: .

Пример

Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции  больше, чем .

Решение

1. При  функция имеет вид: .

А её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При  функция имеет вид: .

А ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии .

2. Если  принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках  и . Если , то еще и в точке.

3. Наименьшее значение функции  больше  тогда и только тогда, когда либо , либо .

Решим первую систему: .

Решим вторую систему: .

Ответ: .

Уравнения с параметрами. Часть 2

Пример

Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение  не имеет действительных решений.

Решение

Пусть .

Тогда , и уравнение принимает вид .

Синус – нечётная функция, поэтому . Рассмотрим функцию . Тогда уравнение принимает вид . Эта функция определена при всех , и её производная  положительна при всех . Следовательно, функция  монотонно возрастает на всей числовой прямой. Тогда уравнение  равносильно уравнению .

Сделаем обратную замену:

.

Уравнение не имеет действительных решений, если его дискриминант отрицателен: , откуда .

Ответ: .

Пример

Найти все значения параметра , при каждом из которых среди значений функции  есть ровно одно целое число.

Решение

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Уравнение  при любом  имеет решение . Значит, при любом  одно из значений функции равно 1.

Поскольку функция непрерывна, множество её значений образует промежуток, включающий число 1. Других целых значений функции нет, если для всех :

.

Чтобы неравенства выполнялись для всех , дискриминанты обоих трёхчленов должны быть отрицательны: .

Таким образом, подходящие значения параметра .

Ответ: .

Пример

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

Решение

Заметим, что левая часть заданного уравнения имеет смысл только при .

Пусть . Тогда задача будет переформулирована так: найти все значения a, при которых уравнение  имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку .

Заметим также, что уравнение 1 имеет вид: .

Поскольку это так, то заменим его более простым уравнением , доказав равносильность уравнений 1 и 2, на  и , где  – множество разрешенных значений  в уравнении 1,  – множество разрешенных значений  в уравнении 2. .

Если уравнение 2 имеет решение , то будет выполнено равенство . Тогда уравнение 1 обратится в равенство . Следовательно, любое решение уравнения 2 также является решением уравнения 1.

Для полноты наших суждений докажем еще одно утверждение: если некоторое число  отличное от , таково, что , , и не является решением уравнения 2, то оно также не будет являться решением уравнения 1.

Такое возможно лишь в двух случаях: либо при , либо при .

Пусть . Тогда ; аналогично если , то . Значит, число  при  корнем уравнения 1 не является.

Из сказанного следует, что множество корней уравнений 1 и 2 полностью совпадают, т.е. уравнения 1 и 2 являются равносильными.

Следовательно, мы вправе еще раз переформулировать задачу: найдите все значения параметра , при которых уравнение  имеет хотя бы одно решение на промежутке .

Рассмотрим смешанную систему:

.

Ясно, что параметр , будучи непрерывной функцией от , достигает наименьшего значения при . А наибольшее его значение равно нулю. Параметр принимает все значения из промежутка , где .

Замечания

1. Здесь доказательство того, что уравнения 1 и 2 равносильны, является обязательным, так как уравнения  и , вообще говоря, не обязаны быть равносильными.

2. Покажем сказанное в п. 1 на конкретном примере. Предположим, что произведена аналогичная замена уравнения на уравнение .

Числа  и  являются корнями уравнения , тогда как эти числа корнями уравнения  не являются. А этого достаточно, для того чтобы считать названные два уравнения неравносильными.

Ответ: .

Неравенства с параметрами. Часть 1

Пример

Найдите все значения , при каждом из которых решения неравенства  образуют отрезок длины 1.

Решение

Перенесем единицу: .

Построим схематично графики функций  и .

На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при  или .

Решения образуют отрезок длины 1, если .

Решения образуют отрезок длины 1, если . Откуда .

Ответ: ; .

Пример

Найдите все значения , для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел  и , удовлетворяющих неравенству .

Решение

Рассмотрим две функции:  и .

Функция  является кусочно-линейной, причём при  угловой коэффициент равен либо , либо , а при  угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция  убывает при  и возрастает при , поэтому .

Поскольку , получаем: .

Если , то , поэтому неравенство  не имеет решений.

Если , то пара чисел ,  удовлетворяет неравенству .

Получаем: .

Ответ: .

Пример

Найдите все значения , при каждом из которых неравенство  выполняется для всех .

Решение

Рассмотрим функцию .

Эта функция возрастает на промежутке  и убывает па промежутке .

Исходное неравенство имеет вид , значит, график функции  на отрезке  должен находиться в пределах горизонтальной полосы: .

Отрезок  не должен лежать на участке монотонности функции , иначе приращение  на отрезке длины 5 будет не меньше 25, поэтому ее график не поместится в полосе ширины 20, следовательно, , откуда .

Наибольшее значение функции  на отрезке  достигается либо при , либо при .

Наименьшее значение функции  на отрезке  достигается при . Получаем систему:

.

Откуда .

Ответ: .

Пример

Найдите все значения , удовлетворяющие неравенству  хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку .

Решение

Будем рассматривать заданное неравенство как неравенство с двумя переменными. Преобразуем его левую часть:

Исследуем заданное неравенство для всех .

Решим противоположную задачу: найдем значения , при которых неравенство (*) не будет иметь ни одного решения, как только будет выполнено условие .

Введем функцию . Этот квадратный трехчлен относительно  будет неположительным, если одновременно будут выполняться условия:  и .

Теперь решим систему неравенств:

.

Второе неравенство решим методом интервалов и одновременно полученное решение пересечем с решением первого неравенства.

Получим результат: ; .

Проведенные исследования приводят нас к выводу: значения , удовлетворяющие условию  хотя бы при одном значении , принадлежащем отрезку , есть элементы множества .

Ответ: .

Неравенства с параметрами. Часть 2

Пример

Найдите все значения , при каждом из которых неравенство  выполняется при любом допустимом значении .

Решение

При любом допустимом значении будем иметь:

.

Последняя система неравенств выполнима при всех  лишь в двух случаях.

1) Дискриминант квадратного трехчлена неположителен:

2) Дискриминант квадратного трехчлена положителен, но оба корня квадратного трехчлена удовлетворяют условию . Однако это невозможно, так как , а корни квадратного трехчлена симметричны относительно .

А это значит, что меньший корень будет левее , т.е. . Таким образом, .

Замечание

Здесь  – абсцисса вершины параболы – графика квадратичной функции .

Ответ: .

Пример

При каких значениях параметра  неравенство  верно при любом .

Решение

Преобразуем заданное неравенство так:

.

Заметим, что  при любых значениях  и .

Если , то из неравенства  будем иметь: ; заданное неравенство для всех  не выполняется. Таким образом, искомые значения параметра , если они есть, могут быть только строго положительными.

Далее применим метод неопределенных коэффициентов. Представим левую часть заданного неравенства в виде произведения двух квадратных трехчленов.

Итак, имеем: .

Поскольку , .

Из первого уравнения последней системы имеем: .

Тогда третье уравнение примет вид: .

Но тогда .

Таким образом, .

Очевидно, неравенство будет выполнено при всех значениях , если одновременно будут выполнены два условия: дискриминанты каждого квадратного трехчлена, что в левой части последнего неравенства, будут неположительными.

Решим систему неравенств:

.

Замечание

Преобразование левой части неравенства в произведение двух квадратных трехчленов возможно иначе.

Прибавим к левой части неравенства и вычтем выражение .

Далее будем иметь:

Ответ: .

Пример

Найти все значения параметра , для которых неравенство  имеет хотя бы одно решение.

Решение

Введем новую переменную. Пусть . Тогда заданное неравенство будет иметь вид: .

Последнее неравенство не имеет ни одного решения в следующих трех случаях:

1) Дискриминант квадратного трехчлена () отрицателен.

2) , .

3) , оба корня квадратного трехчлена отрицательны (свободный член и второй коэффициент положительны).

Во всех остальных случаях исходное неравенство будет иметь хотя бы одно решение.

Рассмотрим каждый из перечисленных случаев.

1) ;

2)

3)

Таким образом, исходное неравенство не имеет ни единого решения при . А это значит, что при всех значениях  будет иметь хотя бы одно решение.

Замечание

При рассмотрении третьего случая можно использовать и расположение корней квадратного трехчлена. Здесь случай, когда оба корня меньше данного числа , , т.е. число 0 лежит правее большего корня.

; ;

Однако в этом особой надобности нет, поскольку нас интересуют лишь знаки корней квадратного трехчлена . Поэтому нам достаточно использовать следствие из теоремы Виета.

Ответ: .

Системы уравнений и неравенств с параметрами

Пример

Найти все значения , при каждом из которых система  не имеет решений.

Решение

Рассмотрим второе неравенство системы: . Если , то неравенство, а значит, и система не имеет решений. Если , то решение неравенства – луч . Если , то решение неравенства – луч .

При  первое неравенство системы принимает вид:

.

Если , то решение этой системы – два луча с концами в точках . Если , то решение этой системы – полуинтервал с концами в точках . Отметим, что точки  нет в множестве решений второго неравенства. Для того чтобы система не имела решений при , необходимо и достаточно:

.

Таким образом, при  исходная система неравенств не имеет решений.

Ответ: .

Пример

При каких значениях параметров  и  система  имеет бесконечно много решений?

Решение

На координатной плоскости  множество точек , удовлетворяющих любому из уравнений системы, – прямые. Тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная система будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. В общем случае две прямые, заданные уравнениями  и , совпадают, если,  и  (при  они имеют одну точку пересечения, при  и  точек пересечения у них нет). Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система , где  и .

Решая систему, получаем , .

Пример

При каких значениях  системы уравнений  и  равносильны?

Решение

При  ни одна из систем не имеет решений, и, следовательно, они равносильны. При  второе уравнение, общее для обеих систем, имеет единственное решение , , удовлетворяющее и первым уравнениям обеих систем. Поэтому системы равносильны и при .

При  второе уравнение задается окружностью радиуса  с центром в начале координат. Уравнение  равносильно бесконечной совокупности уравнений , .

Системы равносильны тогда и только тогда, когда окружность, определяемая вторым уравнением, имеет общие точки только с прямой , соответствующей  в первой системе. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее радиус был меньше, чем расстояние от начала координат до прямой , т.е. чем число .

Итак, , или . Добавляя полученные ранее значения , получаем ответ.

Ответ: .

Заключение

Итак, на этом уроке мы решали задания с параметрами. На следующем уроке будем решать различные сложные задания из ЕГЭ.

Ссылки на уроки ИнтернетУрока по рассмотренным темам:

1. Квадратные уравнения с параметром (Алгебра, 8 класс, раздел \"Неравенства\")

2. Квадратичная функция в задачах с параметром (Алгебра, 11 класс, раздел \"Уравнения и неравенства системы уравнений и неравенств\")

3. Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры (Алгебра, 11 класс, раздел \"Уравнения и неравенства системы уравнений и неравенств\")

4. Урок 16. Решение уравнений и неравенств с параметрами. Практика (Алгебра, 11 класс, раздел \"Задачи из ЭГЕ\")

5. Урок 16. Решение уравнений и неравенств с параметрами. Теория (Алгебра, 11 класс, раздел \"Задачи из ЭГЕ\")

6. Квадратичная функция в задачах с параметром (Алгебра, 11 класс, раздел \"Уравнения и неравенства системы уравнений и неравенств\")