36. Практика по планиметрии (основной урок)

Треугольники

На этом уроке мы займемся решением различных задач по планиметрии. Наша цель научиться не только решать задачи, но и определять, как именно подойти к решению той или иной задачи (научиться анализировать условие).

Пример

Высота  треугольника  делит сторону  на отрезки  и : , . Найти площадь треугольника , если угол .

Решение

Рассмотрим треугольник : он прямоугольный, . Отсюда следует, что .

По теореме Пифагора, . Мы ищем .

Можно и по-другому. В треугольнике : .

Пример

Высота равнобедренного треугольника делит его боковую сторону на отрезки длиной 1 см и 12 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание треугольника.

Решение

.

- равнобедренный .

- прямоугольный; , .

: .

Пример

Две стороны треугольника, угол между которыми равен , относятся как , а третья сторона равна 21 см. Найти неизвестные стороны.

Решение

Две стороны относятся , пусть одна составляет , вторая . Есть информация про три стороны и угол.

По теореме косинусов, , , , и .

Пример

В треугольник  вписан ромб  так, как показано на рисунке. Найти сторону ромба, если , .

Решение

Заметим, что  (свойство параллелограма) .

Если сторона ромба , то .

.

Пример

Стороны треугольника равны 6 см, 25 см и 29 см. Найти радуис вписанной в треугольник окружности.

Решение

Формула, в которой встречается радиус вписанной окружности: .

По формуле Герона, .

.

Пример

Точка  – середина  в треугольнике ,  – середина . Площадь  равна . Чему равна площадь треугольника ?

Решение

 – средняя линия , .

, причем .

Пусть . Тогда

.

.

Четырёхугольники

Пример

Найти высоту равнобокой трапеции, основание которой равны 9 и 19 см, а боковая сторона – 13 см.

Решение

, .

- прямоугольный: .

Полезный факт: в равнобедренной трапеции ,  - средняя линия.

Пример

Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, делит её на отрезки 3 см и 12 см. Найти площадь ромба.

Решение

.

Вспомним свойство высоты в прямоугольном треугольнике  ( - свойство ромба): . Тогда .

.

Пример

Большая диагональ ромба равна , а тупой угол – . Найти периметр ромба.

Решение

По свойству ромба, , .

.

.

Пример

Биссектриса угла  прямоугольника  пересекает  в точке , , . Найти площадь прямоугольника.

Решение

- равнобедренный .

.

Полезный факт

В трапеции (параллелограмме) биссектриса угла отсекает равнобедренный треугольник: - накрест лежащие,  по свойству биссектрисы  треугольник-равнобедренный.

Пример

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке

Решение

Проведем высоту . Что мы знаем:  – прямоугольный .

- прямоугольный и равнобедренный .

Пример

Боковая сторона равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна , а один из углов – . Найти площадь трапеции.

Решение

,

Трапеция – описанная .

.

Надо найти .

- прямоугольный .

.

Окружность и круг

Пример

Чему равен угол  четырёхугольника , вписанного в окружность, если , .

Решение

Можно использовать свойства вписанных углов.

(опираются на одну дугу): .

В треугольнике : .

Пример

Общая хорда двух окружностей, которые пересекаются, является стороной правильного треугольника, вписаного в одну из окружностей, и квадрата, вписаного во вторую окружность. Длина этой хорды равна . Найти расстояния между центрами окружностей, если они лежат по разные стороны от хорды.

Решение

- радиус вписанной окружности.

.

.

Пример

Две окружности, радиусы которых равны 11 см и 9 см, касаются внешним образом. Найдите расстояние между точками касаниями этих окружностей с их общей касательной.

Решение

 – радиусы в точке касания.

- прямоугольная трапеция.

- на одной прямой .

.

- прямоугольник .

Пример

В угол, равный , вписаны две окружности, которые касаются внешним образом. Найти радиус большей, если радиус меньшей равен 6 см.

Решение

Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе.

: .

Аналогично : .

С другой стороны, .

Решение различных задач

Пример

Стороны параллелограмма равны 12 см и 20 см, а угол между его высотами, проведенный из вершины тупого, – . Найдите площадь параллелограмма.

Решение

, , , - прямоугольный; .

.

Полезный факт: в параллелограмме угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла равен острому углу.

Пример

Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них равна , образует с данной прямой угол . Найдите длину второй наклонной, если длина ее проекции на прямую равна 9 см.

Решение

Обратим внимание, что неважно: по одну сторону от перпендикуляра или по разные.

- прямоугольный, равнобедренный .

- прямоугольный: .

Пример

Отрезок  – биссектриса треугольника , ,, отрезок  на 3 см больше отрезка . Найти .

Решение

Свойство биссектрисы: .

; .

.

Пример

Как относится сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного треугольника, описного вокруг этой окружности.

Решение

- вписанный в окружность .

- описанный вокруг окружности .

Окружность одна и та же .

Пример

Основания трапеции равны 16 см и 10 см. Чему равно расстояние между серединами её диагоналей?

Решение

Продлим  до пересечения с боковыми сторонами.

; .

,

,

,

,

,

.

Решение более сложных задач

Пример

В треугольнике  отрезок  () делит медиану  в отношении , считая от вершины . В каком отношении  делит сторону ?

Решение

, .

Проведем через точку  прямую, параллельную .

Теорема Фалеса: , .

Теорема Фалеса: .

Значит, .

Пример

Стороны треугольника равны 11 см, 12 см, 13 см. Найти медиану, проведенную к большей стороне треугольника.

Решение

Достроим до параллелограмма .

,

,

Полезный факт:

,

,

.

.

Пример

В треугольнике  биссектрисы  и  пересекаются в точке ,  Докажите, что .

Решение

Проанализируем задачу с конца. Пусть мы доказали, что .

В таком случае четырехугольник  будет вписанным.

Попробуем доказать, что  вписанный другим способом – по определению.

,

- вписанный четырехугольник .ч.т.д.

Пример

Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её основания.

Решение

Пусть . Так как трапеция описанная, то .

.

- прямоугольный: ; .

.

ч.т.д

Заключение

На этом уроке мы решали различные задачи по планиметрии. На следующем уроке мы повторим всю тему и будем решать различные задачи их ЕГЭ по планиметрии.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

2. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/reshenie-treugolnikov-prodolzhenie-2

3. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/povtorenie/chetyryohugolniki-2

4. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/povtorenie-teorii-i-reshenie-zadach

5. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/ploschadi-chetyryohugolnikov

6. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/vpisannye-i-opisannye-okruzhnosti-2

7. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/okruzhnost-3

8. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/okruzhnost-4

9. http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/drobnye-chisla/okruzhnost-i-krug-volfson-g-i