19. Промежуточный срез №3. Повторение (основной урок)

Показательные уравнения и неравенства

На этом уроке мы повторим уже изученный материал, а также разберём более сложные задания по изученным темам. Если у вас ещё оставались какие-то вопросы по пройденному материалу, то после этого урока они должны исчезнуть. Рассмотрим задания, в которых необходимо решить показательное уравнение.

Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку : .

Попробуйте решить уравнение самостоятельно. Если у вас получился ответ , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то внимательно изучите решение этого уравнения.

Для решения этого задания будем использовать свойства степени.

Замена: .

;

Обратная замена:

1 – не принадлежит промежутку , а , принадлежит, так как .

Ответ: .

Теперь рассмотрим пример решения системы показательных уравнений.

Решить систему: .

Попробуйте решить систему показательных уравнений самостоятельно. Если у вас получился ответ , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то внимательно изучите решение этого задания.

Для решения этого задания будем использовать свойства степени: .

Замена: .

Решим систему методом подстановки.

Обратная замена: .

Ответ: (4;1).

Рассмотрим задание, в котором необходимо решить систему показательных неравенств.

Решить систему: .

Попробуйте решить систему показательных неравенств самостоятельно. Если у вас получился ответ , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то внимательно изучите решение данного задания.

Для решения этого задания будем использовать метод интервалов для решения неравенств.

Сначала решим каждое неравенство отдельно.

1) 

Переменная содержится только в повторяющемся выражении , поэтому заменим его на : 

Получили дробно-рациональное неравенство, которое мы можем решить методом интервалов.

ОДЗ: .

Нули: .

Отмечаем на числовой оси нули и ОДЗ, а затем расставляем знаки на полученных интервалах (все точки выколоты, так как неравенство строгое).

Теперь выполним обратную замену.

Основание степени больше 1, знак неравенства сохраняется.

2)

Так как основание степени больше 1, то знак неравенства сохраняется.

Нули: ; .

В ответ выбираем общую часть решения: .

Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• свойства степени,

• основные методы решения показательных уравнений и неравенств.

Уметь

• решать простейшие показательные уравнения и неравенства.

Повторение. Логарифмы

Рассмотрим задания, в которых необходимо решить логарифмическое уравнение.

Найдите корни уравнения: .

Попробуйте решить уравнение самостоятельно. Если у вас получился ответ , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то внимательно изучите решение этого уравнения.

Для решения этого задания будем использовать свойства логарифмов: .

Представим  и вынесем степень: .

Замена: .

;

Обратная замена:

Теперь выполним проверку.

:

 – верно

:

 – верно

Ответ: ; .

Рассмотрим решение систем логарифмических уравнений.

Решите систему: .

Попробуйте решить систему самостоятельно. Если у вас получился ответ ; , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то внимательно изучите решение этого задания.

Для решения этого задания будем использовать свойства логарифмов.

Ответ: ; .

Рассмотрим задания, в которых необходимо решить систему логарифмических неравенств.

Решить систему: .

Попробуйте решить уравнение самостоятельно. Если у вас получился ответ «решений нет», то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то внимательно изучите решение этого задания.

Для решения этого задания будем использовать свойства логарифмов.

Решим каждое неравенство отдельно: .

ОДЗ: .

ОДЗ: .

Нули: .

Основание меньше 1, поэтому знак неравенства меняется: 

Основание больше 1, поэтому знак неравенства не меняется:

С учетом ОДЗ: 

ОДЗ:

Замена: .

;

С учетом ОДЗ: .

В ответ выбираем общее.

Ответ: решений нет.

Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• определение и свойства логарифма,

• основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Уметь

• решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства.

Повторение. Тригонометрия

Рассмотрим задания на преобразования выражений, содержащих тригонометрические функции.

Упростить выражение .

Попробуйте упростить выражение самостоятельно. Если у вас получился ответ 1, то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то внимательно изучите решение этого задания.

Для решения этого задания будем использовать периодичность тригонометрических функций.

Воспользуемся периодичностью тангенса и вычтем некоторое количество периодов из аргументов тангенсов.

Т.к. , то функция меняется на кофункцию, т.е. на котангенс, и угол  попадает во II четверть, в которой у исходного тангенса знак отрицательный.

По тем же причинам, что и в предыдущем выражении, функция меняется на кофункцию, т.е. на котангенс, а угол  попадает в I четверть, в которой у исходного тангенса знак положительный.

Подставим все в упрощаемое выражение: .

Ответ. 1.

Упростите выражение , если .

Попробуйте упростить выражение самостоятельно. Если у вас получился ответ , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то внимательно изучите решение этого задания.

Для решения этого задания будем использовать:

• формулы для тангенса и котангенса через синус и косинус,

• формулы для двойных углов.

Распишем тангенс и котангенс через синус и косинус.

Так как , ; .

, поэтому .

Рассмотрим решение тригонометрических уравнений.

Решить уравнение .

Попробуйте решить уравнение самостоятельно. Если у вас получился ответ решений нет, то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то внимательно изучите решение этого задания.

Для решения этого задания будем использовать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Как видим, одно семейство корней исключает другое точно такое же по виду семейство не удовлетворяющих уравнению корней. Т.е. корней нет.

Ответ. корней нет.

Рассмотрим решение тригонометрических неравенств.

Решить неравенство .

Попробуйте решить неравенство самостоятельно. Если у вас получился ответ , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то внимательно изучите решение этого задания.

Для решения этого задания будем использовать метод интервалов для решения неравенств.

Решить неравенство .

Т.к. в неравенстве переменная присутствует только в повторяющемся выражении , выполним замену : .

Решим это квадратичное неравенство, разложив его на множители. Для этого решим квадратное уравнение:

.

Нанесем нули множителей на числовую ось и решим неравенство методом интервалов.

Выполним обратную подстановку и получим двойное неравенство: .

Правое неравенство решать не нужно, т.к. синус, исходя из своей области значений, и так всегда меньше единицы, а значит, и двойки. Остается одно простейшее неравенство .

Ответ: .

Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• определение и свойства тригонометрических функций,

• таблицу значений тригонометрических функций для основных углов,

• основные тригонометрические формулы.

Уметь

• решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства,

• работать с тригонометрической окружностью.

Решение сложных показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Рассмотрим примеры решения более сложных показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Решите уравнение . Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку .

Преобразуем уравнение: .

Получили однородное уравнение. Выполним замену: .

Замена: .

;

Обратная замена:

Оценим значение полученных корней , поэтому , .

Значит, промежутку  принадлежит только корень .

Решите неравенство .

Найдем ОДЗ: .

Квадрат , значит, решение данного неравенства .

Упростим неравенство: .

Перейдем к основанию 3: .

Знаменатель первой дроби распишем в сумму логарифмов, а в знаменателе второй дроби вынесем степень: .

Переменная входит в неравенство только в повторяющемся выражении , поэтому выполним замену .

Решим данное дробно-рациональное неравенство методом интервалов.ОДЗ: . Нули: .

Отмечаем нули и ОДЗ на числовой оси и определяем знаки на каждом интервале (для этого берем точку из каждого интервала и подставляем в выражение ).

Выполним обратную замену: .

Основание логарифма больше 1, значит, знак неравенства сохраняется.

Выбираем часть решения, которая входит в ОДЗ ():

.

Решите неравенство .

Выполним замену : .

Найдем ОДЗ: .

Преобразуем неравенство: .

ОДЗ: .

Нули: ; .

Обратная замена: .

Левая часть неравенства выполнена всегда.

Ответ: .

Решите неравенство .

Найдем ОДЗ: .

ОДЗ: .

Преобразуем неравенство.

Рассмотрим отдельно случай, когда .

:  

С учетом ОДЗ (): .

Решите неравенство .

Преобразуем данное неравенство: .

Выполним замену: .

Найдем ОДЗ: .

Теперь упростим основание второго логарифма  и вынесем степень за логарифм.

Теперь основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством логарифмов:.

Решим неравенство методом интервалов. ОДЗ мы уже нашли. Найдем нули: 

Выполняем обратную замену: .

;

Решите систему неравенств .

Решим каждое неравенство отдельно: .

ОДЗ: .

Преобразуем неравенство .

Весь промежуток входит в ОДЗ: .

ОДЗ: .

Преобразуем неравенство .

Входит в ОДЗ. Найдем теперь пересечение решений.

Ответ: .

Решение сложных тригонометрических уравнений и неравенств

Рассмотрим решение некоторых более сложных тригонометрических уравнений и неравенств.

Решите уравнение . Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Найдем ОДЗ: .

,

Промежутку  принадлежат .

Решите уравнение .

Когда , уравнение не имеет решений, так как модуль – неотрицательное число. Когда , данное уравнение эквивалентно системе: .

Выполним замену .

,

,

Решите уравнение .

Найдем ОДЗ: .

,

,

Решите уравнение . Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Выполним замену: .

ОДЗ: .

Обратная замена: .

Промежутку  принадлежат корни:

; ;

Решите уравнение . Найдите все корни, принадлежащие промежутку .

ОДЗ: , его можно отдельно не учитывать, так как мы решаем уравнение: .

Промежутку принадлежат корни:

; ;

Заключение

На этом уроке мы повторили и обобщили изученные ранее темы.

На следующем уроке мы начнём изучение новой темы «Функции, их свойства и графики. Производная и интеграл».