26. Промежуточный срез №4. Повторение

Область значений функции

В этом уроке мы рассмотрим более сложные задания по пройденным темам.

Пример

Найдите область значений функции .

Решение

Область значений – это все значения, которые принимает . Поэтому оценим значения выражения . Сначала преобразуем его.

Пропотенцируем неравенство по основанию 2.

Получаем, что .

Пример

Найдите наибольшее значение функции .

Решение

Оценим значения выражения . Сначала выделим полный квадрат в показателе степени:

.

Пропотенцируем по основанию 3: .

Наибольшее значение функции: 9.

Это задание можно решить другим способом.

Найдем производную:

.

Теперь найдем критические точки. Производная определена во всех точках; найдем точки, в которых она равна нулю.

- нет решений, так как показательная функция принимает только положительные значения , .

В точке -3 функция достигает своего наибольшего значения, найдем его: .

Пример

Найдите наибольшее значение функции .

Пример

Оценим значение выражения .

Для положительных  и  выполнено : .

Наибольшее значение функции: .

Свойства функций

Пример

При каких значениях параметра  число  является периодом функции ?

Решение

Вспомним, что период  функции  – наименьшее положительное число, для которого верно следующее равенство: . Чтобы период функции был равен :

Воспользуемся формулами приведения.

Пример

При каких значениях параметра  функция  является четной, если ?

Решение

Функция является четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и выполнено : .

Область определения данной функции , следовательно, она симметрична относительно нуля. Теперь проверим второе условие: .

Графики функций

Пример

Постройте график функции .

Решение

При  функция принимает вид: .

При  функция принимает вид: .

Пример

Постройте график функции .

Решение

Упростим выражение .

Пример

Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых  удовлетворяют уравнению .

Решение

Важно, что .

Пример

Постройте график функции .

Решение

Найдем область определения функции.

:

Теперь упростим выражение , распишем второй логарифм по основанию 2:

.

Пример

Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых  удовлетворяют неравенству: .

Решение

Выражение  не больше 15, значит, единственный случай, когда неравенство выполняется , это .

Производная

Пример

В зависимости от значения параметра  найдите стационарные точки функции.

Решение

Найдем производную функции:

.

Пример

Сколько критических точек на промежутке  имеет функция в зависимости от параметра ?

Решение

Найдем производную функции: .

Найдем критические точки.

,

При  – нет критических точек на промежутке .

При  – одна критическая точка на промежутке .

При  – две критические точки на промежутке

Пример

Найдите наименьшее значение функции  на промежутке .

Решение

Найдем ноль подмодульного выражения.

При :

При  производная неположительная, значит, функция убывает.

При  производная неотрицательная, значит, функция возрастает.

На рассматриваемом промежутке  функция убывает, значит, наименьшее значение она принимает в крайней правой точке промежутка .

При :

При  производная неположительная, значит, функция убывает.

При  производная неотрицательная, значит, функция возрастает.

На рассматриваемом промежутке  функция возрастает, значит, наименьшее значение она принимает в крайней левой точке промежутка . Получаем, что наименьшее значение функции: .

Пример

Найдите все значения параметра , при которых функция  возрастает на .

Решение

Чтобы функция возрастала на , необходимо, чтобы ее производная была положительной на .

Найдем производную: .

При  это квадратичная функция, чтобы она была положительна при всех .

Теперь проверим : .

Ответ: .

Интеграл

Пример

Вычислите интеграл .

Решение

Исследуем функцию  на четность. Область определения функции , она симметрична относительно 0: .

Функция нечетная, значит, .

Пример

Вычислите интеграл .

Решение

Рассмотрим функцию .

Нам необходимо найти площадь под графиком на отрезке от 1 до 2. Это четверть круга радиуса 1:

.

Пример

Вычислите интеграл .

Решение

Раскроем модуль, найдем ноль подмодульного выражения.

Разобьем интеграл на 2:

.

Пример

На рисунке изображен график функции , которая является первообразной функции . Определите параметры  и , найдите функцию .

Решение

Свободный коэффициент равен ординате точки пересечения с осью , значит, : . Данная функция проходит через точку .

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели более сложные задания на изученные ранее темы, а именно: функции, их свойства и графики, производная, интеграл.

На следующем уроке мы начнём изучение новой темы – «Прогрессии. Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика».

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях (Алгебра, 9 класс, раздел «Числовые функции»)

2. Урок 12. Функции и их свойства. Практика (Алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЕГЭ»)

3. Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций. Практика (Алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЕГЭ»)

4. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике (Алгебра, 10 класс, раздел «Производная»)

5. Задачи на вычисление площадей плоских фигур (Алгебра, 11 класс, раздел «Интеграл»)