01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)
58 мин
02. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа. Практика (основной урок)
1 ч 4 мин
03. Дробно-рациональные уравнения (основной урок)
36 мин
04. Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени. Практика (основной урок)
1 ч 5 мин
05. Повторение. Промежуточный срез №1. Практика
55 мин
06. Квадратные уравнения. Линейные уравнения. Практика (основной урок)
50 мин
07. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения высших степеней. Практика (основной урок)
40 мин
08. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика (основной урок)
55 мин
09. Решение текстовых задач (основной урок)
39 мин
10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)
46 мин
11. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
43 мин
12. Промежуточный срез № 2. Повторение (основной урок)
40 мин
13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
1 ч 17 мин
14. Логарифмы. Практика (основной урок)
1 ч 9 мин
15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы (основной урок)
59 мин
16. Основы тригонометрии (основной урок)
49 мин
17. Основные тригонометрические формулы (основной урок)
1 ч 7 мин
18. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства (основной урок)
1 ч 15 мин
19. Промежуточный срез №3. Повторение (основной урок)
1 ч 30 мин
20. Функции. Свойства функции (основной урок)
49 мин
21. Виды функций. Графики функций (основной урок)
1 ч 0 мин
22. Производная (основной урок)
54 мин
23. Геометрический и механический смысл производной (основной урок)
43 мин
24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)
44 мин
25. Интеграл (основной урок)
42 мин
26. Промежуточный срез №4. Повторение
42 мин
27. Последовательности. Прогрессии (основной урок)
1 ч 23 мин
28. Комбинаторика. Понятие вероятности. Математическая статистика (основной урок)
55 мин
29. Математическая статистика (основной урок)
28 мин
30. Промежуточный срез №5. Повторение
1 ч 43 мин
31. Основы планиметрии (основной урок)
55 мин
32. Треугольники, их характеристики и свойства (основной урок)
41 мин
33. Решение треугольников (основной урок)
39 мин
34. Четырехугольники (основной урок)
1 ч 15 мин
35. Окружность, круг и их элементы (основной урок)
47 мин
36. Практика по планиметрии (основной урок)
48 мин
37. Промежуточный срез № 6. Повторение
34 мин
38. Основы стереометрии
42 мин
39. Расстояние между элементами геометрических тел
34 мин
40. Углы в геометрических телах
23 мин
41. Площади поверхности и объемы геометрических тел
50 мин
42. Решение задач по стереометрии
25 мин
43. Векторы и координаты. Ч.1
35 мин
44. Векторы и координаты. Ч.2
31 мин
45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)
42 мин
30. Промежуточный срез №5. Повторение
Видео доступно после авторизации
Повторение. Преобразование выражений
Пример
Упростите выражение: .
Решение
Разложим основания степеней на множители:
Пример
Упростите выражение: .
Решение
Пример
Упростите выражение: .
Решение
Определим порядок действий: .
1)
2)
3)
Пример
Упростите выражение: .
Решение
Преобразуем подкоренные выражения:
Упростим выражение, используя следующее:
Раскроем модули.
Так как , , значит,
По определению модуля:
Пример
Упростите выражение: .
Решение
Воспользуемся определением степени с рациональным показателем:
Представим как .
Пример
Упростите выражение: .
Решение
Выполним сначала действие в скобках:
Воспользуемся формулой: .
Воспользуемся формулой: .
Воспользуемся формулой: .
Пример
Упростите выражение: .
Решение
Упростим аргументы функций:
Пример
Упростите выражение: .
Решение
Пример
Упростите выражение: .
Решение
Повторение. Решение уравнений и их систем
Пример
Решите уравнение: .
Решение
Избавимся от знаменателей, домножим обе части уравнения на 12.
Пример
Решите уравнение: .
Решение
Пример
Решите уравнение: .
Решение
ОДЗ: .
– не входит в ОДЗ
Пример
Решите уравнение: .
Решение
ОДЗ: .
Замена: .
Обратная замена:
Пример
Решите уравнение: .
Решение
Найдем нули подмодульных выражений.
Нули разбивают ОДЗ на три промежутка, раскроем модули и решим уравнение на каждом.
При :
, значит, является корнем уравнения.
При :
Решений нет.
При :
, значит, является корнем уравнения.
Пример
Решите уравнение: .
Решение
Если у данного уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного коэффициента: ; ; ; .
:
:
:
По следствию из теоремы Безу делится нацело на .
Пример
Решите уравнение: .
Решение
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Выполним проверку:
: – верно
: – верно
Пример
Решите уравнение: .
Решение
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
Выполним проверку:
: – неверно
: – верно
Пример
Решите уравнение: .
Решение
В уравнении встречается и синус, и косинус. Воспользуемся формулой :
Замена: .
.
Обратная замена: .
,
Пример
Решите уравнение: .
Решение
Замена: .
Обратная замена: .
Выполним проверку:
Пример
Решите уравнение: .
Решение
Замена: .
Случай невозможен, так как .
Пример
Решите систему уравнений: .
Решение
Пример
Решите систему уравнений: .
Решение
ОДЗ: .
Пример
Решите систему уравнений: .
Решение
Сложим и вычтем уравнения: .
Пример
Решите систему уравнений: .
Решение
Пример
Решите систему уравнений: .
Решение
ОДЗ: .
Замена:
Повторение. Решение неравенств и их систем
Решите систему неравенств: .
Решение
1)
2)
3)
Пример
Решите неравенство: .
Решение
Пример
Решите систему: .
Решение
1)
ОДЗ: .
Нули: .
2)
ОДЗ: .
,
Нули: .
Проверка: – не подходит
3)
Пример
Решите систему неравенств: .
Решение
1)
Замена: .
,
2)
ОДЗ: .
Нули: .
3)
Пример
Решите систему неравенств: .
Решение
Из первого неравенства имеем , откуда .
При этих значениях переменной: ; .
Следовательно, .
Таким образом, имеем:
Ответ: .
Повторение. Текстовые задачи
Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй – 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. На сколько килограммов масса первого раствора меньше массы второго?
Решение
1. Анализ:
2. Решение:
, :
Ответ: масса первого раствора меньше на 100 кг.
Пример
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города в город , расстояние между которыми 128 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найти скорость велосипедиста на обратном пути. Ответ дать в км/ч.
Решение
1. Анализ:
2. ; ; ;
3. ; :
;
;
.
Ответ: на обратном пути скорость велосипедиста составила 16 км/ч.
Пример
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия. Ответ дайте в км/ч.
Решение
1. Анализ:
2.
;
;
3. :
Ответ: скорость течения составляет 5 км/ч.
Пример
Первая труба пропускает на 1 литр/минуту меньше воды, чем вторая труба. Сколько л/м воды пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 л она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?
Решение
1. Анализ:
Объем первого резервуара , первая труба заполняет его со скоростью , минут; .
Объем второго резервуара , вторая труба заполняет его со скоростью , минут; .
2. ;
;
3. :
;
Ответ: первая труба пропускает 10 литров в минуту.
Повторение. Функции. Производная и интеграл
Провести полное исследование и построить график функции: .
Решение
1) Область определения функции :
2) Найдем точки пересечения графика с осями координат. Пересечение с осью :
: .
Нет решений, следовательно, график не пересекает ось .
Пересечение с осью :
:
Следовательно, график функции пересекает ось в точке с координатами .
3) Область определения функции несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция является функцией общего вида.
4) Найдем производную функции и критические точки первого рода. Имеем:
Производная равна нулю в точках: .
Производная не существует в точках: .
Критическая точка и точки разрыва ; разбивают область определения функции на четыре части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:
Следовательно, функция возрастает на промежутках и , функция убывает на промежутках и . Точка – точка максимума. Максимум функции:
.
5) Найдем вторую производную функции. Получаем:
Вторая производная равна нулю в точках:
Нулей у второй производной нет.
Вторая производная не существует в точках: .
Точки разрыва ; разбивают область определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:
Следовательно, график функции выпуклый на интервале , график функции вогнутый на интервалах и .
6) На основании проведенного исследования строим следующий график:
Пример
Найдите значение производной функции в точке .
Решение
Пример
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где – расстояние от точки отсчета в метрах, – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее ускорение (в ) в момент времени .
Решение
Пример
Найдите уравнение касательной к графику функции в точке .
Решение
Пример
Найдите промежутки возрастания и убывания функции: .
Решение
Найдем производную: .
Найдем критические точки производной.
1)
2) Производная не существует в точке .
Функция возрастает на промежутках , , функция убывает на промежутках , .
Пример
Вычислите интеграл: .
Решение
Пример
Вычислите интеграл: .
Решение
Пример
Найдите площадь, ограниченную функциями , .
Решение
,
Заключение
На этом уроке мы повторили решение различных примеров из курса алгебры. На следующем уроке мы начнём изучение геометрии.
Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:
"