37. Промежуточный срез № 6. Повторение

Треугольники

Пример

На клетчатой бумаге с клетками размером изображён треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах (рис. 1–3).

а)

Решение

Перед нами прямоугольный треугольник: .

б)

Решение

Площадь треугольника: ; , .

в)

Решение

Достроим треугольник до прямоугольника.

Пример

В  угол  равен , . На продолжении стороны  отложен отрезок . Найти  . Ответ дайте в градусах (рис. 4).

Решение

 – равнобедренный

Пример

Найти радиус окружности, описанной около правильного , считая стороны квадратных клеток равными 1 (рис. 5).

Решение

По рисунку .

В правильном треугольнике:

.

Пример

Дан  со сторонами , ,  . На стороне  взята точка , причем . Найдите площадь  (рис. 6).

Решение

:

;

Теперь находим площадь :

,

.

Треугольники. Более сложные задачи

Пример

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка , а на другой –  и , причём  – равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанного в  (рис. 7–8).

Решение

Способ 1:

;

;  

Способ 2:

;

; ;

Пример

В  вписана окружность радиуса , касающаяся стороны  в точке , причем .

а) Докажите, что  – прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон  и  в точках  и . Найдите площадь , если известно, что ;  (рис. 9–10).

Решение

а)

 (как отрезки касательных)

Значит,  – ромб.

 (радиус в точке касания)  – квадрат  

б)

;

Пусть . Запишем теорему Пифагора:

;

;

;

.

Пример

Около равнобедренного  c основанием  описана окружность. Через точку  провели прямую, параллельную стороне . Касательная к окружности, проведённая в точке , пересекает эту прямую в точке  (рис. 11).

а) Докажите, что  – равнобедренный.

б) Найдите отношение площади  к площади , если .

Решение

а) Пусть

 (накрест лежащие)

 (вписанный)

равнобедренный, ч. т. д.

б) . Пусть , . Запишем теорему косинусов:

.

Четырёхугольники

Пример

Найти площадь заштрихованных фигур

а) Квадрата (рис. 12)

Решение

Найдем  из прямоугольника:

б) Прямоугольника (рис. 13)

Решение

Пример

Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1 (рис. 14).

Решение

Пример

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в окружность (рис. 15)?

Решение

Для внутреннего квадрата:

Для внешнего:

Имеем:

Пример

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на рисунке 16 (размер клетки ).

Решение

Разобьем четырехугольник на фигуры, площади которых можем посчитать .

Пример

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найти боковую сторону (рис. 17).

Решение

По свойству равнобедренной трапеции:

:

 ( – острый)

Пример

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника (рис. 18).

Решение

Вспомним теорему Вариньона: этот четырехугольник – параллелограмм. Причем стороны – половины диагонали. Например, ср. линия

Пример

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 12. Найти радиус описанной окружности этой трапеции (рис. 19).

Решение

Проведем диагональ .

 (накрест лежащие)

 ( – равнобедренный)

; ()  – диаметр окружности .

Окружность и круг

Пример

Площадь круга равна . Чему равна длина его окружности?

Решение

;

.

Пример

Площадь сектора круга радиуса 3 равна 6. Найдите длину его дуги (рис. 20).

Решение

Составим пропорцию:

Пример

Найти площадь круга, считая, что стороны клеток равны 1 (рис. 21). В ответ запишите .

Решение

Радиус окружности, например :

Пример

Найдите хорду, на которую опирается угол , вписанный в окружность радиуса 3 (рис. 23).

Решение

Воспользуемся теоремой синусов для : (окружность для него описана):

Пример

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

А) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей (рис. 24).

Б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2 (рис. 25).

Решение

А)

, ч. т. д.

Б) Пусть .

Пример

Две окружности пересекаются в точке  и . Через точку  проведен диаметр  и  этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если ,  (рис. 26).

Решение

 (опирается на диаметр)

 (аналогично)

Следовательно, точки , ,  – лежат на одной прямой.

 – средняя линия .

Решение различных задач

Пример

На стороне  квадрата  построен равносторонний треугольник . Найдите высоту , проведенную из вершины, если известно, что сторона квадрата равна 1 (рис. 27).

Решение

,   

 равнобедренный

Пример

В прямоугольнике : , . Точка  на  выбрана так, что . Найти  (рис. 29).

Решение

Пусть .

Из прямоугольного треугольника :

Из прямоугольного треугольника :

Мы знаем, что , отсюда:

Пример

Дана трапеция  с основаниями  и , вписанная в окружность с центром . Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и  (рис. 30).

Решение

Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

 – высота.

 (свойства равнобедренной трапеции).

 (свойства вписанного угла).

Найдем :

Значит,  или , а  или .

Пример

В параллелограмм  биссектрисы углов при стороне  делает сторону  точками  и  так, что . Найти , если  (рис. 32).

Решение

Возможны 4 варианта расположения биссектрис:

Значит, второй и третий вариант нам не подходят.

Для 1 варианта:

Биссектрисы отсекают равнобедренные треугольники, значит, , тогда . Получаем, что .

Для 4 варианта:

Биссектрисы отсекают равнобедренные треугольники, значит, .

Обозначим , тогда .

Заключение

На этом уроке мы повторили тему «Планиметрия». На следующем уроке мы начнем изучать стереометрию.

Ссылки на уроки от Интернетурок по рассмотренным темам

1. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

2. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/reshenie-treugolnikov-prodolzhenie-2

3. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/povtorenie/chetyryohugolniki-2

4. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/povtorenie-teorii-i-reshenie-zadach

5. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/ploschadi-chetyryohugolnikov

6. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/vpisannye-i-opisannye-okruzhnosti-2

7. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/okruzhnost-3

8. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/okruzhnost-4

9. http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/drobnye-chisla/okruzhnost-i-krug-volfson-g-i