01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)
58 мин
02. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа. Практика (основной урок)
1 ч 4 мин
03. Дробно-рациональные уравнения (основной урок)
36 мин
04. Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени. Практика (основной урок)
1 ч 5 мин
05. Повторение. Промежуточный срез №1. Практика
55 мин
06. Квадратные уравнения. Линейные уравнения. Практика (основной урок)
50 мин
07. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения высших степеней. Практика (основной урок)
40 мин
08. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика (основной урок)
55 мин
09. Решение текстовых задач (основной урок)
39 мин
10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)
46 мин
11. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
43 мин
12. Промежуточный срез № 2. Повторение (основной урок)
40 мин
13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
1 ч 17 мин
14. Логарифмы. Практика (основной урок)
1 ч 9 мин
15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы (основной урок)
59 мин
16. Основы тригонометрии (основной урок)
49 мин
17. Основные тригонометрические формулы (основной урок)
1 ч 7 мин
18. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства (основной урок)
1 ч 15 мин
19. Промежуточный срез №3. Повторение (основной урок)
1 ч 30 мин
20. Функции. Свойства функции (основной урок)
49 мин
21. Виды функций. Графики функций (основной урок)
1 ч 0 мин
22. Производная (основной урок)
54 мин
23. Геометрический и механический смысл производной (основной урок)
43 мин
24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)
44 мин
25. Интеграл (основной урок)
42 мин
26. Промежуточный срез №4. Повторение
42 мин
27. Последовательности. Прогрессии (основной урок)
1 ч 23 мин
28. Комбинаторика. Понятие вероятности. Математическая статистика (основной урок)
55 мин
29. Математическая статистика (основной урок)
28 мин
30. Промежуточный срез №5. Повторение
1 ч 43 мин
31. Основы планиметрии (основной урок)
55 мин
32. Треугольники, их характеристики и свойства (основной урок)
41 мин
33. Решение треугольников (основной урок)
39 мин
34. Четырехугольники (основной урок)
1 ч 15 мин
35. Окружность, круг и их элементы (основной урок)
47 мин
36. Практика по планиметрии (основной урок)
48 мин
37. Промежуточный срез № 6. Повторение
34 мин
38. Основы стереометрии
42 мин
39. Расстояние между элементами геометрических тел
34 мин
40. Углы в геометрических телах
23 мин
41. Площади поверхности и объемы геометрических тел
50 мин
42. Решение задач по стереометрии
25 мин
43. Векторы и координаты. Ч.1
35 мин
44. Векторы и координаты. Ч.2
31 мин
45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)
42 мин
39. Расстояние между элементами геометрических тел
Видео доступно после авторизации
Задачи с одним телом
В этом уроке мы будем решать задачи на нахождение расстояний, длин отрезков. Решение стереометрической задачи обычно основано на методах, теоремах, свойствах плоских фигур (треугольников, параллелограммов, окружностей и пр.). Главная наша задача состоит в том, чтобы найти те плоскости, в которых работают и дают решение методы планиметрии.
Чтобы найти расстояние от точки до прямой в трехмерном случае, нужно сначала провести плоскость через прямую и точку и в этой плоскости провести перпендикуляр от точки к прямой. Расстояние от точки до прямой равно длине этого перпендикуляра. Через две параллельные прямые всегда можно провести плоскость. Расстояние между параллельными прямыми – длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым. Прямые и перпендикулярный им отрезок лежат в одной плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми или расстояние между параллельными плоскостями определяются как длина общего для них перпендикуляра.
В задачах, где требуется найти расстояние (длину некоторого отрезка) в пространстве, обычно сначала надо определить плоскости, в которой лежат нужные для вычисления точки, отрезки и пр. В этих плоскостях для вычисления расстояний используются известные методы планиметрии.
Есть два типа задач на определение расстояний. В первом рассматривается отдельное тело (пирамида, призма, конус и т.п.) и определяется длина некоторого отрезка в этом теле (ребро пирамиды, высота призмы, диагональ параллелограмма и пр.). Второй, когда расстояние нужно найти в комбинации нескольких тел. Например, найти радиус сферы, описанной вокруг многогранника, или радиус вписанного в сферу цилиндра.
Начнем с призмы. Чаще всего рассматриваются прямые призмы, т.е. такие, боковые грани которых – прямоугольники. Кроме того, в основании призмы обычно лежит правильный многоугольник. В задачах рассматриваются следующие параметры: сторона основания призмы, ее высота, диагонали призмы, диагонали граней.
Пример
Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, имеют длины 3, 4 и 12. Найдите длину диагонали этого прямоугольного параллелепипеда.
Замечание. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называются его измерениями (, , ). Каждое такое ребро имеет в прямоугольном параллелепипеде еще три равных ему: ; ; .
Рассуждение
Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда (, , , ) равны. Будем искать диагональ .
Ребро перпендикулярно плоскости основания , т.к. перпендикулярно пересекающимся в точке ребрам и , лежащим в плоскости основания. Поэтому перпендикулярно и диагонали основания – . Таким образом, треугольник – прямоугольный и его гипотенуза вычисляется по теореме Пифагора по катетам и .
В свою очередь является гипотенузой прямоугольного треугольника и определяется по катетам и .
Решение
1. По теореме Пифагора для треугольника , .
2. По теореме Пифагора для треугольника , .
3. Подставляем первое выражение во второе: .
4. .
Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Пример
В прямоугольном параллелепипеде диагональ , ребра , . Найти .
Рассуждение
В этой задаче диагональ прямоугольного параллелепипеда известна, известны два измерения параллелепипеда и . Нужно найти третье измерение – . Можно воспользоваться результатом предыдущей задачи – теоремой: в прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Решение
1. (по теореме из предыдущей задачи).
2. .
3. .
Перейдем к пирамидам.
Пример
Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6. Высота пирамиды равна 4. Найдите длину бокового ребра .
Рассуждение
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник. Правильный четырехугольник – это квадрат. Итак, в основании пирамиды лежит квадрат. Его центр находится в точке пересечения диагоналей. Если пирамида не наклонная (прямая), то в эту точку попадает и опущенная из вершины на основание высота .
Поскольку отрезок – высота, следовательно, он перпендикулярен любой прямой в плоскости основания, проходящей через точку , в частности, диагоналям. Диагонали квадрата (как параллелограмма) в точке пересечения делятся пополам.
Решение
1. .
2. Треугольник – прямой ().
3. По теореме Пифагора, .
Пример
В правильной треугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .
Рассуждение
В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник (). Центр этого треугольника – это точка пересечения высот (биссектрис, медиан) равностороннего треугольника. Точка делит каждый из этих отрезков в отношении 2:1 (). Высота равностороннего треугольника : .
Решение
1. ; .
2. ; .
3. Треугольник – прямоугольный ( перпендикулярен плоскости основания).
4. По теореме Пифагора, .
Пример
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна . Боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Найдите высоту пирамиды.
Рассуждение
Угол между боковым ребром и основанием пирамиды – это угол между ребром () и его проекцией на основание (), т.е. угол .
Плоскость, в которой лежат ребро , его проекция и высота пирамиды , закрашена синим цветом. Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник и расстояние от его центра до вершины равно высоты равностороннего треугольника .
Зная в прямоугольном треугольнике катет и угол , можно найти другой катет (высоту пирамиды) и гипотенузу (боковое ребро пирамиды).
Решение
1. Высота равностороннего треугольника : .
2. .
3. .
Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.
Знать
1. Что в отличие от задач планиметрии, где все фигуры плоские и располагаются в одной плоскости, в стереометрии рассматриваются тела, элементы которых (грани, ребра, вершины) могут располагаться в разных плоскостях.
2. Что для элементов тел, расположенных в одной плоскости, выполняются теоремы планиметрии, могут использоваться приемы и методы планиметрии.
Уметь
1. Выделять необходимые плоскости для установления нужных связей между элементами фигур.
2. Строить эти плоскости по правилам стереометрии (плоскость через две параллельные прямые, плоскость через прямую и точку, плоскость через пересекающиеся прямые и т.п.).
Понимать
Различия между правильными и неправильными геометрическими телами (призмами, пирамидами и пр.), прямыми и наклонными (призмами, цилиндрами и пр.)
Задачи с комбинацией тел
Пример
Все грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной и острым углом . Найдите высоту параллелепипеда.
Рассуждение
В задаче речь идет об одной геометрической фигуре – параллелепипеде , а мы обещали, что в ней будет комбинация фигур. Она сейчас появится после проведения дополнительных построений.
Давайте соединим точку с точками и и точки и между собой. Внутри параллелепипеда выделилась пирамида – правильный тетраэдр .
Высота параллелепипеда равна расстоянию между параллельными плоскостями оснований и .
Высота тетраэдра равна длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость основания . Так как точка лежит в плоскости , высота тетраэдра равна расстоянию между плоскостями и , т.е. высоте призмы.
Следовательно, для решения задачи достаточно найти высоту тетраэдра .
Решение
1. Поскольку – ромб с острым углом , основание тетраэдра – равносторонний треугольник (со стороной ).
2. Боковые ребра тетраэдра также равны .
3. Высоты треугольника пересекаются в центре основания () и равны .
4. Расстояние от центра треугольника до вершины , .
5. Треугольник – прямоугольный.
6. Высота тетраэдра .
Пример
Высота конуса равна , а диаметр основания . Найдите образующую конуса.
Рассуждение
Образующая конуса – это любая прямая, соединяющая его вершину с точкой окружности основания.
Высота конуса – это длина перпендикуляра из вершины к основанию. Обычно рассматриваются прямые (не наклонные) круговые конусы. В них высота проходит через центр окружности основания.
Решение
1. Расстояние от центра основания до произвольной точки на окружности – это радиус основания кругового конуса.
2. Высота конуса перпендикулярна плоскости основания и, следовательно, перпендикулярна любому радиусу.
3. В прямоугольном треугольнике, стороны которого высота (), радиус основания () и образующая конуса, образующая является гипотенузой и равна .
Пример
Конус с образующей , равной 13, вписан в цилиндр с диаметром () основания, равным 10. Найдите высоту цилиндра ().
Рассуждение
Поскольку конус вписан в цилиндр, высоты () конуса и цилиндра равны, диаметр () основания конуса равен диаметру прямого кругового цилиндра.
Решение
1. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник со сторонами: высота цилиндра и диаметр цилиндра.
2. В этот прямоугольник вписано сечение конуса той же плоскостью, т.е. равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру основания цилиндра (10), и сторонами, равными образующей конуса (13).
3. Высота цилиндра (и конуса), по теореме Пифагора, равна .
Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.
Знать
Как связаны элементы конуса.
Какой фигурой является осевое сечение цилиндра
Уметь
Сравнивать соответствующие элементы геометрических тел (высоты, радиусы оснований).
Понимать
Что окружность основания вписанного в цилиндр конуса полностью лежит на боковой поверхности цилиндра.
Описанные сферой ил цилиндром тела
Значительную сложность представляют задачи на такую комбинацию тел, когда одно из них вписано в другое.
Вписано – значит, что все вершины вписанного многогранника лежат на поверхности описанного тела. Если вписан цилиндр или конус, т.е. не многогранник, а тело вращения, то на поверхности описанного тела должны лежать окружности оснований вписанного тела.
Часто встречаются такие задачи, где сфера описывает многогранник (призму, параллелепипед, пирамиду и пр.). В этом случае каждая грань вписана в свою окружность.
Также встречаются задачи, где шар вписан в многогранник (обычно в пирамиду). В этом случае рекомендуется построить сечения через точки касания шаром граней. В этих сечениях работают методы планиметрии, например, перпендикулярность радиуса касательной в точке касания или центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе и пр.
Также встречаются комбинации многогранника и цилиндра (вписанный, описанный).
Пример
Ребра треугольной пирамиды, выходящие из вершины , попарно перпендикулярны и равны , и . Найдите радиус описанной вокруг пирамиды сферы.
Решение
Пусть – данная треугольная пирамида, причём , и , , и .
Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости , поэтому прямая перпендикулярна плоскости , т.е. – высота пирамиды (с основанием ).
Достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника . Через вершины , и проведём перпендикуляры к плоскости , а через вершину проведём плоскость, параллельную плоскости . Получим прямоугольный параллелепипед ().
1. Вокруг прямоугольного параллелепипеда очень легко описать сферу. Все четыре его диагонали имеют одинаковую длину, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
2. Половина диагонали и будет радиусом описанной окружности c центром в точке пересечения диагоналей. Действительно, все вершины прямоугольного параллелепипеда будут находиться на одном и том же расстоянии от центра, т.е. будут лежать на сфере этого радиуса.
3. В частности, на этой сфере будут лежать четыре общие для пирамиды и параллелепипеда точки , , и , поэтому эта сфера описана и около данной пирамиды .
4. Центр описанной сферы – точка пересечения диагоналей параллелепипеда, а радиус равен половине диагонали прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, (мы уже доказывали, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений).
Пример
В цилиндр вписана правильная треугольная призма, диагональ () боковой грани которой равна . Радиус () основания цилиндра равен 11. Найдите высоту призмы .
Рассуждение
Все боковые грани любой прямой призмы – прямоугольники. В нашем случае призма правильная, т.е. в основании лежит правильный многоугольник – равносторонний треугольник. Следовательно, все боковые грани равны.
Поскольку известна диагональ боковой грани, то для того чтобы найти высоту призмы (высоту прямоугольной грани), нужно знать сторону правильного треугольника в основании призмы.
Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти сторону правильного треугольника по радиусу описанной около него окружности, т.е. по радиусу основания цилиндра.
Решение
1. В прямоугольном треугольнике с меньшим углом : .
2. Сторона равностороннего треугольника : .
3. Высота призмы равна высоте прямоугольной боковой грани .
Пример
Найдите радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром .
Чертеж: – правильный тетраэдр с ребром , – центр основания , – искомый радиус описанной сферы.
Рассуждение
Поскольку – высота тетраэдра, угол между ребром и плоскостью грани – это угол (угол между ребром и его проекцией на основание). Обозначим его . В прямоугольном треугольнике известно, что , (см. задачу 5). Следовательно, .
Проведём сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро и середину противоположного ему ребра .
Получим треугольник , вершины и которого лежат на окружности радиуса с центром на высоте . Продолжим до пересечения с окружностью в точке .
1. Равнобедренный треугольник вписан в окружность радиуса .
2. По расширенной тереме синусов, (см. урок «Четырехугольники»).
3. Следовательно, .
Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.
Знать
Что основание описанной сферой призмы или пирамиды является вписанным в окружность многоугольником.
Более того, плоскость любой грани вписанного в сферу многогранника пересекается со сферой по окружности, в которую вписана соответствующая грань.
Уметь
Проводить сечения описанных сферой тел таким образом, чтобы в сечении получались вписанные в окружность плоские фигуры, необходимые для определения искомых параметров.
Находить радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности по его стороне и, наоборот, находить сторону правильного многоугольника по радиусу описанной окружности.
Понимать
Что все вершины вписанного в сферу многогранника лежат на сфере.
В случае вписанной в цилиндр призмы поверхности цилиндра могут принадлежать не только вершины, но и ребра призмы.
Если одно тело вращения описано другим телом вращения, то общие для этих тел точки могут лежать на окружностях.
Вписанные в тела шары
Пример
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна , боковая грань образует с плоскостью основания угол . Найдите радиус вписанной сферы.
На чертеже – центр основания (квадрата ), – вершина пирамиды, – ее высота; и – середины сторон и соответственно.
Рассуждение
Сфера с центром радиуса , вписанная в данную пирамиду, касается плоскости основания в точке , а плоскости боковой грани – в точке, лежащей на апофеме .
Решение
1. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью .
2. Эта плоскость пересекает вписанную сферу по окружности радиуса , вписанной в треугольник .
3. Треугольник – равносторонний, т.к. он равнобедренный и углы при основании равны .
4. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла .
5. Следовательно, угол .
6. .
7. .
Пример
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна . Боковая грань образует с плоскостью основания угол . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.
На чертеже. – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной , , – центр квадрата , и – середины отрезков и соответственно.
Поскольку и , угол – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды. По условию, .
Рассуждение
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью . Получим равнобедренный прямоугольный треугольник и вписанную в него окружность с центром на высоте . Радиус этой окружности равен радиусу сферы, вписанной в пирамиду.
Решение
1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами , и гипотенузой , определяется следующим выражением: .
2.
Различные задачи
Задача
В правильной треугольной пирамиде расстояние от вершины до точки пересечения медиан основания равно . Боковое ребро равно 17. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, лежащего в основании пирамиды.
Рассуждение
Треугольник – равносторонний. Его середина – это точка пересечения трех его высот, трех биссектрис, трех медиан. В задаче нам указано, что это точка пересечения медиан. Точка одинаково удалена от вершин треугольника . Действительно, высоты (медианы) треугольника .
Решение
1. – радиусу описанной около треугольника окружности.
2. Треугольник – прямоугольный (высота перпендикулярна плоскости основания).
3. .
Пример
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна . Боковая грань образует с плоскостью основания угол . Найдите высоту пирамиды.
Рассуждение
Поскольку (медиана в равнобедренном треугольнике является высотой) и (так как ), угол – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды. Поэтому линейный угол равен двугранному углу между боковой гранью и основанием пирамида, т.е. .
Решение
1. Итак, .
2. Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, – высота пирамиды и треугольник – прямоугольный.
3. Так как в этом прямоугольном треугольнике угол , то он является равнобедренным ().
4. Откуда .
Пример
В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите длину отрезка .
Рассуждение
В центре квадрата диагонали делятся пополам, поэтому .
находится из прямоугольного треугольника , у котором и известны.
Решение
1. .
2. .
Пример
Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды равны . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
На чертеже – данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной , , – центр правильного шестиугольника .
Решение
Поскольку пирамида правильная, – её высота, а так как по условию , то точка равноудалена от всех вершин пирамиды .
Значит, – центр сферы, описанной около пирамиды . Следовательно, радиус этой сферы равен , ее центр в центре основания пирамиды.
Заключение
На следующем уроке мы будем решать задачи на определение углов между элементами геометрических тел.
Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:
"