33. Решение треугольников (основной урок)

Теорема синусов

Мы говорили о том, что треугольник обычно задаётся тремя элементами. То есть, зная три элемента треугольника (например, два угла и сторону или три стороны), чаще всего можно однозначно найти все остальные.

Напротив большей стороны треугольника лежит больший угол. В количественной записи этот факт выражает теорема синусов: отношение длины стороны к синусу противолежащего угла в треугольнике – величина постоянная, причём она равна диаметру описанной окружности:

Геометрическая интерпретация теоремы синусов следующая: множество точек, из которых данный отрезок виден под углом  – две дуги окружности (рис. 1).

То есть пара  задаёт окружность, а так как окружность задаётся радиусом, то можно установить соответствие: .

Вернемся к теореме синусов. С её помощью можно находить недостающие углы и стороны (например, зная два угла и сторону, можно найти еще одну сторону), а также находить недостающий элемент в тройке (сторона, угол, радиус описанной окружности).

Пример

В треугольнике  угол , , .  – ?

Решение

Запишем для треугольника  теорему синусов:

Откуда .

Пример

Радиус описанной вокруг треугольника окружности равен 5. Найдите угол, лежащий напротив наибольшей стороны этого треугольника, если известно, что эта сторона равна  и центр окружности лежит во вне треугольника.

Решение

По теореме синусов . В нашем случае получаем, что:

Т. к. центр окружности лежит вовне треугольника, то треугольник тупоугольный. Наибольший угол нашего треугольника - это как раз угол , поэтому он тупой.

Ответ: .

Пример

В треугольнике  угол , , .  – ? 

Решение

Запишем для треугольника  теорему синусов:

Откуда .

Ответ: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо:

Знать

• Теорему синусов

Понимать

• С помощью теоремы синусов нельзя однозначно восстановить угол без дополнительных условий, так как: .

Теорема косинусов

Теорема синусов не позволяет найти углы треугольника, если известны три его стороны. Кроме того, она не позволяет найти элементы треугольника, если в нём не известна ни одна пара: сторона – противолежащий угол. Например, если заданы две стороны и угол между ними. В этих случаях можно использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов: .

Частный случай этой теоремы мы уже рассматривали – это теорема Пифагора. Действительно, если , то , и получается: .

Пример

Найдите сторону треугольника, лежащую напротив угла , если две другие стороны равны 6 и 10.

Решение

Обозначим неизвестную сторону .

По теореме косинусов:

Пример

В треугольнике со сторонами 13, 14 и 15. Найдите косинус большего угла и определите вид этого треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Решение

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны больший угол. Значит, больший угол лежит против стороны 15. Вычислим косинус этого угла. По теореме косинусов:

Косинус положительный, значит, больший угол треугольника острый. Заметим, что вид треугольника определяется именно по большему углу. Если больший угол треугольника тупой, то треугольник тупоугольный; прямой – прямоугольный; острый – остроугольный.

В нашем случае получаем, что больший угол треугольника острый, значит, треугольник остроугольный.

Замечание. Синус не различает острые и тупые углы, а косинус различает.

Пример

В остроугольном треугольнике ; , .  – ? 

Решение

Обозначим .

Запишем для треугольника теорему косинусов:

По условию, треугольник остроугольный.

В случае  наибольшая сторона треугольника – , и поэтому наибольший угол треугольника – это . Вычислим его косинус:

Т. е.  – тупой, и треугольник тупоугольный.

В случае  наибольшие стороны треугольника –  и , поэтому наибольший угол треугольника – это . Так как в треугольнике не может быть двух прямых или тупых углов, то треугольник остроугольный.

Ответ: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо:

Знать

• Теорему косинусов

• Теорема Пифагора – частный случай теоремы косинусов

Площадь треугольника

У любой геометрической фигуры есть важная характеристика – площадь. Площадь треугольника можно найти множеством способов – всё зависит от того, какие элементы нам известны.

1. По основанию и высоте (рис. 2):

Для прямоугольного треугольника:

Для равностороннего: , .

2. По двум сторонам и углу между ними:

Выразив из прямоугольного треугольника высоту как катет и подставив в формулу для площади из п. 1, получим: ,  . (рис. 3)

3. По трем сторонам (формула Герона)

 – полупериметр

4. Через радиус вписанной окружности:

Используя свойства отрезков касательных, проведённых из одной точки, а также формулу для площади прямоугольного треугольника (рис. 4):

5. Через радиус описанной окружности: , но по теореме синусов: .

Пример

Найти площадь треугольника (рис. 5)

Решение

Опустим высоту  из стороны  на . Она попадет на продолжение (рис. 6).

;  , поэтому по первой формуле:

Пример

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 13, 14 и 15.

Решение

Если мы знаем лишь три стороны треугольника, то наилучший способ найти его площадь – формула Герона.

В нашем случае:

;

Пример

Найдите радиус окружности вписанной в треугольник, площадь которого – 12, а периметр равен 18.

Решение

Используем следствие из формулы для площади треугольника через радиус вписанной окружности:

Пример

Найдите радиус окружности описанной вокруг треугольника со сторонами 13, 14 и 15.

Решение

По формуле №5:

Замечание. Значение площади  мы взяли из задачи № 2.

Пример

Вычислите площадь равнобедренного треугольника со сторонами  и .

Решение

Проведем высоту  из вершины треугольника к основанию. Она разделит основание на два отрезка длины . Тогда по теореме Пифагора  (рис. 7)

Пример

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной  угол при основании равен . Найдите площадь треугольника.

Решение

Учитывая, что мы знаем две стороны треугольника и можем найти угол между этими сторонами, то уместно применить вторую формулу.

Угол при вершине треугольника равен . Тогда площадь треугольника (рис. 8):

Пример

В треугольник, периметр которого равен 84, вписана окружность, точка касания которой с одной из сторон делит эти стороны на отрезки длиной 12 и 14. Найдите площадь треугольника, а также радиусы вписанной в треугольник и описанной вокруг треугольника окружности.

Решение

; ; , отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Найдем радиус вписанной окружности:

Найдем радиус описанной окружности:  (рис. 9)

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Формулы для площади треугольника

Решение равнобедренного, равностороннего и прямоугольного треугольников

Решить треугольник – означает найти все его стороны и углы (а также, возможно, другие элементы, если это оговорено в условии).

Напомним основные сведения про равнобедренный треугольник (рис. 10):

, ,  – высота, биссектриса, медиана , .

Равнобедренный треугольник () задается двумя элементами, например , .

Пример

Дано: , , ,  (рис. 11)

Найти: , , , , , , , , .

Решение

, ,  – ось симметрии.

.

 (рис. 12)

Из  и : .

Ответ: , , ,  , , , .

Комментарий. Укажем иные способы нахождения , .

По свойству биссектрисы  в , имеем ; ; ; .

Из подобия  (по ) имеем ; ; .

Или из  имеем (в нем ):

;

;

Или по формуле ; .

Пример

В равнобедренном треугольнике с основанием 8 и боковой стороной 5 найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружности (рис. 13).

Решение

Имеем , .

Значит:  ()

;

;

;

.

Ответ: 2,5

Равносторонний треугольник (рис. 14)

.

 – центр треугольника

; ; ;

Соответственно, зная сторону, можно выразить любой элемент и наоборот.

Прямоугольный треугольник (рис. 15)

1. Теорема Пифагора: .

2. ; ; ; .

3. .

4. ; ; .

Пример

Дано: ; ; . (рис. 16)

Найти: .

Решение

Имеем:

Ответ:

Пример

Высоты треугольника равны 12, 15 и 20. Доказать, что этот треугольник прямоугольный.

Доказательство

Пусть , , .

;

То есть, , ч. т. д.

Решение произвольного треугольника

Пример

В треугольнике  точка  – середина стороны , отрезок . Найти периметр треугольника , если периметр треугольника  равен 3 (рис. 17).

Решение

а)

По двум сторонам углам и .

б)

Ответ: 6.

Пример

Площадь треугольника  равна 8,  – средняя линия, параллельная стороне . Найдите площадь трапеции  (рис. 18).

Решение

;

Ответ: 6.

Пример

Доказать, что угол между высотой и биссектрисой, проведенными на одной вершине треугольника, равен полуразности двух других его углов (рис. 19).

Доказательство

Пусть . Докажем:

Имеем:

, ч. т. д.

Пример

Докажите, что величина, обратная радиусу окружности, вписанной в треугольник, есть сумма величин, обратных высотам этого треугольника, т. е. .

Доказательство

Так как , , то ч. т. д.

Пример

В треугольнике  проведена высота  и медиана . Найти угол, если, ,  (рис. 20).

Решение

;

 Ответ: .

Пример

В треугольнике две стороны равны 3 и 6. Найти третью сторону треугольника, если полусумма высот, опущенных на данные стороны, равны третьей высоте (рис. 21).

Решение

; ;

Ответ: 4.

Пример

В треугольнике  , , . Найти биссектрису .

Решение

Стандартный приём: площадь исходного треугольника равна сумме площадей треугольников, на которые биссектриса разбивает исходный.

Получаем: .

Расписываем через формулу для площади: .

Используя формулу для синуса двойного угла: , получаем: .

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели теоремы синусов, косинусов, формулы для вычисления площади треугольника, а также научились решать треугольники.

На следующем уроке мы рассмотрим четырёхугольники.

Ссылки на уроки от Интернетурок по рассмотренным темам

1. Урок «Решение треугольников» (геометрия, 9 класс, раздел «Соотношения между сторонами и углами треугольника»)

2. Урок «Решение треугольников. Продолжение 1» (геометрия, 9 класс, раздел «Соотношения между сторонами и углами треугольника»)

3. Урок «Решение треугольников. Продолжение 2» (геометрия, 9 класс, раздел «Соотношения между сторонами и углами треугольника»)

4. Урок «Решение прямоугольного треугольника. Решение задач B4» (алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЕГЭ»)

5. Урок «Теорема синусов» (геометрия, 9 класс, раздел «Соотношения между сторонами и углами треугольника»)

6. Урок «Теорема косинусов» (геометрия, 9 класс, раздел «Соотношения между сторонами и углами треугольника»)

7. Урок «Площадь треугольника» (геометрия, 8 класс, раздел «Площадь»)

8. Урок «Формула Герона для нахождения площади треугольника» (геометрия, 8 класс, раздел «Площадь»)