01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)
58 мин
02. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа. Практика (основной урок)
1 ч 4 мин
03. Дробно-рациональные уравнения (основной урок)
36 мин
04. Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени. Практика (основной урок)
1 ч 5 мин
05. Повторение. Промежуточный срез №1. Практика
55 мин
06. Квадратные уравнения. Линейные уравнения. Практика (основной урок)
50 мин
07. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения высших степеней. Практика (основной урок)
40 мин
08. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика (основной урок)
55 мин
09. Решение текстовых задач (основной урок)
39 мин
10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)
46 мин
11. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
43 мин
12. Промежуточный срез № 2. Повторение (основной урок)
40 мин
13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
1 ч 17 мин
14. Логарифмы. Практика (основной урок)
1 ч 9 мин
15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы (основной урок)
59 мин
16. Основы тригонометрии (основной урок)
49 мин
17. Основные тригонометрические формулы (основной урок)
1 ч 7 мин
18. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства (основной урок)
1 ч 15 мин
19. Промежуточный срез №3. Повторение (основной урок)
1 ч 30 мин
20. Функции. Свойства функции (основной урок)
49 мин
21. Виды функций. Графики функций (основной урок)
1 ч 0 мин
22. Производная (основной урок)
54 мин
23. Геометрический и механический смысл производной (основной урок)
43 мин
24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)
44 мин
25. Интеграл (основной урок)
42 мин
26. Промежуточный срез №4. Повторение
42 мин
27. Последовательности. Прогрессии (основной урок)
1 ч 23 мин
28. Комбинаторика. Понятие вероятности. Математическая статистика (основной урок)
55 мин
29. Математическая статистика (основной урок)
28 мин
30. Промежуточный срез №5. Повторение
1 ч 43 мин
31. Основы планиметрии (основной урок)
55 мин
32. Треугольники, их характеристики и свойства (основной урок)
41 мин
33. Решение треугольников (основной урок)
39 мин
34. Четырехугольники (основной урок)
1 ч 15 мин
35. Окружность, круг и их элементы (основной урок)
47 мин
36. Практика по планиметрии (основной урок)
48 мин
37. Промежуточный срез № 6. Повторение
34 мин
38. Основы стереометрии
42 мин
39. Расстояние между элементами геометрических тел
34 мин
40. Углы в геометрических телах
23 мин
41. Площади поверхности и объемы геометрических тел
50 мин
42. Решение задач по стереометрии
25 мин
43. Векторы и координаты. Ч.1
35 мин
44. Векторы и координаты. Ч.2
31 мин
45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)
42 мин
42. Решение задач по стереометрии
Видео доступно после авторизации
Часть 1
Пример
В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.
На чертеже , , .
Рассуждение
Точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника . Это означает, что высота пирамиды .
Основание высоты – точка лежит на биссектрисе (медиане, высоте) равнобедренного треугольника . Это следует из теоремы о трех перпендикулярах (, , следовательно, ).
Поскольку все ребра равны: , то равны и их ортогональные проекции на плоскость , т.е. (радиус описанной около треугольника окружности).
Решение
1. Из треугольника .
2. .
3. Решим это уравнение: .
4. Теперь можно вычислить боковое ребро:.
Пример
В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани – квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна . Найдите площадь построенного сечения.
На чертеже высота и сторона основания – . Сечение проходит через стороны оснований и и точки и – середины боковых ребер и .
Рассуждение
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
В нашем случае ортогональной проекцией построенного сечения является основание призмы – правильный шестиугольник .
Площадь сечения, умноженная на косинус угла , равна площади шестиугольника .
Решение
1. Площадь правильного треугольника со стороной a .
2. Площадь .
3. .
4. Площадь сечения .
Часть 2
Пример
В конусе даны радиус основания и высота . Найдите ребро вписанного в него куба.
При взгляде на чертеж задача может показаться сложной. Но если мы рассмотрим адекватное сечение, задача сильно упростится.
В нашем случае адекватным задаче будет осевое сечение пирамиды, делящее вписанный куб по диагонали.
Итак, , , .
Рассуждение
– диагонали квадратов (граней вписанного куба), где – ребро куба.
Треугольники и подобны, поэтому , .
Решение
1. Составим уравнение .
2. Преобразуем его .
3. .
4. Ребро куба .
Пример
Найдите радиус сферы, вписанной в конус с радиусом основания и высотой .
Чертеж. Проведем в конусе сечение плоскостью , проходящей через высоту конуса. Это сечение представлено.
Рассуждение
Треугольник – равнобедренный с основанием и высотой .
В этот треугольник вписана окружность радиуса с центром в точке . .
В точке пересекаются биссектрисы треугольника , т.к. это центр вписанной окружности.
Решение
1. Треугольник подобен треугольнику .
2. .
3. Из 2 следует: .
4. Преобразуем это уравнение: .
5. .
Часть 3
Пример
Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы радиуса многогранника, если этот многогранник:
а) куб;
б) правильная шестиугольная призма;
в) правильный тетраэдр.
а) куб
Рассуждение
В кубе высота равна стороне основания и равна .
Решение
1. Одна грань куба – квадрат со стороной .
2. Площадь грани .
3. У куба шесть граней. Общая поверхность .
б) правильная шестиугольная призма
Рассуждение
Высота призмы .
Решение
1. Сторона шестиугольника в основании призмы .
2. Периметр основания .
3. Боковая поверхность .
4. Площадь основания равна площади шести правильных треугольников со стороной .
5. .
6. Площадь двух оснований .
7. Вся поверхность .
в) правильный тетраэдр
На чертеже представлено сечение правильного тетраэдра с вписанным в него шаром. – ребро, – апофема противоположной ему грани.
Рассуждение
.
Если сторону тетраэдра обозначить , то , , , т.е. , .
Решение
1. Апофема .
2. Высота .
3. Треугольники и подобны: .
4. .
5. .
6. .
7. Площадь грани правильного треугольника со стороной : .
8. У тетраэдра 4 грани: .
Пример
Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны.
На чертеже – хорда, – радиус шара, – центр шара, – центр горизонтальной окружности, – центр вертикальной окружности.
Решение
1. Расстояние от центра шара до середины хорды (назовем эту точку ) .
2. , , и – это вершины квадрата, т.к. , , , и т.д.
3. – диагональ квадрата .
4. Сторона квадрата .
5. Радиус окружности .
Часть 4
Пример
Два противоположных ребра единичного куба лежат на основаниях цилиндра, а остальные вершины – на боковой поверхности цилиндра. Одна из граней куба образует с основаниями цилиндра угол (). Найдите высоту цилиндра.
На чертеже буквой обозначена образующая цилиндра, на которой лежит вершина куба . Пунктирной линией в основании цилиндра обозначена проекция ближней к нам грани.
Грань куба образует с основанием угол . На чертеже этот угол указан в точке . Такой же угол относительно образующей указан в точке . Эти углы равны, так как их стороны взаимно перпендикулярны.
Рассуждение
Высота цилиндра состоит из двух отрезков и . Их можно найти по углу и ребру куба.
Решение
1. .
2. .
3. Высота цилиндра .
Пример
Найдите ребро куба, одна грань которого лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, а четыре оставшиеся вершины – на её боковой поверхности, если стороны основания пирамиды равны , а высота пирамиды равна .
Чертеж. Вершины , , и куба лежат на основании , а вершины , , и – на боковых гранях пирамиды. Так как плоскости и параллельны, то квадрат вписан в треугольник , полученный в сечении пирамиды плоскостью, параллельной её основанию. Точки и лежат на стороне . Точка – на стороне , а точка – на стороне .
Рассуждение
Пусть ребро куба равно . Тогда пирамида подобна пирамиде с коэффициентом .
Значит, сторона равностороннего треугольника равна .
Решение
1. .
2. .
3. .
4. Получили уравнение: .
5. .
6. .
7. .
Часть 5
Пример
Дана правильная шестиугольная призма со стороной основания 1 и высотой 2.
Найдите:
а) угол между прямыми и ;
б) угол между прямой и плоскостью ;
в) угол между плоскостями и .
Итак, вопрос (а): найти угол между прямыми и .
На чертеже и – скрещивающиеся прямые. Наша задача – параллельным переносом перейти к пересекающимся прямым в одной плоскости. – центр верхнего основания, – середина ребра .
Рассуждение
Четырёхугольник (серый на чертеже) – параллелограмм ( и ), поэтому . В то же время – средняя линия треугольника , поэтому . Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми и равен углу между пересекающимися прямыми и (в голубой плоскости), т. е. углу .
Решение
1. Из треугольника имеем: .
2. Из треугольника имеем: .
3. Следовательно, треугольник – равнобедренный.
4. Найдем его основание . Из того, что – средняя линия треугольника .
5. – высота равнобедренного треугольника , тогда .
6. Искомый угол равен .
Вопрос (б): найти угол между прямой и плоскостью .
На чертеже – центр основания . Четырёхугольник – параллелограмм ( и ), поэтому . Значит, угол между прямой и плоскостью (голубая) равен углу между этой плоскостью и прямой .
Рассуждение
Пусть – середина ребра , – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Тогда – перпендикуляр к плоскости , а – ортогональная проекция наклонной на эту плоскость. Значит, угол между прямой (а значит, и прямой ) и плоскостью – это угол .
Решение
1. Треугольника прямоугольный, из этого следует:
2.
3.
4. Следовательно,
Вопрос (в): найти угол между плоскостями и .
На чертеже: плоскость параллельна плоскости , поэтому угол между плоскостями и равен углу между плоскостями и .
– точка пересечения и , а – точка пересечения и .
Искомый угол .
Рассуждение
и – середины отрезков и , искомый угол – это угол , так как и .
Решение
1. Из прямоугольного треугольника находим, что .
2. .
3. .
4. .
5. Следовательно, угол между плоскостями и равен .
Заключение
На этом уроке мы решали различные задачи по стереометрии. На следующем уроке начнём изучение координат.
Ссылки на уроки по пройденным темам:
"