01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)
58 мин
02. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа. Практика (основной урок)
1 ч 4 мин
03. Дробно-рациональные уравнения (основной урок)
36 мин
04. Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени. Практика (основной урок)
1 ч 5 мин
05. Повторение. Промежуточный срез №1. Практика
55 мин
06. Квадратные уравнения. Линейные уравнения. Практика (основной урок)
50 мин
07. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения высших степеней. Практика (основной урок)
40 мин
08. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика (основной урок)
55 мин
09. Решение текстовых задач (основной урок)
39 мин
10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)
46 мин
11. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
43 мин
12. Промежуточный срез № 2. Повторение (основной урок)
40 мин
13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
1 ч 17 мин
14. Логарифмы. Практика (основной урок)
1 ч 9 мин
15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы (основной урок)
59 мин
16. Основы тригонометрии (основной урок)
49 мин
17. Основные тригонометрические формулы (основной урок)
1 ч 7 мин
18. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства (основной урок)
1 ч 15 мин
19. Промежуточный срез №3. Повторение (основной урок)
1 ч 30 мин
20. Функции. Свойства функции (основной урок)
49 мин
21. Виды функций. Графики функций (основной урок)
1 ч 0 мин
22. Производная (основной урок)
54 мин
23. Геометрический и механический смысл производной (основной урок)
43 мин
24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)
44 мин
25. Интеграл (основной урок)
42 мин
26. Промежуточный срез №4. Повторение
42 мин
27. Последовательности. Прогрессии (основной урок)
1 ч 23 мин
28. Комбинаторика. Понятие вероятности. Математическая статистика (основной урок)
55 мин
29. Математическая статистика (основной урок)
28 мин
30. Промежуточный срез №5. Повторение
1 ч 43 мин
31. Основы планиметрии (основной урок)
55 мин
32. Треугольники, их характеристики и свойства (основной урок)
41 мин
33. Решение треугольников (основной урок)
39 мин
34. Четырехугольники (основной урок)
1 ч 15 мин
35. Окружность, круг и их элементы (основной урок)
47 мин
36. Практика по планиметрии (основной урок)
48 мин
37. Промежуточный срез № 6. Повторение
34 мин
38. Основы стереометрии
42 мин
39. Расстояние между элементами геометрических тел
34 мин
40. Углы в геометрических телах
23 мин
41. Площади поверхности и объемы геометрических тел
50 мин
42. Решение задач по стереометрии
25 мин
43. Векторы и координаты. Ч.1
35 мин
44. Векторы и координаты. Ч.2
31 мин
45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)
42 мин
40. Углы в геометрических телах
Видео доступно после авторизации
Куб
Пример
В кубе найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.
Рассуждение
Диагонали граней и , т.е. прямые и пересекаются в общей точке . Через две пересекающиеся прямые проведем плоскость.
Эта плоскость пересекает грань также по диагонали . и принадлежат проведенной нами плоскости, поэтому ей принадлежит и прямая – диагональ грани.
Итак, сечение куба, проведенной нами плоскостью, – треугольник .
Решение
1) Все грани куба равные квадраты, поэтому равны и диагонали граней.
2) Следовательно, треугольник равносторонний.
3) Все углы треугольника равностороннего треугольника по .
4) Искомый угол .
Пример
В кубе найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.
Рассуждение
Прямые и – скрещивающиеся, т.е. не параллельны и не пересекаются.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными исходным.
Итак, нужно найти пересекающиеся прямые, попарно параллельные и .
Решение
1. Четырехугольник – параллелограмм, более того, он прямоугольник.
2. Его сторона параллельна стороне . Ребро параллельно себе.
3. Итак, в плоскости грани имеем две пересекающиеся прямые и , параллельные исходным прямым и .
4. Угол – искомый угол.
Углы между скрещивающимися прямыми. Призма
Пример
В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер , , . Найдите тангенс острого угла между прямыми и .
Рассуждение
Как и в предыдущей задаче, нужно найти угол между скрещивающимися прямыми.
Грань – прямоугольник, поэтому параллельна . Искомый угол равен – углу между пересекающимися прямыми, параллельными исходным и .
Решение
.
Обратите внимание: для получения результата нам не понадобилось третье ребро – высота прямоугольного параллелепипеда . Лишнее данное. Иногда оно вводится намеренно, чтобы запутать ученика.
Пример
В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями и . Высота призмы равна . Найдите угол между прямыми и .
Рассуждение
Поскольку призма прямая (вертикальные ребра перпендикулярны основанию) и в основании лежит ромб (параллелограмм), четырехугольник – параллелограмм.
Следовательно, стороны и параллельны и вместо угла между прямыми и нам нужно найти угол между прямыми и – угол на чертеже.
Решение
1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения () пополам.
2. Поэтому треугольник – прямоугольный, а его катеты равны: , .
3. – гипотенуза треугольника . .
4. Грань – прямоугольник, поэтому угол – это угол при вершине равнобедренного треугольника .
5.
Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.
Знать
Какие прямые называются скрещивающимися.
Как определяется угол между скрещивающимися прямыми.
Уметь
Осуществлять параллельный перенос, чтобы заменить угол между скрещивающимися прямыми углом между пересекающимися.
Использовать свойства геометрических тел (многогранников) для осуществления параллельного переноса.
Понимать
Различия между правильными и неправильными геометрическими телами (призмами, пирамидами и пр.), прямыми и наклонными (призмами, цилиндрами и пр.).
Угол между прямой и плоскостью. Призма
Пример
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами и . Боковое ребро призмы равно 2. Найдите острый угол между прямой и плоскостью .
Рассуждение
Поскольку основания призмы – прямоугольные треугольники, а призма прямая, перпендикулярна пересекающимся прямым и . Следовательно, она перпендикулярна плоскости .
В частности, прямая перпендикулярна прямой . Следовательно, является ортогональной проекцией прямой на плоскость .
По определению, угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость.
Итак, нам надо найти угол, обозначенный на чертеже буквой .
Решение
1. Из прямоугольного треугольника : .
2. Из прямоугольного треугольника : .
3. Из прямоугольного треугольника : .
4. В прямоугольном треугольнике нам известны все стороны, поэтому мы можем найти угол разными способами, например, через его синус – .
5. .
Пример
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.
Обозначим середину ребра .
Рассуждение
Так как треугольник равносторонний, а треугольник – равнобедренный, отрезки и перпендикулярны .
Линейный угол, вершина которого лежит на ребре двугранного угла, а лучи лежат на гранях и перпендикулярны ребру, служит мерой двугранного угла.
Следовательно, – равен искомому двугранному углу с гранями и .
Решение
1. Из треугольника найдём: .
2. Из треугольника найдём: .
3. Из треугольника найдём: .
4. Искомый угол равен .
Пример
Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми . Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы.
Напоминание
Угол наклона между плоскостями – это образованный ими двугранный угол. Мерой двугранного угла служит линейный угол, вершина которого лежит на ребре двугранного угла, а лучи лежат в гранях. Причем оба луча ортогональны ребру двугранного угла.
Рассуждение
Нам нужно найти двугранный угол между плоскостями и .
Поскольку в основании призмы лежит правильный треугольник, прямая является медианой и высотой этого треугольника.
Отрезок перпендикулярен плоскости основания. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах прямой перпендикулярен не только отрезок , но и наклонная .
Значит, искомый угол наклона плоскостей равен углу между прямыми и , который мы обозначили .
Решение
1. Длина наклонной ( – сторона основания).
2. Длина ортогональной проекции равна .
3. .
Правильная пирамида
Пример
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно , а высота пирамиды равна 1. Найдите двугранный угол при основании.
На чертеже – центр основания правильной треугольной пирамиды , – середина .
Рассуждение
– высота пирамиды, – высота равностороннего треугольника , причём проходит через точку .
Поэтому – линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.
Решение
Из прямоугольного треугольника находим, что .
Тогда .
Значит, – равнобедренный прямоугольный треугольник.
Следовательно, .
Пример
Найдите угол между гранями правильного тетраэдра.
На чертеже – центр грани (равносторонний треугольник), – высота пирамиды, – середина ребра , все ребра тетраэдра одинаковы и равны .
Рассуждение
По теореме о трех перпендикулярах и , поэтому угол – линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями и .
Решение
1. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза и один катет .
2. .
3. .
Пример
В правильном тетраэдре найдите угол между ребром и плоскостью грани, не содержащей это ребро.
На чертеже – правильный тетраэдр с ребром , – центр грани .
Рассуждение
Поскольку – высота тетраэдра, – ортогональная проекция наклонной на плоскость . Угол между наклонной и ее ортогональной проекцией и есть угол между прямой (наклонной) и плоскостью.
Итак, искомый угол между ребром и плоскостью грани – это угол . Обозначим его .
Решение
1. , (это свойство равностороннего треугольника).
2. .
3. .
Пример
В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите двугранный угол при основании пирамиды.
Рассуждение
– апофема пирамиды: , .
Так как – высота пирамиды (), то по теореме о трех перпендикулярах отрезок .
Следовательно, искомый угол – это (обозначен на чертеже ).
Решение
1. ( – сторона квадрата в основании).
2. Из треугольника найдем апофему .
3. Из треугольника найдем .
Ответ: .
Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.
Знать
Что является мерой угла между прямой и плоскостью.
Что является мерой двугранного угла между плоскостями.
Уметь
Строить ортогональную проекцию наклонной на плоскость.
Использовать теорему о трех перпендикулярах при построении линейного угла для пересекающихся плоскостей.
Понимать
В правильной пирамиде высота проходит через центр основания.
Другие пирамиды
Пример
В основании пирамиды лежит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите стороны основания пирамиды, если ее высота равна 15.
На чертеже проходит через середину сторон основания (, ), поэтому . Высота , .
.
Рассуждение
Стороны и равны , можно найти из прямоугольного треугольника .
Стороны и можно найти из условия , т.к. треугольник равносторонний (все углы равны ).
Решение
1..
2..
3..
4..
Пример
В основании четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 4 и центром . Высота пирамиды равна 3, а точка является серединой отрезка . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды.
Рассуждение
– высота пирамиды ().
– высота грани ().
По теореме о трех перпендикулярах .
Следовательно, и треугольники и подобны.
Решение
1. Из подобия треугольников .
2. (из условия ).
3. , откуда .
4. В прямоугольном треугольнике катеты равны .
5. Следовательно .
Пример
Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом . Как наклонены к плоскости основания боковые ребра?
На чертеже:
, , – угол наклона грани .
, , – угол наклона грани .
плоскости .
Рассуждение
Обозначим сторону равностороннего треугольника - .
мы можем найти из прямоугольного треугольника с углом .
Тогда по углу найдем высоту . Углы наклона ребер и одинаковы и могут быть найдены из прямоугольного треугольника .
Наклон ребра найдем из прямоугольного треугольника .
Решение
1..
2..
3. Тангенс угла наклона ребра (и ) найдем из треугольника :
.
4. Тангенс угла наклона ребра найдем из треугольника :
.
Ответ: ; .
Пример
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой . Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Найдите высоту пирамиды.
На чертеже – прямоугольный треугольник, – его гипотенуза, – высота пирамиды.
Рассуждение
Так как все углы наклона ребер равны , проекции ребер на плоскость также одинаковы .
Решение
1. Точка расположена на равном расстоянии от всех вершин треугольник , следовательно, это центр описанной окружности с радиусом .
2. Если в окружность вписан прямоугольный треугольник, то его гипотенуза совпадает с диаметром описанной окружности, т.е. .
3. Высота пирамиды .
Замечание. Чертеж не точный: основание высоты – точка должна лежать в середине гипотенузы , но, приступая к решению, мы этого не знали.
Заключение
На этом уроке мы рассмотрели задачи на нахождение углов. На следующем уроке мы рассмотрим задачи на нахождение площадей поверхности и объёмов тел.
Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:
"