12. Урок 12. Функции и их свойства

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 12. Функции и их свойства

Практика

Область определения функции

Сначала рассмотрим задачи на определение основных свойств функций и их характеристик, затем займёмся чтением графиков.

Начнём с нахождения области определения функции.

Задача № 1. Указать область определения функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

а) Так как функция представляет собой корень чётной степени из выражения, содержащего неизвестную, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

.

б) Так как указан десятичный логарифм, то его основание равно , и удовлетворяет условию  и , то данная функция имеет смысл. Эта проверка, конечно же, проводится формально, обозначение десятичного логарифма уже предполагает, что его основание имеет смысл.

Теперь перейдём к основной части нахождения области определения функции и вспомним, что выражение под логарифмом должно быть положительным, то есть

.

в) В указанной функции присутствует и корень чётной степени из выражения, содержащего неизвестную, и деление на неизвестное выражение. Таким образом, мы имеем два ограничения на область определения функции:

.

г) Указанная квадратичная функция не имеет ограничений на область определения, так как функция будет иметь смысл при любых значениях аргумента, то есть .

д) Важно не спешить при виде корня сразу же искать ограничения на область определения, так как функция задана в виде корня нечётной степени, а никаких ограничений на подкоренное выражение в таком случае нет, то есть .

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Задача № 2. Указать по графику область определения функции:

а)

б)

а) Обратим внимание, что точки изображённого графика имеют любые значения по оси абсцисс, кроме , в этой точке проведена вертикальная асимптота к графику.

То есть .

б) Этот график уже поинтереснее, координаты его точек имеют значения от нуля, причем ноль выколотый, до плюс бесконечности, но без , в этой точке, как и в предыдущем случае, проведена вертикальная асимптота к графику.

То есть .

Ответ. а) ; б) .

Область значений функции

Теперь перейдём к заданиям на определение области значений функции.

Задача № 3. Указать область значений функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

а) Получим ограничения на область значений данной функции путём преобразований ограничений на простейшую функцию :

С другой стороны важно не забыть, что корень чётной степени имеет неотрицательные значения, то есть:

Таким образом, если учесть эти оба условия, то мы получим, что

.

б) Мы уже обсуждали, что для определения области значений для квадратичной функции необходимо вычислить координату вершины её параболы по оси ординат. Давайте вспомним из школьной программы, как вычислить для начала иксовую координату вершины параболы:

Теперь найдем игрековую координату вершины, для этого подставим  в функцию:

Поскольку парабола имеет положительный старший коэффициент, то её ветки направлены вверх, и  является её минимальным значением, следовательно:

.

На следующем уроке мы с вами ещё подробно разберёмся с определением вершины и построением параболы.

в) Давайте сначала упростим указанное выражение, для этого раскроем скобки:

Теперь воспользуемся известными нам ограничениями на синус (синус любого аргумента лежит в диапазоне от  до ):

.

г) Начнём поиск области значений данной функции с известного ограничения на модуль:

Теперь проанализируем, что будет, если возводить в неположительную степень. Для этого запишем функцию в более удобной форме, чтобы перейти к положительной степени:

Для того чтобы указать область значений указанной функции, необходимо определить значения, которыми она ограничена. Максимальное значение дроби будет при минимальном знаменателе, в нашем случае это достигается при , тогда функция примет значение:

Минимальное значение дроби будет при максимальном знаменателе, но наш знаменатель ничем не ограничен и при аргументах, стремящихся к бесконечности, он тоже будет стремиться к бесконечности, а дробь соответственно стремится к нулю.

Таким образом, функция ограничена значениями от до , причем, ноль не достигается, а к нему функция только стремится, а единица достигается, следовательно:

.

д) В этом случае указана линейная функция, а её значения ничем не ограничены, следовательно

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Задача № 4. Указать по графику область значений функции:

а)

б)

а) Обратим внимание, что на указанном графике есть горизонтальная асимптота, к которой функция прижимается, но не пересекает её, также она не поднимается выше значения равного , при этом, функция убывает до минус бесконечности, следовательно

.

б) В этой функции также имеется горизонтальная асимптота, к которой прижимается функция, при этом она стремится к значению равному нулю, но не достигает его, ниже нуля у функции нет значений. А максимальное значение, которое достигается функцией, равно единице, то есть

.

Ответ. а) ; б) .

Задача № 5. По указанной таблице, которая задаёт функцию соответствия между числами месяца и потреблением электроэнергии в эти дни, укажите максимальное значение из области определения и минимальное значение из области значений функции.

Самое главное понять, что множеством аргументов функции, то есть её областью определения является верхняя строка таблицы, а областью значений – нижняя строка, так как именно от числа месяца зависит, какое было потребление электроэнергии, а не наоборот.

Теперь указать максимальное значение из области определения, то есть из чисел в верхней строке, не составит труда. Это число .

Аналогично минимальным в области значений будет число из нижней строки.

Ответ. ; .

Асимптоты функции, точки пересечения с осями

Приведём пример на определение асимптот графика функции.

Задача № 6. Укажите уравнения горизонтальной и вертикальной асимптот графика функции .

Начнём с вертикальной асимптоты. Как мы указывали в лекции к уроку, она имеет уравнение

В указанной функции такому условию удовлетворяет, очевидно, – это и будет уравнение вертикальной асимптоты.

Для определения горизонтальной асимптоты вспомним, что её уравнение

Для того, чтобы найти к чему стремится наша функция при иксах, стремящихся к бесконечности, постараемся получить в знаменателе константу, для чего выделим в дроби целую часть:

Когда в числителе дроби находится число, а в знаменателе выражение, которое стремится к бесконечности, что происходит при увеличении аргумента, то дробь стремится к нулю. Таким образом, получаем, что всё выражение стремится к двойке. То есть уравнением горизонтальной асимптоты будет .

Заметьте, мы не могли сделать вывод о том, к чему стремится значение дроби, пока в числителе находилось неизвестное выражение. Дело в том, что при увеличении аргумента, в таком виде возрастают и числитель и знаменатель, и сложно сказать, к чему будет стремиться их отношение.

Ответ. .

А сейчас рассмотрим задачу, в которой найдём точки пересечения графика функции с осями.

Задача № 7. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью ординат подставим в функцию  и получим . То есть координаты этой точки будут .

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю () и решим уравнение:

Это стандартное квадратное уравнение, которое можно решить или с помощью дискриминанта или по теореме Виета, проделайте это самостоятельно, мы же укажем результат:

То есть координаты этих точек будут и .

Обратите внимание, что для определения координат точек пересечения с осями график функции строить не обязательно.

Ответ. .

Чётность и нечётность, периодичность

А сейчас перейдем к заданиям на определение очень важного свойства функции чётности/нечётности.

Задача № 8. Определить тип чётности функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Во всех случаях для определения типа чётности функции необходимо подставить аргумент с противоположным знаком, то есть . Именно для того, чтобы это нагляднее продемонстрировать, мы и обозначили функции в виде .

а)  – функция чётная.

б)  – функция нечётная.

в)  – функция нечётная.

г)  – функция общего вида.

д)  – функция нечётная.

Ответ. а) функция чётная; б) функция нечётная; в) функция нечётная; г) функция общего вида; д) функция нечётная.

Задача № 9. Определить по графику тип чётности функции:

а)

б)

Для решения задачи вспомним определения чётной и нечётной функции, в которых говорится об определённых свойствах симметрии их графиков.

а) Изначально может показаться, что график симметричен относительно оси ординат, и практически так и есть, но обратите внимание на выколотую точку, у которой нет симметричной. Такая мелочь уже нарушает возможное предположение о чётности этой функции, симметричными должны быть все точки функции. А так как она ещё не симметрична относительно начала координат, то не является и нечётной, то есть указанная функция является функцией общего вида.

б) Указанный график является графиком синуса и можно вспомнить, что эта функция нечётная. Второй вариант решения – это обратить внимание на симметрию всех точек графика относительно начала координат.

Ответ. а) функция общего вида; б) нечётная функция.

Задачи на вычисление периодов тригофункций со сложным аргументом мы уже рассматривали, но повторим их и в этой теме, так как период – это важная характеристика функции.

Задача № 10. Указать период функций: а) ; б) .

а) По формуле  для функций вида  получаем, что .

б) По формуле  для функций вида  вычислим, что . Такая запись должна удивить, так как период по определению является положительным числом, поэтому возьмём модуль от полученного значения и получим .

Остальные действия с функцией на значение периода не влияют.

Ответ. а) ; б) .

Промежутки монотонности функции, чтение графиков функций

Теперь разберёёём пример на определение промежутков монотонности функции.

Задача № 11. Указать промежутки монотонности функции, которая приведена на графике

Функция возрастает там, где большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Такие участки исходя из графика .

Функция убывает там, где большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Такие участки исходя из графика .

Обратите внимание, что промежутки монотонности функции указываются именно для значений аргументов, то есть иксов.

Ответ. Функция возрастает при ; функция убывает при .

И выполним чтение нескольких графиков функций. При этом нам необходимо будет указать основные характеристики и свойства функций.

Задача № 12. Выполнить чтение графиков функций:

а)

б)

а)

1. Область определения ;

2. Область значений ;

3. Точки пересечения с осями: с осью ординат ;

4. Так как все точки функции симметричны относительно оси ординат, то она чётная;

5. Непериодичная;

6. Монотонно возрастает при , монотонно убывает при .

б)

1. Область определения ;

2. Область значений ;

3. Точки пересечения с осями: с осью абсцисс ;

4. Так как нет симметрии, то функция общего вида;

5. Непериодичная;

6. Монотонно возрастает при , монотонно убывает при .

В этом практическом уроке мы привели примеры на определение свойств и характеристик функций и выполнили чтение нескольких графиков.