13. Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций

Подготовка к ЕГЭ по математике 

Эксперимент 

Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций 

Практика

Построение графиков основных функций

Сначала разберём примеры на построение графиков основных функций.

Задача № 1. Построить графики функций: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а)

Как видим,  и угол наклона к оси  острый, – смещение по оси .

б)

и  можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в)

 – угол наклона к оси  острый, – график проходит через начало координат.

г)

– константная функция, прямая проходит через точку  и параллельно оси .

Задача № 2. Построить графики функций: а) ; б) ; в) .

Решение. Воспользуемся методом построения квадратичных функций «по вершине».

а)

– ветки параболы направлены вверх, , .

;  

Если возникает вопрос, как точно строится парабола, то есть с какой именно скоростью растут и убывают её ветки, то можно запомнить следующий факт: если старший коэффициент  или , как это часто бывает, то при смещении от иксовой координаты вершины на единицу влево или вправо значение функции сначала изменяется на , потом на , затем на и так далее, то есть на нечётные числа.

Например, в нашем графике:

Для функций, у которых старший коэффициент , значения изменений функции умножаются на это «». Например, построение функции  выглядит так:

Но, как правило такая точность построения не важна, а нужен только эскиз графика, поэтому в дальнейшем мы не будем это учитывать.

б)

– ветки параболы направлены вверх, , .

;

в)

– ветки параболы направлены вниз, , .

;

Кстати, график проходит через ноль, что легко проверить подстановкой в функцию точки  или обратив внимание на то, что .

Задача № 3. Построить графики функций: а) ; б) ; .

Решение. Воспользуемся нашим методом построения дробно-рациональных функций «по асимптотам».

а)

Вертикальная асимптота определяется решением уравнения, которое показывает, что знаменатель дроби равен нулю: .

Горизонтальную асимптоту определим по тому быстрому способу, который мы указали в лекции. Она определяется отношением коэффициентов при иксах в числителе и знаменателе: .

Для определения расположения веток гиперболы подставим в функцию любую точку из области определения, то есть кроме , например, : , то есть координаты этой точки – через неё и проведём одну ветку гиперболы, вторая будет располагаться наискось.

Теперь строим гиперболу, прижимая её к асимптотам:

Остальные пункты строим аналогично.

б)

Вертикальная асимптота: .

Горизонтальная асимптота: , то есть асимптотами являются оси координат.

Проверочная точка: , .

в)

Вертикальная асимптота: .

Горизонтальная асимптота: .

Проверочная точка: , .

Задача № 4. Построить графики функций: а) , б) , в) .

Решение. По сути дела, указаны функции, которые не имеют особых методов построения их графиков. Поэтому если необходимо изобразить их эскиз, то просто вспоминаем теорию, а если необходимо построить графики более точно, то следует подставить несколько контрольных точек, так и поступим.

а)

Подставим полные квадраты, чтобы вычислить из них целые значения корня.

б)

Подставим несколько значений и учтём общий вид графика.

Так как основание степени , то функция растёт.

в)

Подставим такие значения аргумента, при которых значения логарифма будут целыми. При построении учтём общий вид графика.

Так как основание логарифма , то функция убывает.

Исследование функции по изображённому графику

Теперь давайте попробуем научиться решать обратную задачу – по изображённому графику исследовать функцию.

Задача № 5. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции :

а)

б)

в)

г)

Решение. Для определения знаков коэффициентов и  вспомним, как от них зависят формы графиков.

а) Острый угол наклона прямой к оси  (функция возрастает) – это . Точка пересечения с осью – это .

Далее аналогичные рассуждения.

б)

в)

г) Константная функция, так как график параллелен оси , то есть , а .

Задача № 6. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции :

а)

б)

в)

Решение. Вспомним, как параметры и  определяют положение параболы.

а) Ветви вниз, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины .

б) Ветви вверх, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины , так как неизвестное число при делении на положительное даёт отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, .

в) Ветви вниз, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины , так как неизвестное число при делении на отрицательное даёт в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, .

Преобразование графиков функций

И теперь переходим к рассмотрению примеров на преобразование графиков функций.

Задача № 7. Построить графики функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение. Когда сложная функция получена из простейшей путём нескольких преобразований, то преобразования графиков выполняются в порядке арифметических действий с аргументом, например, умножение идет до сложения и тому подобное.

а)

Преобразование в одно действие типа .

Сдвигаем график вверх на :

б)

Преобразование в одно действие типа .

Сдвигаем график вправо на :

в)

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках , затем сложение .

Сдвигаем график вправо на :

Сдвигаем график вверх на :

Конечно же, можно построить эту функцию как квадратичную после раскрывания скобок. Проверьте это самостоятельно.

г)

Преобразование в одно действие типа .

Растягиваем график в раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида , и .

Для выполнения преобразований в порядке действий обратим внимание, что сначала будет выполняться умножение, затем сложение, а затем смена знака. Чтобы умножение применялось ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на  вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

В этом практическом уроке мы привели множество примеров на работу с графиками функций.