43. Векторы и координаты. Ч.1

Система координат. Координаты

Одной из основных задач кинематики является определение положения тела (материальной точки) в пространстве. Может показаться, что это лёгкая задача. Однако без использования системы координат решить её невозможно.

Одним из величайших открытий человечества является идея сопоставлять точкам пространства наборы чисел. Сейчас мы не сможем сказать, кому принадлежит эта идея, но люди пользовались координатами (не осознавая этого) уже тогда, когда говорили: «Город находится в двух днях пути на восток от того места, в котором мы сейчас». Этой фразой мы задавали расстояние до города и направление, в котором нужно отсчитывать это расстояние.

Хотя сама по себе эта идея возникла очень давно, но чёткое выражение получила относительно недавно (говорят, Декарт придумал прообраз системы координат, когда ему не досталось места в театре, несмотря на купленный билет: в то время в театрах ещё не было нумерации рядов и кресел).

А сами координаты в различном виде используются повсеместно. Например, система нумерации кресел в театрах и кинозалах (ряды, места). Точки в пространстве – это кресла, а ряд и место – это координаты кресла. В шахматах в роли одной из координат клетки выступают латинские буквы (, ), а в игре «Морской бой» – русские буквы (, ). В школьном журнале одна из координат на любой странице – фамилия и имя ученика, вторая – дата проведения урока. Но для того чтобы задать координаты точки, необходимо вначале задать систему координат.

Рассмотрим знакомую ситуацию: вас пригласил к себе домой друг. В какой-то момент вы поняли, что заблудились и звоните ему. Он спрашивает, где вы находитесь. В таких ситуациях местоположение обычно описывают относительно какого-нибудь примечательного объекта (возле памятника, супермаркета и т.д.). То есть для задания положения тела необходим объект, положение которого мы точно знаем. Этот объект называется точкой отсчёта. Вы отвечаете, что находитесь на перекрестке рядом с красным продуктовым магазином. Ваш друг знает, где находится этот магазин, и теперь ему нужно объяснить, куда идти дальше. Как сказать точно? Нужно, чтобы для вас и вашего друга «вперед-назад», «влево-вправо» обозначали одно и то же направление. Как этого добиться? Например, он может сказать: «Встань спиной к магазину и пройди направо 100 м, затем поверни налево и пройди еще 50 м». Теперь вы сможете однозначно выполнить его указания. Конечно, если бы вы оказались у другого примечательного дома (кинотеатра, например), то инструкции вашего друга бы изменились. Она могла стать такой: «Иди налево 50 метров». При этом обратите внимание, что дом вашего друга своё расположение не менял. То есть при изменении точки отсчёта (в новой системе координат) меняются координаты объекта.

В рассмотренном примере мы использовали прямоугольную (или декартову) систему координат. В ней, помимо начала координат (точки отсчёта с координатами (0,0)), задаются направления вверх-вниз, вправо-влево, вперёд-назад (оси координат), а также длина единичного отрезка – ветка (масштаб, единица измерения). Каждая координата показывает смещение точки относительно начала координат по соответствующей оси. При этом если смещение совпадает с направлением оси, то соответствующая координата точки положительна, а если нет, то – отрицательна.

Если считать, что единичный отрезок имеет длину 1 м, то в нашем первом примере дом друга имел бы координаты (100, 50), а во втором – (-50, 0). При этом обратите внимание, что в этих двух примерах разные точки отсчёта (красный магазин и кинотеатр), а также разные направления осей.

Несложно убедиться, что таким образом можно задать координаты любой точки на плоскости или в пространстве. Числовая прямая – это одномерная система координат (то есть каждая точка на ней задаётся одной координатой – соответствующим числом). Однако положение точки на плоскости или в пространстве можно задавать и по-другому.

Рассмотрим такой пример. Ваш друг говорит, что его дача находится в 50 км от Москвы.

Поможет это вам её найти? Нет, потому что его дача может находиться в любой точке окружности с центром в Москве и радиусом 50 км. Поскольку мы хотим задать положение объекта (дачи) на плоскости, то в любой системе координат нужно два параметра (в пространстве, соответственно, три).

Как указать на одну конкретную точку на окружности? Если вспомнить тригонометрическую окружность, то в голову приходит идея использовать угол. Нужна только точка (линия) отсчёта. Теперь положение любой точки плоскости мы можем задать двумя числами – расстоянием до тела и углом (по такому принципу работает радар). Аналогичным образом, только используя два угла, можно задать координаты точки и в пространстве. Такая система координат называется полярной (начало координат в ней ещё называют полюсом). Понятно, что, используя тригонометрические функции угла, можно перейти от полярной системы координат к декартовой и наоборот.

Ветка. Связь между полярными и декартовыми координатами

Выбор системы координат определяется исключительно удобством работы в ней. Например, в полярной системе координат удобнее работать с окружностями, так как уравнение окружности в ней принимает вид: , где  – радиус окружности.

Рассмотрим пример задания координат объекта в двух системах координат. 650 км на северо-запад от Москвы (здесь задано расстояние и направление). Это город Санкт-Петербург. Если выбрать Москву за начало координат и выбрать за направление оси запад, то Санкт-Петербург будет находиться в 650 км и под углом к выбранному направлению оси.

Другой способ задания координат: одну ось направить на север, другую ось – на запад. За начало координат снова взять Москву, и тогда Санкт-Петербург располагался бы в точке с координатой (460;460).

Положение Санкт-Петербурга можно задать и от Хельсинки, тогда это город, который находится в 30 км к югу и 40 км на восток. Тоже положение можно задать по-другому: 50 км на юго-восток.

Мы видим, что координаты можно выбрать по-разному: при этом положение самой точки-объекта не меняется. Отметим, что во всех примерах положение тела задавалось на плоскости, поэтому для задания положения тела было достаточно и необходимо двух чисел. В пространстве положение точки задаётся тремя числами.

Подведем краткие итоги.

1) для задания положения объекта в пространстве удобно использовать числа (два числа в случае плоскости и три в случае пространства);

2) для того чтобы использовать координаты, нужна система координат (система отсчета);

3) при изменении системы отсчета координаты тела-объекта определенным образом меняются.

Точка и отрезок на плоскости и в пространстве

Рассмотрим декартову систему координат на плоскости. Как мы знаем, она состоит из двух перпендикулярных осей (горизонтальная – ось  (абсцисс), вертикальная – ось  (ординат)). Эти оси пересекаются в точке  – начале координат (координаты – (; )). Для каждой оси задано положительное направление (стрелкой) и масштаб единичный отрезок).

Соответственно, любая точка на плоскости имеет две координаты – абсциссу (сдвиг по оси относительно точки ) и ординату (сдвиг по оси  относительно ). При этом важно направление сдвига: если точка сдвинута в положительном направлении, то соответствующая координата положительная. В противном случае – отрицательная. Если точка не сдвинута относительно начала координат (то есть лежит на оси), то её соответствующая координата равна 0. Например, если точка лежит на оси абсцисс, то её ордината (). Координаты точки  – это длины проекций отрезка  на оси координат (с точностью до знака).

Пример

Какие координаты имеет образ точки  при симметрии относительно оси ординат? Оси общие? Начала ординат?

Решение

На оси  точки  и  на одном уровне. На оси  смещение то же, но в противоположную сторону .

а) .

б) все аналогично .

в) при симметрии относительно начала координат меняется смещение и по оси, и по оси: .

Две точки на плоскости задают отрезок. Поскольку одной из основных характеристик отрезка является его длина, то возникает вопрос: как найти длину отрезка, зная координаты его концов?

Для этого рассмотрим две точки ,  и отрезок . Рассмотрим проекцию отрезка  на ось . Её длина равна . Аналогично с проекцией на ось : .

Если достроить отрезок до прямоугольного треугольника (см. рис.) и воспользоваться теоремой Пифагора, то мы получим, что сумма квадратов проекций отрезка на оси равна квадрату длины отрезка, откуда: . Таким образом, зная координаты концов отрезка, можно найти его длину.

Пример

Найти координаты точки, которая лежит на оси абсцисс и равноудалена от точек , .

Решение

Так как  лежит на оси абсцисс, то .

Пример

Четырехугольник  – параллелограмм. , , . Найти координаты точки .

Решение

 – параллелограмм , .

;  

;

Ещё одна задача, которая часто встречается при решении задач на координаты – нахождение координат точки, которая делит его в заданном отношении. Рассмотрим отрезок  и точку , которая делит его в отношении , считая от вершины .

Без ограничения общности будем считать, что точки , . Остальные случаи рассматриваются аналогично. Опустим перпендикуляры и рассмотрим получившиеся подобные треугольники (см. рис.).

Получаем: ; .

На практике чаще всего требуется найти координаты середины отрезка, то есть ; .

Пример

Вершины треугольника – точки , , . Найдите длину медианы .

Решение

 – середина отрезка .

;

Пример

Какие координаты имеет точка, симметричная точке  относительно точки ?

Решение

 – середина .

Как мы уже знаем, в пространстве любая точка задаётся трёмя координатами. Соответственно, в трёхмерной системе координат три перпендикулярных оси – ось абсцисс (), ординат () и апликат (). Координаты любой точки  – это длины проекций отрезка  на каждую из осей координат (с точностью до знака).

Пример

Какая из точек , ,  принадлежит координатной плоскости ?

Если точка принадлежит плоскости , то она не смещена относительно начала координат вдоль .

Ответ: .

Пример

Какая из точек , , , принадлежит оси ?

Решение

Если точка принадлежит оси , то она не сдвинута вдоль осей  и , то есть ; .

Пример

Найдите координаты точки, симметричные точке  относительно:

а) начала координат;

б) плоскости ;

в) оси .

Решение

а) при симметрии относительно  все смещения в противоположную сторону .

б) при отражении относительно  меняется смещение в противоположную сторону вдоль оси .

в) при отражении относительно оси  меняется знак смещения по осям  и : .

Все результаты, которые мы получили для плоскости, обобщаются и на случай пространства. Например, длина отрезка в пространстве: . А координаты середины отрезка: ; ; .

Пример

Относительно какой точки симметричны точки  и ?

Решение

 симметрична  относительно точки , если  – середина .

Пример

Найдите расстояние от точки  до начала координат , .

Решение

Пример

Расстояние между ,  равно 7. Найти .

Решение

;

Пример

В треугольнике : , , . Найти длину средней линии  , где  и  – середины  и  соответственно.

Решение

,

Можно и как .

Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.

Знать

Формулы для длины отрезка на плоскости и в пространстве.

Формулы для нахождения координат середины отрезка.

Уравнение прямой на плоскости

Мы уже знаем, что любая прямая в декартовой системе координат задается уравнением  (кроме вертикальной, у которой уравнение ). Если  – горизонтальная прямая. При этом  – тангенс угла наклона прямой к положению направления оси .  – точка пересечения прямой с осью .

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:  (если – получаем вертикальную прямую; иначе ).

Еще одним полезным уравнением прямой является уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Его можно получить, подставив: , .

Подставим в уравнение и сократим на , получим: .

После преобразования: .

Пример

Записать уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой .

Решение

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны .

. Подставим координаты точки: .

Пример

Составить уравнение прямой, проходящей через точки , .

Решение

Уравнение прямой и плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид: . Чтобы найти уравнения плоскости, проходящей через три точки, можно поступить так же, как и в случае с уравнением прямой на плоскости, – подставить координаты точек, составить систему из трех уравнений и найти коэффициенты. Например: , , .

Прямая может быть задана как пересечение двух плоскостей: .

Но чаще используют два других уравнения прямой, а именно: – через две заданные точки  и .

 – уравнение прямой через точку , параллельную вектору .

Расстояние от точки  до плоскости: .

Пример

Составить уравнения плоскости, проходящей через точки ,  и.

Решение

; ;

; ;

Пример

Найти точку пересечения прямой  и плоскости .

Решение

;

;

Пример

Найти расстояние от точки (1;3;2) до плоскости .

Решение

Решение задач

Пример

Прямая  проходит через точки с координатами и . Прямая  проходит через точку с координатами и параллельна прямой . Найдите абсциссу точки пересечения прямой  с осью .

Решение

Составим уравнение прямой : .

:

Прямые : .

Пример

Точки , , ,  являются вершинами трапеции. Найдите длину её средней линий .

Решение

 – середина

 – середина

Пример

Найдите ординату центра окружности, описанной около прямоугольника , вершины которого имеют соответственные координаты: , , , .

Решение

Центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей. Точка  (центр ) – середина .

Пример

На каком расстоянии от координатных плоскостей находится точка ?

Решение

Расстояние до координатной плоскости – это модуль соответствующей координаты:

:

:

:

Пример

Точки ,  и  – середины сторон треугольника. Найдите координаты вершины этого треугольника.

Решение

; ;

Сложим: и по очереди вычитаем каждое из уравнений: ; ; .

Аналогично

; ;

; ;

, ,

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели координаты. На следующем уроке мы изучим векторы.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynaya-funktsiya-koordinatnaya-ploskost-terminologiya

2. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/uravnenie-ploskosti?seconds=0

3. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/dvizheniya-tsentralnaya-i-osevaya-simmetrii?seconds=0

4. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/zerkalnaya-simmetriya-parallelnyy-perenos?seconds=0