44. Векторы и координаты. Ч.2

Векторы

Рассмотрим объект, который переместился из точки  в точку .

Тогда его перемещения обозначают . Стрелка означает, что объект является вектором, т.е. для него важно направление. Действительно, если бы тело прошло то же расстояние, то его перемещение были бы другими.

Величины, для которых важно не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными. Например: перемещение, скорость, сила. Те же величины, для которых направление не важно, называется скалярным. Например: масса, температура, энергия.

Разница между векторными и скалярными величинами видна на примере действий с ними. Если мы на весы кладем гирю массой , а затем гирю массой , то общая масса на весах: . А если тело совершило перемещение , а затем ; то итоговое перемещение – это вектор  (из точки начала движения в точку конца движения), но длина перемещения  не равна сумме длин  и .

Хотя, как мы чуть позже выяснили, в векторном виде,  – действительно верно.

Итак, вектор – это направленный отрезок. Т.е. у вектора должны быть заданы начало, конец и направление.

Длина вектора – это длина отрезка . Еще её называют модулем вектора: .

Если векторы лежат на параллельных прямых, то они называются коллинеарными:

Если направления при этом совпадают, то сонаправленные, иначе – противоположно направленные.

Два вектора называются равными, если:

1) их длины равны,

2) они со направлены.

Пример: – параллелограмм.

Если у вектора конец совпадает с началом, то такой вектор называется ноль-вектором: . Длина такого вектора равна 0.

Действия с векторами

Как мы уже говорили, векторные величины, например, перемещения, можно складывать. Оказывается, что векторы можно не только складывать, но и вычитать, а также умножать и на скалярные величины (числа) и на другие векторы. Рассмотрим различные действия с векторами.

Рассмотрим такой пример. Предположим, идет футбольный матч, и мяч сначала перешел от игрока  игроку , а затем от игрока  – игроку . Говоря языком векторов, сначала мяч прошел вдоль вектора , а затем – . Но вот что важно: мяч был у , а теперь он у , то есть его результирующее перемещение можно представить вектором . Как мы видим, весьма естественно вектор  назвать суммой векторов  и .

Этот пример приводит нас к понятию суммы двух векторов. Пусть  и  – два вектора. Отметим произвольную точку  и отложим от этой точки вектор . Затем от точки  отложим вектор . Вектор  называется суммой векторов  и .

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Это название очевидно из рисунка. Его можно сформулировать и так: если , ,  – произвольные точки, то . Докажем этот факт.

Рассмотрим, наряду с треугольником , треугольник , построенный по аналогичному принципу. Покажем, что . Действительно, так как векторы  и  равны, то  – параллелограмм. Значит, . Аналогично . Значит, , а тогда  – параллелограмм. Отсюда следует, что .

Можно складывать векторы и по-другому. Для этого отложим векторы  и  от одной и той же точки А, получим  и . Теперь рассмотрим параллелограмм , как показано на рисунке. Тогда очевидно, что вектор , а значит, .

Иначе говоря, если отложить векторы от одной точки, то их сумма равна диагонали построенного на них параллелограмма, выходящей из этой же точки. По аналогии считается и сумма нескольких векторов, это правило еще иногда называют правилом многоугольника. Проиллюстрируем его на примере.

Пример

Докажите, что сумма векторов , , и  равна нулевому вектору для любых точек , , , .

Решение

Действительно, .

Пример

Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов  и  справедливо неравенство: .

Решение

Нарисуем картинку – правило треугольника. Тогда интересующее нас неравенство – в точности неравенство треугольника.

Разностью векторов и  будем называть такой вектор, сумма которого с вектором  равна вектору . Это определение отлично согласуется с определением вычитания чисел, которое, как известно, проверяется сложением.

Построим вектор, равный . Для этого рассмотрим точка  и отложим от нее векторы и . Тогда  – искомый!

Действительно, .

Будем говорить, что векторы и – противоположные, если эти векторы имеют равные длины и противоположно направлены.

Отметим, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору – по аналогии с противоположными числами, сумма которых равна нулю. Иногда противоположный вектор также обозначается как . Как мы увидим чуть позже, это определение прекрасно согласуется с умножением вектора на число, в данном случае – на -1. Это следует из того, что . Таким образом, мы можем строить разность и иначе: сначала построить вектор, противоположный вычитаемому, а затем сложить.

Пример

Дан параллелограмм , его диагонали пересекаются в точке . Выразить через векторы и  следующие векторы: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение

А) .

Б) .

В) .

Г) .

Из определения суммы векторов: , при этом .

Соответственно, .

1)

2)  и

Если мы рассмотрим противоположные векторы, то .

1)

2)

Верно и обратное: если .

Пример

На стороне  параллелограмма . Отличили точку , а на стороне  – точку  так, что , . Выразите  через , .

Решение

Аналогично .

Но т.к.  – параллелограмм .

Кроме умножения на число, векторы можно умножать и друг на друга. В результате может получаться как вектор, так и число. Мы рассмотрим только случай, когда произведение векторов – скалярная величина. Такое произведение называют скалярным.

В физике мы уже сталкивались со скалярным произведением. Так, работа, производимая силой , направленной под углом  к перемещению : .

Пример

Найти скалярное произведение векторов.

А) ; ;

Б) ; ;

В) ; ;

Решение

А)

Б)

В)

Из этого следует, что . Получили важный факт: .

Пример

; ;

- ?

Решение

Пример

; ;

Найти .

Решение

Т. косинусов: . Но можно и по-другому:

Пример

 – равносторонний треугольник со стороной 3.

Решение

, т.к. треугольник равносторонний.

Разложение вектора на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

Пусть в плоскости заданы два неколлинеарных вектора: . Рассмотрим произвольный вектор . Докажем, что , причем  и  единственны.

Проведем через  и  прямые, параллельные  и  соответственно. Т.к. , то прямые образуют параллелограмм .

 (правило паралл.)

Но ;

Докажем, что такие  и  единственны. Действительно, пусть , , ,   – два различных набора:

_______________________

Аналогично , получаем противоречие.

То есть любой вектор (на плоскости) можно представить в виде линейной комбинации двух неколлинеарных (такие два вектора называются базисом). Поскольку такое разложение единственно, то можно поставить в соответствие: .

Рассмотрим прямоугольную систему координат.

  и  – единичные векторы. Тогда .

Таким образом, если ввести систему координат, то вектор , эквивалентно определен через координаты. В пространстве три координаты – три числа. Обратите внимание, что при изменении системы координат координаты вектора также поменяются.

Вектор  ещё называют радиус-вектором точки .

Поскольку  и  – проекции вектора на оси координат, то можно сказать, что .

Если вектор отложен не от начала координат?

Пример

Найти , если , .

Решение

Пример

Доказать, что  параллелограмм, если , , , .

Решение

 – параллелограмм

Длина вектора. Сложение, вычитание и умножение на число вектора в координатах

Как же складывать векторы в координатах?

Продемонстрируем на примере: вышли из дома и прошли два квартала на восток и три на север. Теперь пройдем еще один квартал на восток и один на север, Всего: три квартала на восток и четыре на север: .

Аналогично с вычитанием: .

Умножение на число: .

Условие:

Пример

Автомобиль едет с некоторой скоростью, скорость – вектор. Координата автомобиля показывает, с какой скоростью он едет вдоль координатных осей, если нужно ехать с вдвое большей скоростью, то нужно вдвое увеличить каждую из координат скоростей.

Длина вектора:

По теореме Пифагора, .

Пример

При каком  модуль  равен 3.

Решение

Пример

Дано: , , найти .

Решение

Пример

При каком :  и  коллинеарны?

Решение

Пример

Для ненулевых , , : , причем  и  коллинеарные. Докажите, что , ,  коллинеарны.

Решение

Т.к. , то

Скалярное произведение. Угол между векторами

Как выразить в координатах скалярное произведение?

 – верно

Пример

Найти произведение векторов в координатах: ,

Решение

Пример

, .

Найти , при которых  и  перпендикулярны.

Решение

Пример

Найдите ⊾A , если , , .

Решение

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели векторы. На следующем уроке мы повторим изученные темы по геометрии.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/ponyatie-vektora-ravenstvo-vektorov

2) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/slozhenie-i-vychitanie-vektorov

3) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/koordinaty-vektora-2

4) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-2

5) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/komplanarnye-vektory

6) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/razlozhenie-vektora-po-tryom-nekomplanarnym-vektoram-zadachi

7) http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/slozhenie-i-vychitanie-vektorov-umnozhenie-vektora-na-chislo