21. Виды функций. Графики функций (основной урок)

Степенная функция (линейная, квадратичная, дробно-рациональная, корень)

Линейная функция

Линейной называется функция вида , где - угловой коэффициент, - свободный член. Графиком такой функции является прямая (любую прямую можно однозначно восстановить по 2 точкам).

Свободный коэффициент  задаёт точку пересечения прямой с осью ординат, так как . Угловой коэффициент , где  – угол между прямой и положительным направлением оси .

Свойства линейной функции :

• Область определения :

• Область значений :  (если ),  (если )

• Четность/нечетность:

1. если , , функция общего вида

2. если , , функция нечетная (функция вида  называется прямой пропорциональностью)

3. если , , функция четная

4. если , , функция равна нулю, то есть одновременно и четная, и нечетная

• Монотонность функции:

1. если , то функция возрастает

2. если , то функция убывает

3. если , то функция постоянна (параллельна оси абсцисс)

Взаимное размещение графиков линейных функций:

1. если , графики функций  и  пересекаются в одной точке

2. если , , графики функций  и  являются параллельными прямыми

3. если , , графики функций  и  прямые совпадают

Квадратичная функция

Квадратичной называется функция вида , , где  – старший коэффициент,  – коэффициент при ,  – свободный член. Графиком квадратичной функции является парабола.

Координаты вершины параболы находятся по формулам:

Если ,  – точка минимума квадратичной функции. Если ,  – точка максимума квадратичной функции.  легче всего найти, подставив абсциссу вершины в квадратный трёхчлен.

Точки пересечения с осью  определяются решением уравнения : .

Возможны три случая:

1. : две точки пересечения с осью  (корни квадратного уравнения): . Вершина лежит посередине между точками пересечения с осью .

2. : одна точка касания с осью :  . В этом случае вершина совпадает с точкой касания с осью , то есть лежит на оси абсцисс.

3. : нет общих точек с осью . Это значит, что парабола находится либо полностью выше оси , либо полностью ниже оси .

От знаков параметров зависит вид параболы:

- ветки параболы направлены вверх;

- ветки параболы направлены вниз;

 – влияет на положение вершины параболы;

- определяет координату пересечения параболы с осью ординат: .

Таким образом, по коэффициентам квадратичной функции мы можем найти:

1. направление веток параболы,

2. точки пересечения с осями,

3. координаты вершины параболы.

Свойства квадратичной функции :

• Область определения:

• Область значений:

1. при ,

2. при ,

• Четность/нечетность:

1. при  функция четная

2. при  функция общего вида

• Монотонность функции

1. при :

2. при :

Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональной называется функция вида , графиком которой является гипербола.

Эту функцию ещё называют обратной пропорциональностью, т.к. при увеличении (уменьшении) аргумента в несколько раз, значение функции во столько же раз уменьшается (увеличивается).

У графика есть асимптоты (оси координат). Их две: горизонтальная и вертикальная.

Если , то ветки гиперболы расположены в и  координатных четвертях.

Если , то ветки гиперболы расположены во  и IV координатных четвертях.

Свойства дробно-рациональной функции:

• Область определения:

• Область значения:

• График дробно-рациональной функции оси координат не пересекает

• Четность/нечетность: функция  нечетная

• Каждая из веток гиперболы является промежутком монотонности (: убывания, : возрастания)

График степенной функции в четной степени , где  выглядит, как график простейшей параболы :

График степенной функции в нечетной степени , где , например, , выглядит как так называемая кубическая парабола:

График корня четной степени , где , например, , имеет следующий вид:

График корня нечетной степени , где , например, , имеет следующий вид:

Точное построение таких графиков выполняется с подстановкой контрольных точек.

Показательная и логарифмическая функции

Показательная функция – это функция вида , , .

Свойства показательной функции:

• Точки пересечения с осями:  (нули функции): :  – не существует (так как функция принимает только строго положительные значения). То есть у функции нет общих точек с ось . : : , то есть график показательной функции проходит через точку .

• Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как .

• При  функция монотонно возрастает на всей области определения. При  функция монотонно убывает на всей области определения.

• Графики показательной функции при  и  имеют вид:

Логарифмическая функция – функция вида .

Свойства логарифмической функции:

• Область определения:

• Область значений:

• Точки пересечения с осями

 (нули функции): : , так как логарифм от 1 по любому основанию равен 0 (любое положительное число в 0 степени равно 1). Значит, график логарифмической функции проходит через точку .

: :  – не существует, так как 0 не входит в область определения логарифмической функции.

• Четность/нечетность. Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как область определения не симметрична относительно 0 (функция не определена при отрицательных значениях переменной).

• Монотонность функции:

При  функция монотонно возрастает на всей области определения.

При  функция монотонно убывает на всей области определения.

• Графики логарифмической функции при  и  имеют вид:

Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными.

Функции называются обратными, если . Свойства обратных функций:

1)  и ,

2) графики функций симметричны относительно прямой .

Тригонометрические функции

Функция

Свойства:

• Область определения:

• Область значений:

• Четность/нечетность: функция нечетная

• Периодичность: функция периодична с периодом

• Монотонность:

При функция возрастает.

При  функция убывает.

График функции :

Поскольку функция периодическая, то достаточно построить график на любом одном периоде, а затем размножить его в обе стороны (значения функции повторяются).

Функция

Свойства:

• Область определения:

• Область значений:

• Четность/нечетность: функция четная . Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат.

• Периодичность: функция периодична с периодом .

• Монотонность:

При  функция возрастает.

При  функция убывает.

График функции .

График функции  можно получить со сдвигом графика функции  влево на .

Функция

Свойства:

• Область определения: . У тангенса есть вертикальные асимптоты, которые ограничивают график с обеих сторон периода.

• Область значений: .

• Четность/нечетность: функция нечетная .

• Монотонность: функция монотонно возрастает в пределах одного периода.

• Периодичность: функция периодична с периодом .

• График функции .

Функция

Свойства функции

• Область определения: . У котангенса есть вертикальные асимптоты, которые ограничивают функцию с обеих сторон периода.

• Область значений: .

• Четность/нечетность: функция нечетная .

• Монотонность: функция монотонно убывает в пределах одного периода.

• Периодичность: функция периодична с периодом .

График функции .

ГМТ

Если любая вертикальная прямая пересекает график более чем в одной точке, то графическое изображение является ГМТ – геометрическим местом точек.

График функции – это частный случай ГМТ, который удовлетворяет условию, что любая вертикальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке.

Примеры наиболее распространенных ГМТ: вертикальная прямая (), ромб (квадрат) (), окружность ().

Преобразования графиков функций

• .

Для того чтобы построить график функции , достаточно отразить график  относительно оси .

Для построения графика  достаточно отразить график  относительно оси .

Для построения графика ,  достаточно график  сдвинуть на  единиц влево относительно оси . Если , то, соответственно, вправо.

Для построения графика ,  достаточно график  сдвинуть на  единиц вверх относительно оси . Если , то, соответственно, вниз.

• ,

Для построения графика ,  достаточно график  сжать в  раз к оси . Если , то, соответственно, нужно не сжать, а растянуть в  раз.

• ,

Для построения графика ,  достаточно график  растянуть в  раз от оси . Если , то, соответственно, нужно не растянуть, а сжать в  раз.

Распишем модуль по определению: : , то есть при неотрицательных  график функции совпадает с графиком исходной функции.

При :  – при отрицательных х получаем, что график необходимо отразить относительно  (справа налево).

Получаем общий алгоритм: всё, что слева от , убрать, а всё, что справа, – оставить и отразить влево.

Распишем модуль по определению: : , то есть при положительных значениях функции график совпадает с графиком исходной функции.

При :  – при отрицательных значениях функции получаем, что график необходимо отразить относительно  (снизу вверх).

Получаем общий алгоритм: всё, что сверху от , оставить, а всё, что снизу, – убрать и отразить вверх.