15. Закрепление пройденного материала. Решение варианта ЕГЭ

Часть 1

Здравствуйте! На этом уроке мы заканчиваем курс подготовки к ЕГЭ по математике. В заключение мы решим один из вариантов ЕГЭ прошлых лет, чтобы на его примере вспомнить всё, что мы с вами выучили.

Пример

Установка двух счетчиков воды (холодной и горячей) стоит 3700 рублей. До установки счетчиков за воду платили 1700 рублей ежемесячно. После установки счетчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 1400 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счетчиков, если тарифы на воду не изменятся?

Решение

Экономия в месяц:  рублей.

Через 13 месяцев.

Ответ: 13.

Пример

Пачка сливочного масла стоит 78 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 5%. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?

Решение

Ответ: 74,1.

Пример

На рисунке жирными точками показана цена платины, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни с 1 по 27 октября 2010 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали – цена платины в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цены платины впервые поднялись выше 1650 рублей за грамм.

Решение

Ответ: 20.

Пример

При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 7 тонн природного камня и 8 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 5 тонн щебня и 36 мешков цемента. Тонна камня стоит 1500 рублей, щебень стоит 690 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 250 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?

Решение

Ответ: 12450.

Пример

На клетчатой бумаге с размером клетки  отмечены точки  и . Найдите длину отрезка .

Решение

Ответ: 10.

Пример

В сборнике билетов по истории всего 20 билетов, в 18 из них встречается вопрос о Смутном времени. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос о Смутном времени.

Решение

Ответ: 0,9.

Пример

Найдите корень уравнения .

Решение

Ответ: 67.

Часть 2

Продолжим решение задач.

Пример

В остроугольном треугольнике  угол  равен ,  и  – высоты, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение

1) :

2) :

3)  и - смежные

Ответ: 111.

Пример

На рисунке изображен график  - производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка  функция  принимает наибольшее значение?

Решение

 точка максимума, в ней находится наибольшее значение функции на отрезке .

Ответ: -1.

Пример

Куб описан около сферы радиуса 3. Найдите объем куба.

Решение

Ответ: 216.

Пример

Найдите значение выражения .

Решение

Ответ: 5.

Пример

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана – Больцмана, согласно которому , где  – мощность излучения звезды,  – постоянная,  – площадь поверхности звезды, а  – температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна , а мощность ее излечения равна . Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

Решение

Ответ: 6000.

Пример

В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых ребер.

Решение

1)  – квадрат

2) 

Ответ: 16.

Пример

Дорога между пунктами  и  состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 22 км. Путь из  в  занял у туриста 8 часов, из которых 3 часа ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъеме на 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Анализ условия и составление модели: .

Решение уравнения: .

Ответ: 4.

Пример

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

Решение

:

Критические точки: .

На  наибольшее значение: .

Ответ: .

Часть 3

Рассмотрим решение ещё нескольких более сложных задач.

Пример

а) Решите уравнение: .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение

а)

Замена:

ОДЗ:

б) 1)

:

2)

:

3)

Нет решений.

4)

:

Пример

Радиус основания конуса с вершиной  равен 8, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки  и , делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как . Найдите площадь сечения конуса плоскостью .

Решение

;

1) :

2) : ; ;

3) : ; ;

Часть 4

Продолжим решение задач из ЕГЭ.

Пример

Решите систему неравенств: .

Решение

1)

Замена: .

ОДЗ: .

Нули: .

2)

ОДЗ:

1. 

Так как ОДЗ: , то этот случай невозможен.

2. 

При : .

С учетом ОДЗ: .

3)

Пример

Около остроугольного треугольника  описана окружность с центром . На продолжении отрезка  за точку  отмечена точка  так, что .

а) Докажите, что четырехугольник  вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника , если , а .

Решение

а)

1) Пусть .

2)  – центральный,  – вписанный.

3)  – равнобедренный.

4)  лежат на одной окружности   – вписанный.

б)

1) ;

2) : .

Часть 5

Рассмотрим ещё две сложных задачи из ЕГЭ.

Пример

Найдите все значения , при которых уравнение  имеет единственное решение.

Решение

Рассмотрим функцию , она четная, значит, если  является корнем, то  тоже корень. Поэтому чтобы уравнение имело единственное решение, .

При  получаем уравнение: .

Значит,  не подходит.

При  и  исходное уравнение принимает вид . При  правая часть уравнения . При  левая часть уравнения не меньше 4, причём равенство достигается только при . При  правая часть уравнения . Значит, исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ: ; .

Пример

На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 7 до 27 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа  можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше ?

Решение

а)

Разность между числом 17 и другим числом меньше 11, значит, хотя бы одна разность будет меньше 11.

Ответ: нет.

б)

Ответ: да.

в) Рассмотрим 7 8 9 10 11 12 13.

для того чтобы все разности , эти числа должны отстоять друг от друга хотя бы на два числа.

Заключение

На этом наш курс подготовки к ЕГЭ по математике окончен. Надеемся, что он поможет вам успешно сдать ЕГЭ по математике. Желаем успехов!